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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:06 Sa 23.01.2010 | | Autor: | Cybrina |
| Aufgabe | Es sei [mm] f(z):=\bruch{5}{z}+\bruch{i}{3z+27i}
[/mm]
(1) Bestimmen Sie die Singularitäten [mm] z_{1},z_{2} [/mm] von f(z) (mit Im [mm] z_1
(2) Entwickeln Sie f in dem offenen Ringgebiet [mm] B_{0,r}(z_2) [/mm] in eine Laurent-Reihe, bestimmen Sie den größten Wert r>0, so dass die Reihe auf dem Ringgebiet konvergiert und geben Sie das Rediuum [mm] Res(f,z_2) [/mm] an. |
Hallo, stecke grad mitten in der Klausur-Vorbereitungen. Jetzt bräuchte ich mal jemanden, der mir sagt, ob ich die Aufgabe so richtig gelöst hab, also auch formal so, dass nichts zu beanstanden ist. Danke schonmal.
(1)
[mm] z_1=-9i
[/mm]
[mm] \limes_{z\rightarrow z_1}f(z)="\infty*i", [/mm] d.h. [mm] z_1 [/mm] ist nicht beschränkt und damit nicht hebbar.
Mit
[mm] g(z):=(z+9i)f(z)=\bruch{5(z+9i)}{z}+\bruch{i(z+9i)}{3(z+9i)}
[/mm]
gilt
[mm] \limes_{z\rightarrow z_1}g(z)=\limes_{z\rightarrow z_1}(\bruch{5(z+9i)}{z}+\bruch{i}{3})=\bruch{i}{3},
[/mm]
[mm] z_1 [/mm] ist also ein Pol der Ordnung 1.
... (mit [mm] z_2=0 [/mm] mach ich das genauso, ist auch ein Pol der Ordnung 1)
(2)
[mm] f(z)=5z^{-1}+\bruch{(27i*\bruch{1}{27}}{27i(\bruch{z}{9i}+1)}
[/mm]
[mm] =5z^{-1}+\bruch{\bruch{1}{27}}{1-(\bruch{1}{9}iz}
[/mm]
[mm] =5z^{-1}+\bruch{1}{27}\summe_{n=0}^{\infty}(\bruch{1}{9}i)^nz^n
[/mm]
[mm] =5z^{-1}+\summe_{n=0}^{\infty}\bruch{1}{27}(\bruch{1}{9}i)^nz^n
[/mm]
Ist das so "ordentlich" entwickelt. Oder hätte man das eigentlich anders machen müssen? (Es gibt da ja eigentlich diese komischen Integralformeln... ;) )
Die Reihe konvergiert auf [mm] B_{0,r}(0) [/mm] mit
[mm] r=(\limes_{n\rightarrow\infty}\wurzel[n]{|\bruch{1}{27}(\bruch{1}{9}i)^n|})^{-1}=\infty,
[/mm]
also auf ganz [mm] \IC\backslash\{0\}
[/mm]
Res(f,0)=5
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:26 Sa 23.01.2010 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Es sei [mm]f(z):=\bruch{5}{z}+\bruch{i}{3z+27i}[/mm]
>
> (1) Bestimmen Sie die Singularitäten [mm]z_{1},z_{2}[/mm] von f(z)
> (mit [mm]Im z_1
> auch die Ordnung angeben).
>
> (2) Entwickeln Sie f in dem offenen Ringgebiet [mm]B_{0,r}(z_2)[/mm]
> in eine Laurent-Reihe, bestimmen Sie den größten Wert
> r>0, so dass die Reihe auf dem Ringgebiet konvergiert und
> geben Sie das Rediuum [mm]Res(f,z_2)[/mm] an.
> Hallo, stecke grad mitten in der Klausur-Vorbereitungen.
> Jetzt bräuchte ich mal jemanden, der mir sagt, ob ich die
> Aufgabe so richtig gelöst hab, also auch formal so, dass
> nichts zu beanstanden ist. Danke schonmal.
