Sin(x) u. Cos(x) Substitution < Differentiation < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:34 Sa 04.06.2011 | | Autor: | durden88 |
| Aufgabe | Bestimmen Sie alle x€ [0; [mm] 2\pi), [/mm] die die gegebenen Gleichungen erfüllen.
3 sin x = 2 [mm] cos^2 [/mm] x |
Hallo, mir wurde als tipp gegeben, dass ich diese Aufgabe mit der Substitution lösen sollte. Ich hab mal angefangen und sinx=y gesetzt.
Dann habe ich
3y= 2cos^2x /:2
[mm] \bruch{3}{2}y=cos^2x [/mm] / [mm] \wurzel{}
[/mm]
[mm] \wurzel{\bruch{3}{2}y}=cosx
[/mm]
Ich weiß absolut nichtmehr weiter...vielleicht habe ich es auch falsch gemacht?
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Hallo durden,
> Bestimmen Sie alle x€ [0; [mm]2\pi),[/mm] die die gegebenen
> Gleichungen erfüllen.
>
> 3 sin x = 2 [mm]cos^2[/mm] x
> Hallo, mir wurde als tipp gegeben, dass ich diese Aufgabe
> mit der Substitution lösen sollte. Ich hab mal angefangen
> und sinx=y gesetzt.
Dann substituiere auch [mm] \cos^2x=1-\sin^2x=1-y^2
[/mm]
>
> Dann habe ich
> 3y= 2cos^2x /:2
> [mm]\bruch{3}{2}y=cos^2x[/mm] / [mm]\wurzel{}[/mm]
> [mm]\wurzel{\bruch{3}{2}y}=cosx[/mm]
Abgesehen, dass du mit der kompletten Substitution nochmal neu rechnen solltest: Wenn du die Wurzel ziehst, erfordert dies meistens eine Fallunterscheidung.
[mm] \wurzel{\bruch{3}{2}y}=|\cos [/mm] x|
>
> Ich weiß absolut nichtmehr weiter...vielleicht habe ich es
> auch falsch gemacht?
LG
P.S: Bitte gestalte deine Aufgabenposts in Zukunft noch übersichtlicher, der Formeleditor enthält genug Informationen dazu.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:18 Sa 04.06.2011 | | Autor: | durden88 |
ok danke, also hab dann mal losgerechnet und hab am Ende folgendes raus:
[mm] 0=y^4-2y^2-\bruch{3}{2}y+1
[/mm]
Wenn ich jetzt mal ausrechne, was für die einzelnen y rauskommt, dann erhalte ich folgende Werte:
x = -1,016341075440796 + 0,6339714542775807·î
1
x = -1,016341075440796 - 0,6339714542775807·î
2
x = 1,596014640115366
3
x = 0,4366675107662258
Naja...das Problem ist, dass ich das an der Sinuskurve nicht ablesen kann ....
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> ok danke, also hab dann mal losgerechnet und hab am Ende
> folgendes raus:
>
> [mm]0=y^4-2y^2-\bruch{3}{2}y+1[/mm]
>
Nach meiner Rechnung ist die Gleichung nur quadratisch:
[mm] 3y=2(1-y^2)
[/mm]
Irgendwo hast du dich da vertan.
LG
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:37 Sa 04.06.2011 | | Autor: | durden88 |
ja beim Einsetzen, dankesehr. Ok, jetzt hab ich einmal:
y=-0,5
y=2
Mein y war ja mein sin^2x, jetzt wird es Problematisch, weil ich ja einen negativen Wert habe und davon kann ich ja nicht die Wurzel ziehen?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:45 Sa 04.06.2011 | | Autor: | snikch |
Hi
ich habe mir jetzt nicht alles durchgeschaut, aber ich würde ausnützen, dass [mm] sin^2 [/mm] x + [mm] cos^2 [/mm] x = 1
Erst dann würde ich substituieren.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:51 Sa 04.06.2011 | | Autor: | kamaleonti |
> Hi
> ich habe mir jetzt nicht alles durchgeschaut, aber ich
> würde ausnützen, dass [mm]sin^2[/mm] x + [mm]cos^2[/mm] x = 1
> Erst dann würde ich substituieren.
