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Guten morgen,
ich habe gestern mit einer Kommilitonin gelernt. Folgende Aufgabe hat uns allerdings Probleme bereitet und wir sind auf keine Lösung gekommen.
"Bestimmen Sie alle isolierten Singularitäten der Funktion
f(z):= [mm] \bruch{(z+1)^2 (z-1)}{z sin(\pi z)}
[/mm]
in [mm] K_{3/2} [/mm] (0) und bestimmen Sie deren Typen (bei Polstellen mit Ordnung). Geben Sie den maximalen Teilbereich B [mm] \subset K_{3/2} [/mm] (0) an, in denen f holomorph fortsetzbar ist."
Wir haben uns zunächst einmal überlegt, wo isolierte Singularitäten vorliegen können. Dazu haben wir den Nenner der Funktion betrachtet und überlegt, wann dieser Null wird. Das ist zum einen der Fall, wenn z=0 ist, und ebenso dann, wenn [mm] sin(\pi [/mm] z). Dadurch, dass wir die isolierten Singularitäten in [mm] K_{3/2} [/mm] (0) suchen, ist nur z=0, da die anderen z, für die der Sinus Null wird, außerhalb des Kreises liegen.
Als nächstes soll nun ja der Typ der isolierten Singularität bestimmt werden. Dazu gibt es ja die drei Möglichkeiten hebbar, Pol und wesentliche Singularität.
Da der Zähler der Funktion für z=0 nicht Null wird, ist die Singularität schonmal nicht hebbar. (Reicht diese Begründung aus? Oder wie würde man das formal korrekt aufschreiben/begründen??)
Als nächstes wollten wir prüfen, ob es sich um einen Pol handelt. Dazu haben wir den Limes betrachtet:
[mm] \limes_{z\rightarrow 0} [/mm] |f(z)| = [mm] \limes_{z\rightarrow 0} |\bruch{(z+1)^2 (z-1)}{z sin(\pi z)}| [/mm]
Wir haben uns dazu überlegt, dass der Nenner gegen 0 geht, der Zähler aber nicht und das ganze somit = [mm] \infty [/mm] ist. Kann man das so begründen? Oder wie würde man es "vernünftig" machen?
Dadurch, dass [mm] \limes_{z\rightarrow 0} [/mm] |f(z)| = [mm] \infty [/mm] ist, liegt also ein Pol an der Stelle z=0 vor.
Was uns nun nicht ganz klar ist, ist wie wir die Ordnung bestimmen... Kann uns das jemand erklären?
Viele Grüße und einen schönen Tag,
Isabelle
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:43 Di 19.02.2013 | | Autor: | fred97 |
Allgemein : ist D eine offene Teilmenge von [mm] \IC, z_0 \in [/mm] D und f auf D \ { [mm] z_0 \} [/mm] holomorph, so ist [mm] z_0 [/mm] genau dann ein Pol von f , wenn [mm] z_0 [/mm] keine hebbare Singularität von f ist und wenn es eine natürliche Zahl p gibt mit:
(*) [mm] (z-z_0)^pf(z) [/mm] hat in [mm] z_0 [/mm] eine hebbare Singularität.
Das kleinstmögliche p in (*) ist dann die Ordnung des Pols.
bei Deiner Aufgabe ist [mm] z_0=0.
[/mm]
Nun begründe mit dem was ich oben geschrieben habe, dass [mm] z_0 [/mm] =0 bei Deinem f ein Pol der Ordnung 2 ist.
FRED
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Vielen Dank schonmal!
Wenn ich das jetzt richtig verstanden habe, dann fange ich im Grunde mit p=0 an und prüfe dann, wann [mm] z_0 [/mm] zum ersten mal eine hebbare Singularität hat.
Also allgemein betrachte ich, da [mm] z_0 [/mm] = 0
[mm] z^p \bruch{(z+1)^2 (z-2)}{z sin(\pi z)}
[/mm]
für p=0 habe ich also [mm] \bruch{(z+1)^2 (z-2)}{z sin(\pi z)}, [/mm] was ja wie bereits festgestellt nicht hebbar ist
Als nächstes schaue ich mir p=1 an. Ich habe also
[mm] \bruch{z(z+1)^2 (z-2)}{z sin(\pi z)}
[/mm]
Das z lässt sich also wegkürzen und ich habe
[mm] \bruch{(z+1)^2 (z-2)}{sin(\pi z)}
[/mm]
Für z=0 wird der Nenner aber weiterhin Null (Nullstelle des Sinus), der Zähler allerdings nicht, also auch noch nicht hebbar.