>
> (1)
> [mm]z_1=-9i[/mm]
>
> [mm]\limes_{z\rightarrow z_1}f(z)="\infty*i",[/mm] d.h. [mm]z_1[/mm] ist
> nicht beschränkt und damit nicht hebbar.
> Mit
>
> [mm]g(z):=(z+9i)f(z)=\bruch{5(z+9i)}{z}+\bruch{i(z+9i)}{3(z+9i)}[/mm]
> gilt
> [mm]\limes_{z\rightarrow z_1}g(z)=\limes_{z\rightarrow z_1}(\bruch{5(z+9i)}{z}+\bruch{i}{3})=\bruch{i}{3},[/mm]
>
> [mm]z_1[/mm] ist also ein Pol der Ordnung 1.
Richtig, und [mm] $\bruch{i}{3}$ [/mm] ist das zugehörige Residuum.
> ... (mit [mm]z_2=0[/mm] mach ich das genauso, ist auch ein Pol der Ordnung 1)
OK.
> (2)
>
> [mm]f(z)=5z^{-1}+\bruch{(27i*\bruch{1}{27}}{27i(\bruch{z}{9i}+1)}[/mm]
> [mm]=5z^{-1}+\bruch{\bruch{1}{27}}{1-(\bruch{1}{9}iz}[/mm]
>
> [mm]=5z^{-1}+\bruch{1}{27}\summe_{n=0}^{\infty}(\bruch{1}{9}i)^nz^n[/mm]
>
> [mm]=5z^{-1}+\summe_{n=0}^{\infty}\bruch{1}{27}(\bruch{1}{9}i)^nz^n[/mm]
>
> Ist das so "ordentlich" entwickelt. Oder hätte man das
> eigentlich anders machen müssen? (Es gibt da ja eigentlich
> diese komischen Integralformeln... ;) )
Dsa ist richtig, die geometrische Reihe ist in vielen Fällen der einfachste Weg.
> Die Reihe konvergiert auf [mm]B_{0,r}(0)[/mm] mit
>
> [mm]r=(\limes_{n\rightarrow\infty}\wurzel[n]{|\bruch{1}{27}(\bruch{1}{9}i)^n|})^{-1}=\infty,[/mm]
Das Kriterium ist in Ordnung, das Ergebnis nicht, denn:
[mm] \wurzel[n]{|\bruch{1}{27}(\bruch{1}{9}i)^n|} = \wurzel[n]{\bruch{1}{27}\bruch{1}{9^n}} = \wurzel[n]{\bruch{1}{27}} * \wurzel[n]{\bruch{1}{9^n}} = \wurzel[n]{\bruch{1}{27}} *\bruch{1}{9} [/mm]
und das geht für [mm] $n\to \infty$ [/mm] gegen [mm] $\bruch{1}{9}$, [/mm] daher $r=9$.
Einfache Kontrolle: der Konvergenzradius einer Laurententwicklung kann höchstens bis zur nächstgelegenen Singularität gehen, und das ist [mm] $z_1 [/mm] = 9i$. Der Abstand zwischen [mm] $z_1$ [/mm] und [mm] $z_2$ [/mm] ist 9.
Übrigens geht das auch ganz schnell mit dem Kriterium von Cauchy-Hadamard: da alle Koeffizienten der Entwicklung ungleich 0 sind, wird aus dem [mm] $\limsup$ [/mm] ein einfacher Limes:
[mm] r = \bruch{1}{\limsup\limits_{n\to\infty} \left|\bruch{a_{n+1}}{a_n}\right|} = \bruch{1}{\limes_{n\to\infty} \left|\bruch{i}{9}\right|} = 9. [/mm]
> Res(f,0)=5
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Viele Grüße
Rainer
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:34 Sa 23.01.2010 | | Autor: | Cybrina |
Super, vielen Dank. Wieder was dazu gelernt :)
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