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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:19 Mi 25.07.2012 | | Autor: | sinalco |
| Aufgabe | | Man Zeige ohne die Benutzung der Restgliedformel, dass die Simpsonsche Regel alle quadratischen Polynome exakt integriert! |
Habe leider keine Idee wie man das angehen sollte?! Kann mir wer auf die Sprünge helfen?
also Simpsonregel ist bekannt:
I(f) = [mm] \bruch{b-a}{6}*[f(a) [/mm] + [mm] 4*f(\bruch{a+b}{2})+f(b)]
[/mm]
Was ich weiß - es sind drei Funktionsauswertungen notwendig!
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Hallo sinalco,
was du da angegeben hast, das ist nicht die Simpsonsche Regel in ihrer allgemeinen Form, sondern die Keplersche Fassregel bzw. die Simpsonregel für n=2.
Die Behauptung rechnet man einfach nach. D.h.: das Integral einmal exakt berechnen und einmal per Näherungsformel. Dabei muss das gleiche herauskommen, was im Falle von quadratischen Funktionen trivial ist, ersetzt doch die Keplersche Fassregel eine zu integrierende Funktion durch eine quadratische Funktion...
So viel ich noch weiß, gilt die Behauptung auch für ganzrationale Funktionen dritter Ordnung, aber das zu zeigen dürfte etwas aufwändiger sein.
EDIT: das gilt nicht nur 'so viel ich weiß', sondern definitiv. Ich habe es gerade spaßeshalber nachgerechnet. 
Gruß, Diophant
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