Singulärwerte und Eigenwerte < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Aufgabe: Sei V ein endlich erzeugter unitärer Vektorraum und sei F ∈ [mm] End_C(V) [/mm] normal. Welche Beziehung besteht zwischen den Singulärwerten und den Eigenwerten von F? |
Also ich gehe der Vermutung, dass diese Aufgabe mithilfe der Singulärwertzerlegung zu Lösen ist ich weiß allerdings nicht genau wie,
Ich habe schon folgendes F ist Normal => es existiert eine ONB, aus Eigenvektoren bestehend aus Eigenwerten => F ist pos. semidefinit.
Ich vermute, das man nun den Satz für die Singulärwertzerlegung, das man die Eigenwerte sortiert und die dann quasi daraus folgt das Singulärwert = Wurzel aus Eigenwert ist oder Eigenwert zum Betrag. Ich weiß nicht genau wie man das aufschreiben soll
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Kann mir bitte Jemand Helfen?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:09 Mo 13.06.2016 | | Autor: | fred97 |
> Kann mir bitte Jemand Helfen?
Hab ich gemacht !
FRED
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 10:08 Mo 13.06.2016 | | Autor: | fred97 |
> Aufgabe: Sei V ein endlich erzeugter unitärer Vektorraum
> und sei F ∈ [mm]End_C(V)[/mm] normal. Welche Beziehung besteht
> zwischen den Singulärwerten und den Eigenwerten von F?
> Also ich gehe der Vermutung, dass diese Aufgabe mithilfe
> der Singulärwertzerlegung zu Lösen ist ich weiß
> allerdings nicht genau wie,
>
> Ich habe schon folgendes F ist Normal => es existiert eine
> ONB, aus Eigenvektoren bestehend aus Eigenwerten => F ist
> pos. semidefinit.
> Ich vermute, das man nun den Satz für die
> Singulärwertzerlegung, das man die Eigenwerte sortiert und
> die dann quasi daraus folgt das Singulärwert = Wurzel aus
> Eigenwert ist oder Eigenwert zum Betrag. Ich weiß nicht
> genau wie man das aufschreiben soll
Zunächst allgemein:
Mit $(*|*)$ bezeichne ich das Skalarprodukt auf V.
Ist nun $T [mm] \in [/mm] End(V) $, so ist [mm] T^{\star}T [/mm] positiv semidefinit, hat also nichtnegative Eigenwerte. Ist [mm] \lambda [/mm] ein solcher, so heißt [mm] \wurzel{\lambda} [/mm] Singulärwert von $T$.
Nun sei $F [mm] \in [/mm] End(V) $ normal. Der Spektralsatz besagt: sind [mm] \lambda_1,...., \lambda_n [/mm] die Eigenwerte von F, so gibt es eine ONB [mm] \{u_1,...,u_n\} [/mm] von V mit:
[mm] F(x)=\summe_{k=1}^{n}\lambda_k(x|u_k)u_k [/mm] für alle x [mm] \in [/mm] V.
Dabei gelte [mm] $F(u_k)=\lambda_k u_k$
[/mm]
Dann ist
[mm] F^{\star}F(x)=F(F^{\star}(x))=\summe_{k=1}^{n}\lambda_k((F^{\star}(x)|u_k)u_k=\summe_{k=1}^{n}\lambda_k(x|F(u_k))u_k=\summe_{k=1}^{n}\lambda_k(x| \lambda_ku_k)u_k=\summe_{k=1}^{n}|\lambda_k|^2(x|u_k)u_k [/mm] für alle x [mm] \in [/mm] V.
Somit: [mm] F^{\star}F(u_k)=|\lambda_k|^2u_k [/mm] für k=1,...,n.
[mm] F^{\star}F [/mm] hat also genau die Eigenwerte [mm] |\lambda_1|^2,...., |\lambda_n|^2
[/mm]
Damit sind die Singulärwerte von F gegeben durch
[mm] |\lambda_1|,...., |\lambda_n|.
[/mm]
FRED
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