Das ist bereits passiert.
LG
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 17:53 Sa 04.06.2011 | | Autor: | durden88 |
Das wär aber doch dann ne endlosschleife, weil ich das Cosx wieder durch 1-sinx ersetzen müsste...
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:04 Sa 04.06.2011 | | Autor: | kamaleonti |
> Das wär aber doch dann ne endlosschleife, weil ich das
> Cosx wieder durch 1-sinx ersetzen müsste...
Siehe hier
LG
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> ja beim Einsetzen, dankesehr. Ok, jetzt hab ich einmal:
>
> y=-0,5
> y=2
EDIT: Das ist falsch. Siehe hier
>
> Mein y war ja mein sin^2x, jetzt wird es Problematisch,
> weil ich ja einen negativen Wert habe und davon kann ich ja
> nicht die Wurzel ziehen?
Du hast doch am Anfang selbst geschrieben, dass wir [mm] y:=\sin [/mm] x substituieren, wie kommst du dann auf einmal auf eine andere Substitution?
Du musst nun prüfen, wann
a) [mm] \sin [/mm] x=-2
b) [mm] \sin [/mm] x=0.5
für [mm] x\in[0,2\pi) [/mm] ist.
EDIT: Gleichungen editiert.
LG
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:16 Mo 06.06.2011 | | Autor: | durden88 |
hmmm kannst du mir vielleicht ein Tipp geben...ich kann an der Sinuskurve immer nur so prägnante punkte ablesen.
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Hallo durden88,
> hmmm kannst du mir vielleicht ein Tipp geben...ich kann an
> der Sinuskurve immer nur so prägnante punkte ablesen.
Dann poste diese "prägnanten Punkte".
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:34 Mo 06.06.2011 | | Autor: | durden88 |
Also prägnante Punktte sind ja: [mm] 0,\pi/2, \bruch{3}{2} \pi, 2\pi,\bruch{5}{2} \pi [/mm] ...und das gleiche nur mit negativen Vorzeichen....
Ich habe mir schnon überlegt, die beiden Werte durch [mm] \pi [/mm] zu dividieren und diesen Wert mal [mm] \pi [/mm] als Ergebniss zu benutzen...
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> Also prägnante Punktte sind ja: [mm]0,\pi/2, \bruch{3}{2} \pi, 2\pi,\bruch{5}{2} \pi[/mm]
> ...und das gleiche nur mit negativen Vorzeichen....
>
> Ich habe mir schnon überlegt, die beiden Werte durch [mm]\pi[/mm]
> zu dividieren und diesen Wert mal [mm]\pi[/mm] als Ergebniss zu
> benutzen...
Hallo,
am besten machst Du nicht einfach irgendwas, sondern überlegst erstmal:
worum geht es im Moment?
Du willst die Gleichung sin(x)=-0.5 und die Gleichung sin(x)=2 lösen.
Für welche x ist sin(x)=2?
Für sin(x)=-0.5 kannst Du Deinen Taschenrechner bemühen, falls Du es nicht auswendig weißt. Wie bekommst Du das x?
Wenn Du eins berechnet hast, überlege Dir, ob es im fraglichen Intervall liegt. Wenn nicht, so überlege, wie Du anhand der Symmetrie/des Aussehens/der Periodizität des Graphen zu einer Lösung im zu betrachtenden Intervall kommst. überlege danach anhand der Symmetrie/des Aussehens, ob und ggf. wo es eine weitere Stelle mit sin(x)=-0.5 gibt.
Zu guter letzt würde ich meine Lösungen zur Probe mal in die Ursprungsgleichung einsetzen.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:20 Mo 06.06.2011 | | Autor: | durden88 |
Also bei -0,5 habe ich -30 raus und 2 ist Error. Beides liegt aber nicht im Intervall...
