Sinn von Quotientenkriterium ? < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:29 Mo 02.02.2009 | | Autor: | Yuumura |
| Aufgabe | | zeigen ob [mm] \summe_{n=1}^{\infty} \bruch{x^n}{n} [/mm] und [mm] \summe_{n=1}^{\infty} \bruch{n^2}{n} [/mm] konvergieren oder divergieren. |
Hi,
wir schreiben demnächst eine klausur und ich habe da so ein kleines Problem vor allem mit dem Quotientenkriterium. Und zwar muss man ja an +1 durch an teilen, n gegen unendlich laufen lassen und schaun ob die Zahl die herrauskommt größer oder kleiner 1 ist.
Nun, leider kommt aber sogut wie immer 1 raus. Was soll ein +1 auch bei unendlich / unendlich groß ändern ? Nur ein, zweimal, hats hingehaun wärend des gesamten Schuljahres und da nur bei konvergenz.
Noch nie hat mir dieses Kriterium bei einer Divergenz geholfen und bei obigen 2 aufgaben hilft es mir auh nicht.
Ich benutze eigentlich fast ausschließlich mayorant und minorant kriterium und das wahrscheinlich auch noch falsch.
Bei allem was divergiert schreibe ich einfach dass der Betrag (hier bin ich mir unsicher, muss ich den betrag nehmen?!) größer ist als die harmonische reihe 1/n und es deswegen divergieren muss... klappt meisstens ^^
Konvergenz is meisst nicht so das problem, da haben wir mehrere Methoden z.B leibnis, 1/ [mm] n^x [/mm] wenn x größer 1 is, konvergiert es usw...
Aber muss ich wenn ich eine divergenz beweisen will den betrag von ak mit dem betrag von 1/n (harmonische reihe) vergleichen oder ohne betrag ? Bei wikipedia scheint mir aucch, dass sie die beträge je nach lust und laune setzen, bei minorant nicht, bei majorant schon, wir setzen sie auch bei minorant etc...
Naja Danke für die Hilfe
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> zeigen ob [mm]\summe_{n=1}^{\infty} \bruch{x^n}{n}[/mm] und
> [mm]\summe_{n=1}^{\infty} \bruch{n^2}{n}[/mm] konvergieren oder
> divergieren.
> Hi,
> wir schreiben demnächst eine klausur und ich habe da so
> ein kleines Problem vor allem mit dem Quotientenkriterium.
> Und zwar muss man ja [mm] a_{n +1} [/mm] durch [mm] a_n [/mm] teilen, n gegen
> unendlich laufen lassen und schaun ob die Zahl die
> herrauskommt größer oder kleiner 1 ist.
Hallo,
ja.
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> Nun, leider kommt aber sogut wie immer 1 raus. Was soll ein
> +1 auch bei unendlich / unendlich groß ändern ? Nur ein,
> zweimal, hats hingehaun wärend des gesamten Schuljahres und
> da nur bei konvergenz.
Das liegt dann an den Aufgaben, die Euch gestellt wurden.
Das Quotientenkriterium kann nichts dazu. Wenn Du das Forum durchforstest, wirst Du eine Fülle von Aufgaben finden, die man mit dem Quotientenkriterium bequem bewältigen kann - andere wiederum klappen damit nicht.
> Noch nie hat mir dieses Kriterium bei einer Divergenz
> geholfen und bei obigen 2 aufgaben hilft es mir auh nicht.
>
Nun, die zweite Deiner Aufgaben ist ja so beschaffen, daß man sofort sieht, daß die Reihe nicht konvergiert.
Bei der ersten Aufgabe hilft das Quotientenkriterium durchaus:
[mm] |\bruch{a_{n+1}}{a_n}| =|x|*\bruch{n}{n+1} \to [/mm] |x|
Dem Quotientenkriterium entnehme ich nun, daß für |x|<1 die Reihe konvergiert, für |x|>1 divergiert sie.
Für x=1 hat man die harmonische Reihe, also Divergenz, für x=-1 ist's die alternierende harmonische Reihe, also konvergent.
> Ich benutze eigentlich fast ausschließlich mayorant und
> minorant kriterium und das wahrscheinlich auch noch
> falsch.
Ob das der Fall ist, sehen wir am bsten, wenn Du es für konkrete Reihen mal vorrechnest. Dann ist die gefahr von Mißverständnissen am kleinsten.
merk' Dir das Majoranten/Minorantenkriterium doch so:
Seien [mm] $(a_n)$ [/mm] und [mm] $(b_n [/mm] )$ zwei Folgen mit [mm] $\vert a_n \vert\leq b_n$ [/mm] für fast alle [mm] $n\in\mathbb{N}$.
[/mm]
* [mm] $\mbox{Ist }\sum\limits_{n=1}^{\infty} b_n \mbox{ konvergent, so ist }\sum\limits_{n=1}^{\infty} a_n \mbox{absolut konvergent (und daher}\qquad\qquad$ [/mm] konvergent.
* [mm] $\mbox{Ist }\sum\limits_{n=1}^{\infty} a_n \mbox{ divergent, so auch }\sum\limits_{n=1}^{\infty} b_n [/mm] .$
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:05 Mo 02.02.2009 | | Autor: | Yuumura |
Hm... was gibt es denn da zu rechnen beim Majorrant ?