Für p=2 habe ich nun [mm] \bruch{z^2 (z+1)^2 (z-2)}{z sin(\pi z)}
[/mm]
Da kann ich nun zum einen ein z rauskürzen, also habe ich
[mm] \bruch{z(z+1)^2 (z-2)}{sin(\pi z)}
[/mm]
Für z=0 wird der Nenner nun zwar null, allerdings ebenso der Zähler und ich habe folglich eine hebbare Singularität.
p=2 ist also das kleinstmöglichste p und damit ist die Ordnung des Pols 2
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:46 Di 19.02.2013 | | Autor: | fred97 |
> Vielen Dank schonmal!
>
> Wenn ich das jetzt richtig verstanden habe, dann fange ich
> im Grunde mit p=0 an und prüfe dann, wann [mm]z_0[/mm] zum ersten
> mal eine hebbare Singularität hat.
>
> Also allgemein betrachte ich, da [mm]z_0[/mm] = 0
>
> [mm]z^p \bruch{(z+1)^2 (z-2)}{z sin(\pi z)}[/mm]
>
> für p=0 habe ich also [mm]\bruch{(z+1)^2 (z-2)}{z sin(\pi z)},[/mm]
> was ja wie bereits festgestellt nicht hebbar ist
>
> Als nächstes schaue ich mir p=1 an. Ich habe also
> [mm]\bruch{z(z+1)^2 (z-2)}{z sin(\pi z)}[/mm]
> Das z lässt sich
> also wegkürzen und ich habe
> [mm]\bruch{(z+1)^2 (z-2)}{sin(\pi z)}[/mm]
> Für z=0 wird der
> Nenner aber weiterhin Null (Nullstelle des Sinus), der
> Zähler allerdings nicht, also auch noch nicht hebbar.
>
> Für p=2 habe ich nun [mm]\bruch{z^2 (z+1)^2 (z-2)}{z sin(\pi z)}[/mm]
>
> Da kann ich nun zum einen ein z rauskürzen, also habe ich
> [mm]\bruch{z(z+1)^2 (z-2)}{sin(\pi z)}[/mm]
> Für z=0 wird der
> Nenner nun zwar null, allerdings ebenso der Zähler und ich
> habe folglich eine hebbare Singularität.
Na, na, nicht so hastig ! Deine Begründung reicht nicht !
Du mußt zeigen, dass [mm]\bruch{z(z+1)^2 (z-2)}{sin(\pi z)}[/mm] in einer punktierten Umgebung von 0 beschränkt bleibt.
Berechne mal
[mm]\limes_{z\rightarrow 0}\bruch{z(z+1)^2 (z-2)}{sin(\pi z)}[/mm]
FRED
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> p=2 ist also das kleinstmöglichste p und damit ist die
> Ordnung des Pols 2
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> Na, na, nicht so hastig ! Deine Begründung reicht nicht !
>
> Du mußt zeigen, dass [mm]\bruch{z(z+1)^2 (z-2)}{sin(\pi z)}[/mm]
> in einer punktierten Umgebung von 0 beschränkt bleibt.
>
> Berechne mal
>
> [mm]\limes_{z\rightarrow 0}\bruch{z(z+1)^2 (z-2)}{sin(\pi z)}[/mm]
>
Ich glaube ich bin dafür gerade irgendwie zu blöd ... Ich habe überlegt, dass der Sinus ja höchstens 1 ist, und das als Abschätzung zu nehmen, da der aber ja im Nenner steht würde ich ja damit genau das Gegenteil von dem bewirken, was ich möchte...
Ein anderer Gedanke war, dass sowohl Zähler als auch Nenner gegen 0 streben, aber das bringt mich auch irgendwie nicht weiter...
> >
> > p=2 ist also das kleinstmöglichste p und damit ist die
> > Ordnung des Pols 2
>
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:45 Di 19.02.2013 | | Autor: | fred97 |
> >
> > Na, na, nicht so hastig ! Deine Begründung reicht nicht !