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:26 Mo 06.06.2011 | | Autor: | fred97 |
> Also bei -0,5 habe ich -30 raus
Stell Deinen Taschenrechner auf Bogenmaß !!!!!
> und 2 ist Error. Beides
> liegt aber nicht im Intervall...
Echt ? Error liegt nicht im Intervall ? Na so was ? Kaum unglaublich ! Ich verrate Dir ein großes Geheimnis, das außer mir niemand kennt:
$-1 [mm] \le [/mm] sin(x) [mm] \le [/mm] 1$ für jedes x [mm] \in \IR.
[/mm]
Kann dann die Gl. sin(x)=2 eine Lösung haben ?
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:45 Mo 06.06.2011 | | Autor: | durden88 |
Ok interessant danke.
Also für sin(x)=2 gibt es keine Lösung, gut.
Bei sin(x)=-0,5 ist es nach Taschenrechner -0,523598776. So und nun kann ich durch ablesen ja sehen, dass es circa bei 4 ist? Oder wie geht es weiter. Vielen Dank für die Hilfe
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Hallo durden88,
> Ok interessant danke.
>
> Also für sin(x)=2 gibt es keine Lösung, gut.
>
> Bei sin(x)=-0,5 ist es nach Taschenrechner -0,523598776. So
[mm]sin\left(x\right)=-\bruch{\pi}{6}[/mm] kann
keine Lösung der Gleichung
[mm]3 \sin\left(x\right) = 2 \cos^{2}\left(x\right)[/mm]
sein.
Vielmehr ist eine Lösung [mm]x=\bruch{\pi}{6}[/mm]
> und nun kann ich durch ablesen ja sehen, dass es circa bei
> 4 ist? Oder wie geht es weiter. Vielen Dank für die Hilfe
Da der Sinus symmetrisch ist gibt es hier noch eine Lösung.
Grus
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:05 Mo 06.06.2011 | | Autor: | durden88 |
> Hallo durden88,
>
> > Ok interessant danke.
> >
> > Also für sin(x)=2 gibt es keine Lösung, gut.
> >
> > Bei sin(x)=-0,5 ist es nach Taschenrechner -0,523598776. So
>
>
> [mm]sin\left(x\right)=-\bruch{\pi}{6}[/mm] kann
> keine Lösung der Gleichung
>
> [mm]3 \sin\left(x\right) = 2 \cos^{2}\left(x\right)[/mm]
>
> sein.
>
> Vielmehr ist eine Lösung [mm]x=\bruch{\pi}{6}[/mm]
>
diese Lösung ist, weil gilt: sin(x)=-sin(-x) ?
Und weil [mm] -sin(x)=sin(x+\pi) [/mm] ist, krieg ich ein weiteren Lösungsweg?
>
> > und nun kann ich durch ablesen ja sehen, dass es circa bei
> > 4 ist? Oder wie geht es weiter. Vielen Dank für die Hilfe
>
>
> Da der Sinus symmetrisch ist gibt es hier noch eine
> Lösung.
>
>
> Grus
> MathePower
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Hallo durden,
in Wirklichkeit müssen hier die Lösungen der Gleichungen
a) sin(x)=-2
b) sin(x)=0.5
für [mm] x\in[0, 2\pi) [/mm] gefunden werden.
Für a) keine Lösung. Für b) die Lösungen [mm] \pi/6 [/mm] und [mm] 5\pi/6, [/mm] aus den bereits angesprochen Symmetriegründen.
LG
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:19 Mo 06.06.2011 | | Autor: | kamaleonti |
Hallo an alle Beteiligten,
> > y=-0,5
> > y=2
hier ist uns ein dummer Fehler unterlaufen, wie mir gerade auffällt.
Die Lösungen der Gleichung [mm] 3y=2-2y^2 \gdw [/mm] y+3/2y-1=0 sind doch
[mm] y_1=0,5 [/mm] und [mm] y_2=-2
[/mm]
Gruß
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