Signum Permutation < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:46 Mi 20.03.2013 | | Autor: | Bonaqa |
| Aufgabe | Bestimmen Sie das Signum folgender Permutation
[mm] \begin{pmatrix}
1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\
4 & 5 & 2 & 1 & 3
\end{pmatrix} [/mm] |
Hallo,
ich weiß dass das Signum -1 ist. nur jetzt frage ich mich ob es Zufall war, wie ich es berechnet habe oder ob das so stimmt.
Zyklenschreibweise wäre ja:
(14) (253)
und ich habe nun mehrere Ideen aber habe keine Ahnung ob die Richtig sind.
erste Idee.
(14) (25) (53) das ist 3 und [mm] (-1)^3 [/mm] = -1
zweite Idee.
(45)(52)(21)(13) das ist 4 aber habe im Internet gesehen [mm] (-1)^r^-^1, [/mm] was denn auch insgesamt [mm] (-1)^3 [/mm] = -1 wäre
oder sind beide falsch? :S
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Hallo,
> Bestimmen Sie das Signum folgender Permutation
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> [mm]\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\
4 & 5 & 2 & 1 & 3 \end{pmatrix}[/mm]
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> Hallo,
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> ich weiß dass das Signum -1 ist. nur jetzt frage ich mich
> ob es Zufall war, wie ich es berechnet habe oder ob das so
> stimmt.
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> Zyklenschreibweise wäre ja:
>
> (14) (253)
Das ist richtig.
> erste Idee.
> (14) (25) (53) das ist 3 und [mm](-1)^3[/mm] = -1
Du möchtest deine Permutation als Komposition von Transpositionen schreiben. Das ist der richtige Ansatz. Denn es gilt:
Signum = (-1) hoch (Anzahl Transposition).
Nur einer deiner beiden Vorschläge kann richtig sein, denn das Signum einer Permutation ist eindeutig (entweder -1 oder +1).
Deine erste Darstellung stimmt, wenn du die Transpositionen von hinten nach vorn auswertest. Daher hast du 3 Transpositionen und das Signum ist (-1).
Du kannst dir allgemein merken, dass 3er-Zykel in 2 Transpositionen zerlegt werden können.
> zweite Idee.
> (45)(52)(21)(13) das ist 4 aber habe im Internet gesehen
> [mm](-1)^r^-^1,[/mm] was denn auch insgesamt [mm](-1)^3[/mm] = -1 wäre
Nein, es stimmt weder deine Zerlegung noch diese Formel aus dem Internet.
Gemäß deiner Zerlegung würde die 3 -> 1 -> 2 -> 5 -> 4 auf die 4 abgebildet werden. Das ist falsch.
Viele Grüße,
Stefan
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