> >
> > Du mußt zeigen, dass [mm]\bruch{z(z+1)^2 (z-2)}{sin(\pi z)}[/mm]
> > in einer punktierten Umgebung von 0 beschränkt bleibt.
> >
> > Berechne mal
> >
> > [mm]\limes_{z\rightarrow 0}\bruch{z(z+1)^2 (z-2)}{sin(\pi z)}[/mm]
>
> >
>
> Ich glaube ich bin dafür gerade irgendwie zu blöd ... Ich
> habe überlegt, dass der Sinus ja höchstens 1 ist,
Aber nicht im Komplexen ! Da ist der Sinus nicht beschränkt !
> und das
> als Abschätzung zu nehmen, da der aber ja im Nenner steht
> würde ich ja damit genau das Gegenteil von dem bewirken,
> was ich möchte...
> Ein anderer Gedanke war, dass sowohl Zähler als auch
> Nenner gegen 0 streben, aber das bringt mich auch irgendwie
> nicht weiter...
Schon mal gesehen: [mm] \limes_{z\rightarrow 0}\bruch{sin(z)}{z}=1 [/mm] ????
Und damit: [mm] \limes_{z\rightarrow 0}\bruch{sin(\pi z)}{z}=\limes_{z\rightarrow 0}\bruch{sin(\pi z)}{ \pi z}* \pi= \pi.
[/mm]
FRED
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> > >
> > > p=2 ist also das kleinstmöglichste p und damit ist die
> > > Ordnung des Pols 2
> >
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> > > Na, na, nicht so hastig ! Deine Begründung reicht nicht !
> > >
> > > Du mußt zeigen, dass [mm]\bruch{z(z+1)^2 (z-2)}{sin(\pi z)}[/mm]
> > > in einer punktierten Umgebung von 0 beschränkt bleibt.
> > >
> > > Berechne mal
> > >
> > > [mm]\limes_{z\rightarrow 0}\bruch{z(z+1)^2 (z-2)}{sin(\pi z)}[/mm]
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> >
> > >
> >
> > Ich glaube ich bin dafür gerade irgendwie zu blöd ... Ich
> > habe überlegt, dass der Sinus ja höchstens 1 ist,
>
> Aber nicht im Komplexen ! Da ist der Sinus nicht
> beschränkt !
Oh nein, das stimmt wohl leider!
>
> > und das
> > als Abschätzung zu nehmen, da der aber ja im Nenner steht
> > würde ich ja damit genau das Gegenteil von dem bewirken,
> > was ich möchte...
> > Ein anderer Gedanke war, dass sowohl Zähler als auch
> > Nenner gegen 0 streben, aber das bringt mich auch irgendwie
> > nicht weiter...
>
>
> Schon mal gesehen: [mm]\limes_{z\rightarrow 0}\bruch{sin(z)}{z}=1[/mm]
> ????
Das sagt mir jetzt nichts, aber das sollte ich mir mal merken :)
>
> Und damit: [mm]\limes_{z\rightarrow 0}\bruch{sin(\pi z)}{z}=\limes_{z\rightarrow 0}\bruch{sin(\pi z)}{ \pi z}* \pi= \pi.[/mm]
Das verstehe ich soweit!
Aber wie genau mir das jetzt für meine Funktion hilft, sehe ich noch nicht, denn dort steht ja im Grunde der Kehrwert... Ist die Schranke dann auch der Kehrwert?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:52 Di 19.02.2013 | | Autor: | fred97 |
> > > >
> > > > Na, na, nicht so hastig ! Deine Begründung reicht nicht !
> > > >
> > > > Du mußt zeigen, dass [mm]\bruch{z(z+1)^2 (z-2)}{sin(\pi z)}[/mm]
> > > > in einer punktierten Umgebung von 0 beschränkt bleibt.
> > > >
> > > > Berechne mal
> > > >
> > > > [mm]\limes_{z\rightarrow 0}\bruch{z(z+1)^2 (z-2)}{sin(\pi z)}[/mm]
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> > >
> > > >
> > >
> > > Ich glaube ich bin dafür gerade irgendwie zu blöd ... Ich
> > > habe überlegt, dass der Sinus ja höchstens 1 ist,
> >
> > Aber nicht im Komplexen ! Da ist der Sinus nicht
> > beschränkt !
>
> Oh nein, das stimmt wohl leider!
