Singularitäten von z^2/sin(iz) < Sonstiges < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo liebes Forum,
ich tue mich momentan schwer die isolierten Singularitäten von
[mm] \frac{z^2}{\sin(iz)}
[/mm]
zu finden.
Habe schon versucht die Exponentialdarstellung einzustezen und den Sinus als Potenzreihe zu schreiben. Aber mich stört dass das gane im Nenner steht :(
Bitte gebt mir einen Ansatz wie man Singularitäten bei denen eine trigonometrische Funktion im Nenner steht. Im Zähler wärs ja kein Problem, da man gliedweise durch den Nenner teilen könnte.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:51 Mi 09.07.2008 | | Autor: | abakus |
> Hallo liebes Forum,
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> ich tue mich momentan schwer die isolierten Singularitäten
> von
>
> [mm]\frac{z^2}{\sin(iz)}[/mm]
>
> zu finden.
> Habe schon versucht die Exponentialdarstellung einzustezen
> und den Sinus als Potenzreihe zu schreiben. Aber mich stört
> dass das gane im Nenner steht :(
>
> Bitte gebt mir einen Ansatz wie man Singularitäten bei
> denen eine trigonometrische Funktion im Nenner steht. Im
> Zähler wärs ja kein Problem, da man gliedweise durch den
> Nenner teilen könnte.
Hallo,
wir haben damals im Studium (Lehramt) komplexe Funktionen leider nur sehr oberflächlich gestreift. Ich habe also nur so eine Ahnung, worum es gehen könnte.
Im Prinzip geht es doch um nicht definierte Stellen von [mm] f(z)=\frac{z^2}{\sin(iz)} [/mm] ?
Mit anderen Worten: finde die komplexen Zahlen z, für die [mm] \sin(iz)=0 [/mm] (und [mm] z^2 \ne [/mm] 0) gilt.
Der Nenner ist 0 für [mm] z=\bruch{k*\pi}{i}. [/mm] Ob es noch für weitere komplexe Zahlen gilt weiß ich nicht (es scheitert daran, dass ich nicht mehr weiß, wie die Sinusfunktion allgemein im Kompexen definiert ist).
Ich hoffe, der Ansatz hilft trotzdem.
Gruß Abakus
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Danke für deine Antwort, hilft schonmal ernorm!
Doch was machen wir mit der Null?
Ist das auch ein Pol, oder eine Hebbare Singularität?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:51 Mi 09.07.2008 | | Autor: | Herby |
Hallo Dirk,
das ist ein Pol und nicht hebbar.
Lg
Herby
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aber der nenner hat doch auch 0 als 2-fache Nullstelle...
Im Nenner wäre höchstens die 0 ein Pol erster ordnung ... wieso kann man das nicht kürzen/heben???
Sorry, bin noch nicht so sicher auf dem Gebiet :(
Danke im Voraus!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:05 Mi 09.07.2008 | | Autor: | Herby |
Hallo,
edit: es geht doch nur um denn Nenner. Der Zähler wird mit [mm] z=\bruch{k*\pi}{i} [/mm] nicht Null, wenn [mm] k\in\IZ [/mm] \ [mm] \{0\}
[/mm]
Für k=0 liegt weder Polstelle nochhebbar vor, also wesentliche Singularität
Lg
Herby
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Aber wenn k=0 dann gilt doch
[mm] (\frac{0*pi}{i})^2 [/mm] , und das ist doch auch null oder irre ich mich?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:14 Mi 09.07.2008 | | Autor: | Herby |
Hallo,
> Aber wenn k=0 dann gilt doch
>
> [mm](\frac{0*pi}{i})^2[/mm] , und das ist doch auch null oder irre
> ich mich?
nein, da hast du natürlich recht und ich zu schnell geschrieben. Der Zähler darf natürlich nicht Null werden. In diesem Fall wäre es eine wesentliche Singularität.
Lg
Herby
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Danke für deine Antwort...
nur noch eine letzte kleine Rückfrage!
0 ist ja doppelte Nullstelle des Zählers aber einfache Nullstelle des Nenners....
Ist das jetzt eine richtige Hebbare Singularität, oder doch einfach ein Pol erster Ordnung! Das verstehe ich noch net ganz!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:27 Mi 09.07.2008 | | Autor: | Herby |
Hallo,
auch hier, wie unten 
[mm] z^2\not=0 [/mm] <-- sonst hättest du auch keine Polstelle
Lg
Herby
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ja aber bei
[mm] \frac{z^2}{sin(iz)} [/mm]
ist für z=0 sowohl nenner als auch zähler null ...
Jetzt stellt sich natürlich die Frage ob es sich um eine einfache Nullstelle (weil sich die zweite wegkürzt) oder um eine hebbare Singularität handelt!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:01 Do 10.07.2008 | | Autor: | Herby |
Hallo,
wie ich zu Anfang schon geschrieben hatte, für z=0 liegt eine Nullstelle vor - keine hebbare Polstelle. Ich habe die anderen Antworten entsprechend korrigiert.
> ja aber bei
>
> [mm]\frac{z^2}{sin(iz)}[/mm]
>
> ist für z=0 sowohl nenner als auch zähler null ...
>
> Jetzt stellt sich natürlich die Frage ob es sich um eine
> einfache Nullstelle (weil sich die zweite wegkürzt)
du kannst hier nichts weggkürzen
> oder um
> eine hebbare Singularität handelt!
auch nicht, denn [mm] \limes_{z\rightarrow 0}\ \bruch{z^2}{sin(iz)}=0
[/mm]
Lg
Herby
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 07:46 Do 10.07.2008 | | Autor: | fred97 |
Da gibts doch eigentlich gar keine Diskussion!
Zunächst ist 0 eine isolierte Singularität und wegen
$ [mm] \limes_{z\rightarrow 0}\ \bruch{z^2}{sin(iz)}=0 [/mm] $
ist die Funktion in einer Umgebung der 0 beschränkt. Nach dem Riemannschen Hebbarkeitssatz ist 0 eine hebbare Singularität. Punktum.
FRED
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:10 Mi 09.07.2008 | | Autor: | Herby |
Hallo Dirk,
wenn man von Polen spricht, dann beziehen sich die Nullstellen auf den Nenner. Bei Zählernullstellen spricht man von einer Nullstelle der Funktion.
Liebe Grüße
Herby
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Aber nehmen wir mal
[mm] \frac{z}{z}
[/mm]
Dann kann ja nicht 0 gleichzeitig Polstelle und Nullstelle sein, hier ist das ja eine hebbare Singularität ....
Und das ist mir bei der Funktion von meinem Ersten beitrag irgendwie nicht so ganz klar!
Danke für deine Mühen :) Es tut echt gut sich mit jemandem Auszutauschen...will das endlich verstehen!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:25 Mi 09.07.2008 | | Autor: | Herby |
Hallo,
das passt hier nicht, denn wir hatten uns oben darauf geeinigt, dass [mm] z^2\not=0 [/mm] sein soll und damit ist:
[mm] \bruch{z}{z}=1
[/mm]
Lg
Herby
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