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Forum "Uni-Analysis-Komplexe Zahlen" - Singularitäten
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Singularitäten: Aufgabe 8
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 10:31 So 22.11.2009
Autor: Alaizabel

Aufgabe
Bestimmen Sie von jeder Singularität die Ordnung, das Residuum, die Postion und die Stärke.

[mm] f(z)=\bruch{z}{(z^2+1)^2} [/mm]

Hallo :)

Meiner Meinung nach hat diese Funktion gar keine Singularitäten oder irre ich mich?


Liebe Grüße und vielen, vielen Dank für eure tolle Hilfe

        
Bezug
Singularitäten: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 10:48 So 22.11.2009
Autor: felixf

Hallo!

> Bestimmen Sie von jeder Singularität die Ordnung, das
> Residuum, die Postion und die Stärke.
>  
> [mm]f(z)=\bruch{z}{(z^2+1)^2}[/mm]
>  Hallo :)
>  
> Meiner Meinung nach hat diese Funktion gar keine
> Singularitäten oder irre ich mich?

Reelle Polstellen hat sie nicht, aber zwei (konjugiert) komplexe.

LG Felix



Bezug
                
Bezug
Singularitäten: Rückfrage
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 10:54 So 22.11.2009
Autor: Alaizabel

Hallo Felix,

ich hoffe ich nerv dich nicht allzu arg.

Aber wie komme ich auf konjugiert komplexe Polstellen?

Das konjugiert komplexe von z ist x-iy.
aber damit komme ich nicht auf 0 in Nenner...

Vielen lieben Dank für deine tolle Hilfe und liebe Grüße

Bezug
                        
Bezug
Singularitäten: Nenner = 0
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 10:57 So 22.11.2009
Autor: Loddar

Hallo Alaizabel!


Berechne einfach mal [mm] $z^2+1 [/mm] \ = \ 0$ .

Daraus ergeben sich dann die beiden komplexen Lösungen. Diese sind dann auch zueinander komplex-konjugiert.


Gruß
Loddar


Bezug
                                
Bezug
Singularitäten: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 11:25 So 22.11.2009
Autor: Alaizabel

Hallo Loddar,

[mm] z^2=-1 [/mm]

z=i

also a+bi=i

a=0 und b=1

stimmt das?

dann wäre die Síngularität bei z=i, 2. Ordnung und Residuum i?

Vielen Dank für deine Hilfe und einen schönen Sonntag :)

Bezug
                                        
Bezug
Singularitäten: eine Lösung fehlt
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:09 So 22.11.2009
Autor: Loddar

Hallo Alaizabel!


> [mm]z^2=-1[/mm]
>  
> z=i

Da fehlt noch eine Lösung. Was ist mit [mm] $z_2 [/mm] \ = \ [mm] \red{-} [/mm] ß i$ ?


Gruß
Loddar


Bezug
                                                
Bezug
Singularitäten: Rückfrage
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:38 So 22.11.2009
Autor: Alaizabel

Hallo,

danke für die Hilfe und den Tipp, ja -i hatte ich vergessen, dafür ist es auch 2. Ordnung und das Residuum -i oder?

Dankeschön :)

Liebe Grüße :) :)

Bezug
                                                        
Bezug
Singularitäten: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:15 Mo 23.11.2009
Autor: felixf

Hallo!

> Hallo,
>  
> danke für die Hilfe und den Tipp, ja -i hatte ich
> vergessen, dafür ist es auch 2. Ordnung und das Residuum
> -i oder?

Laut Maple ist $f(z) = [mm] -\frac{i}{4} [/mm] (z - [mm] i)^{-2} [/mm] - [mm] \frac{i}{16} [/mm] + ...$ und $f(z) = [mm] \frac{i}{4} [/mm] (z + [mm] i)^{-2} [/mm] + [mm] \frac{i}{16} [/mm] + ...$. Damit hast du zwei Pole zweiter Ordnung, mit Residuen 0, und Staerke ist [mm] $\pm \frac{i}{4}$. [/mm]

LG Felix


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