>
> >
> > > und das
> > > als Abschätzung zu nehmen, da der aber ja im Nenner steht
> > > würde ich ja damit genau das Gegenteil von dem bewirken,
> > > was ich möchte...
> > > Ein anderer Gedanke war, dass sowohl Zähler als
> auch
> > > Nenner gegen 0 streben, aber das bringt mich auch irgendwie
> > > nicht weiter...
> >
> >
> > Schon mal gesehen: [mm]\limes_{z\rightarrow 0}\bruch{sin(z)}{z}=1[/mm]
> > ????
>
> Das sagt mir jetzt nichts
Das glaube ich nicht ! Nimm mal die Potenzreihe vom Sinus und berechne obigen Grenzwert. Damit ist dann z.B. gezeigt, dass [mm] \bruch{sin(z)}{z} [/mm] in [mm] z_0=0 [/mm] eine hebbare Sing. hat.
> , aber das sollte ich mir mal
> merken :)
>
> >
> > Und damit: [mm]\limes_{z\rightarrow 0}\bruch{sin(\pi z)}{z}=\limes_{z\rightarrow 0}\bruch{sin(\pi z)}{ \pi z}* \pi= \pi.[/mm]
>
> Das verstehe ich soweit!
> Aber wie genau mir das jetzt für meine Funktion hilft,
> sehe ich noch nicht, denn dort steht ja im Grunde der
> Kehrwert... Ist die Schranke dann auch der Kehrwert?
$ [mm] \limes_{z\rightarrow 0}\bruch{z(z+1)^2 (z-2)}{sin(\pi z)} \to \bruch{1}{\pi} *1^2*(-2)=\bruch{-2}{\pi}$ [/mm] für z [mm] \to [/mm] 0.
FRED
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:25 Di 19.02.2013 | | Autor: | Diophant |
Hallo Isabelle,
bitte ändere nicht grundlos den Status einer beantorteten Frage auf 'ubeantwortet' zurück.
Gruß, Diophant
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:26 Di 19.02.2013 | | Autor: | Isabelle90 |
Teile meiner Frage sind aber noch unbeantwortet....
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:31 Di 19.02.2013 | | Autor: | Diophant |
Hallo,
> Teile meiner Frage sind aber noch unbeantwortet....
dann stelle eine Frage in Form eines weiteren Beitrags im Thread, so wie du es jetzt getan hast.
Der Sinn und Zweck dieser Möglichkeit ist ein anderer: man kann damit signalisieren, dass eine Antwort gegeben wurde, die überhaupt nichts mit der Ausgangsfrage zu tun hat. Das ist hier nicht der Fall - im Gegenteil.
Gruß, Diophant
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:34 Di 19.02.2013 | | Autor: | Isabelle90 |
Sorry, das war mir nicht klar! Werde ich mir fürs nächste Mal auf jedenfall merken!
LG Isabelle
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:46 Di 19.02.2013 | | Autor: | fred97 |
> Teile meiner Frage sind aber noch unbeantwortet....
So, welche denn ?
FRED
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Es waren in erster Linie Rückfragen zu den Dingen, die ich bereits gemacht hatte offen...
"Guten morgen,
ich habe gestern mit einer Kommilitonin gelernt. Folgende Aufgabe hat uns allerdings Probleme bereitet und wir sind auf keine Lösung gekommen.
"Bestimmen Sie alle isolierten Singularitäten der Funktion
f(z):= $ [mm] \bruch{(z+1)^2 (z-1)}{z sin(\pi z)} [/mm] $
in $ [mm] K_{3/2} [/mm] $ (0) und bestimmen Sie deren Typen (bei Polstellen mit Ordnung). Geben Sie den maximalen Teilbereich B $ [mm] \subset K_{3/2} [/mm] $ (0) an, in denen f holomorph fortsetzbar ist."
Wir haben uns zunächst einmal überlegt, wo isolierte Singularitäten vorliegen können. Dazu haben wir den Nenner der Funktion betrachtet und überlegt, wann dieser Null wird. Das ist zum einen der Fall, wenn z=0 ist, und ebenso dann, wenn $ [mm] sin(\pi [/mm] $ z). Dadurch, dass wir die isolierten Singularitäten in $ [mm] K_{3/2} [/mm] $ (0) suchen, ist nur z=0, da die anderen z, für die der Sinus Null wird, außerhalb des Kreises liegen.
Als nächstes soll nun ja der Typ der isolierten Singularität bestimmt werden. Dazu gibt es ja die drei Möglichkeiten hebbar, Pol und wesentliche Singularität.
Da der Zähler der Funktion für z=0 nicht Null wird, ist die Singularität schonmal nicht hebbar. (Reicht diese Begründung aus? Oder wie würde man das formal korrekt aufschreiben/begründen??)
Als nächstes wollten wir prüfen, ob es sich um einen Pol handelt. Dazu haben wir den Limes betrachtet:
$ [mm] \limes_{z\rightarrow 0} [/mm] $ |f(z)| = $ [mm] \limes_{z\rightarrow 0} |\bruch{(z+1)^2 (z-1)}{z sin(\pi z)}| [/mm] $
Wir haben uns dazu überlegt, dass der Nenner gegen 0 geht, der Zähler aber nicht und das ganze somit = $ [mm] \infty [/mm] $ ist. Kann man das so begründen? Oder wie würde man es "vernünftig" machen? "
Nach deiner letzten Antwort sollten meine Begründungen aber dann wahrscheinlich nicht ausreichen...!
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 11:48 Di 19.02.2013 | | Autor: | fred97 |
> Es waren in erster Linie Rückfragen zu den Dingen, die ich
> bereits gemacht hatte offen...
>
> "Guten morgen,
>
> ich habe gestern mit einer Kommilitonin gelernt. Folgende
> Aufgabe hat uns allerdings Probleme bereitet und wir sind
> auf keine Lösung gekommen.
>
> "Bestimmen Sie alle isolierten Singularitäten der
> Funktion
> f(z):= [mm]\bruch{(z+1)^2 (z-1)}{z sin(\pi z)}[/mm]
> in [mm]K_{3/2}[/mm] (0)
> und bestimmen Sie deren Typen (bei Polstellen mit
> Ordnung). Geben Sie den maximalen Teilbereich B [mm]\subset K_{3/2}[/mm]
> (0) an, in denen f holomorph fortsetzbar ist."
>
> Wir haben uns zunächst einmal überlegt, wo isolierte
> Singularitäten vorliegen können. Dazu haben wir den
> Nenner der Funktion betrachtet und überlegt, wann dieser
> Null wird. Das ist zum einen der Fall, wenn z=0 ist, und
> ebenso dann, wenn [mm]sin(\pi[/mm] z). Dadurch, dass wir die
> isolierten Singularitäten in [mm]K_{3/2}[/mm] (0) suchen, ist nur
> z=0, da die anderen z, für die der Sinus Null wird,
> außerhalb des Kreises liegen.
Ja
>
> Als nächstes soll nun ja der Typ der isolierten
> Singularität bestimmt werden. Dazu gibt es ja die drei
> Möglichkeiten hebbar, Pol und wesentliche Singularität.
> Da der Zähler der Funktion für z=0 nicht Null wird, ist
> die Singularität schonmal nicht hebbar. (Reicht diese
> Begründung aus? Oder wie würde man das formal korrekt
> aufschreiben/begründen??)
Dann ist [mm] \limes_{z\rightarrow\infty}|f(z)| [/mm] = [mm] \infty
[/mm]
nach dem Riemannschen Hebbarkeitssatz ist die Sing. nicht hebbar.
>
> Als nächstes wollten wir prüfen, ob es sich um einen Pol
> handelt. Dazu haben wir den Limes betrachtet:
> [mm]\limes_{z\rightarrow 0}[/mm] |f(z)| = [mm]\limes_{z\rightarrow 0} |\bruch{(z+1)^2 (z-1)}{z sin(\pi z)}|[/mm]
>
> Wir haben uns dazu überlegt, dass der Nenner gegen 0 geht,
> der Zähler aber nicht und das ganze somit = [mm]\infty[/mm] ist.
> Kann man das so begründen? Oder wie würde man es
> "vernünftig" machen? "
dazu hab ich Dir in meiner ersten Antwort das Nötige gesagt.
FRED
>
> Nach deiner letzten Antwort sollten meine Begründungen
> aber dann wahrscheinlich nicht ausreichen...!
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:45 Di 19.02.2013 | | Autor: | Isabelle90 |
Danke!
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