Ich schreibe einfach, dass z.B [mm] n^2/n [/mm] > 1/n ist mit ein paar mathematischen symbolen und sage dann es divergiert -.- lol.
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> Hm... was gibt es denn da zu rechnen beim Majorrant ?
Hallo,
hier gibt es überhaupt nichts zu rechnen...
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> Ich schreibe einfach, dass z.B [mm]n^2/n[/mm] > 1/n ist mit ein paar
> mathematischen symbolen und sage dann es divergiert -.-
> lol.
Klar kannst Du mit dem Majorantenkriterium ankommen, aber das ist dann wirklich ein Grund zum Lachen: es ist [mm] n^2/n=n [/mm] doch gar keine Nullfolge!
Daß 1+2+3+4+... nicht konvergiert, dürfte den meisten Grundschülern klar sein.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:45 Mo 02.02.2009 | | Autor: | Yuumura |
JA aber ich kann da ja nich hinschreiben ist keine NF deswegen konvergiert es nicht oder ?
Mir geht es um die Mathematische Korrektheit, denn wegen jeder kleinigkeit wird uns ein Punkt abgezogen und wenn ich mein 0< ak < bk benutze wird mir kein Punkt abzgezogen :D
Dass ich sowas sofort sehe ist klar aber naja.
Muss man denn nun die beträge nehmen beim Majorant / minorant ? Oder reicht einfach nur das An dafür aus `?
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> JA aber ich kann da ja nich hinschreiben ist keine NF
> deswegen konvergiert es nicht oder ?
Hallo,
doch, natürlichj kannst Du das hinschreiben.
Das ist doch das erste, was man so lernt über die Konvergenz von Reihen.
> Muss man denn nun die beträge nehmen beim Majorant /
> minorant ? Oder reicht einfach nur das An dafür aus '?
In der Form, in der ich Dir die Kriterien gepostet habe, ist das erforderlich:
"Seien [mm] $(a_n)$ [/mm] und [mm] $(b_n [/mm] )$ zwei Folgen mit [mm] $\vert a_n \vert\leq b_n$ [/mm] für fast alle [mm] $n\in\mathbb{N}$.
[/mm]
* [mm] $\mbox{Ist }\sum\limits_{n=1}^{\infty} b_n \mbox{ konvergent, so ist }\sum\limits_{n=1}^{\infty} a_n \mbox{absolut konvergent (und daher}\qquad\qquad$ [/mm] konvergent.
* [mm] $\mbox{Ist }\sum\limits_{n=1}^{\infty} a_n \mbox{ divergent, so auch }\sum\limits_{n=1}^{\infty} b_n [/mm] .$"
Ohne die Beträge würde fplgen, daß [mm] \summe(-1/n) [/mm] konvergiert : -(1/n) < [mm] (1\n^2) [/mm] ==> Konvergenz ? Nein!!!
Auf die Beträge kannst Du verzichten, wenn Du es nur mit nichtnegativen Folgen zu tun hast.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:01 Mo 02.02.2009 | | Autor: | Yuumura |
ok bei der Konvergenz muss an, also bei der beispiel folge in betragsstriche sein... kann ich einfach überall betragsstriche setzen ? Weil ich weiss nicht genau wann ichs brauche und wann nicht...
z.B wenn ich ne divergenz von bk zeigen will und ich weiss dass die harmonische Reihe divergiert und kleiner als bk ist..
muss ich dann den betrag der harmonischen Reihe nehmen ?
Also |ak| < bk => bk konvergiert ?
Muss immer meine kleinere "reihe" die Betragsstriche kriegen oder woran sehe ich das ? Insbesondere beim zeigen von der Divergenz.
edit: Achso ich habs jetzt verstanden glaub ich. Unabhängig ob man Majorant oder Minorant anwenden will, die kleinere Reihe in unserem Fall AK bekommt betragsstriche, damit sie betraglich nicht größer ist als bk. Also falls 1/n bk wäre, damit man nicht bis in -unendlich flüchten kann sondern spätestens bei 0 schluss wäre...
Danke.
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> ok bei der Konvergenz muss an, also bei der beispiel folge
> in betragsstriche sein... kann ich einfach überall
> betragsstriche setzen ? Weil ich weiss nicht genau wann
> ichs brauche und wann nicht...
>
> z.B wenn ich ne divergenz von bk zeigen will und ich weiss
> dass die harmonische Reihe divergiert und kleiner als bk
> ist..
> muss ich dann den betrag der harmonischen Reihe nehmen ?
>
> Also |ak| < bk => bk konvergiert ?
>
> Muss immer meine kleinere "reihe" die Betragsstriche
> kriegen oder woran sehe ich das ? Insbesondere beim zeigen
> von der Divergenz.
>
Hallo,
ja, so kannst Du's Dir merken.
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:11 Mo 02.02.2009 | | Autor: | Yuumura |
danke, jetzt werd ich die klausur rocken :P
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:01 Mo 02.02.2009 | | Autor: | Yuumura |
Sorry, dass ich wieder nerve aber an einer einzigen übungsaugabe harke ich noch..
[mm] \summe_{n=1}^{ \infty} \bruch{x^{5n+1}}{1+2^n}
[/mm]
So, ich habe 5n+1 als y substituiert (rückstubstitution brauch man nicht bei solchen Aufgaben oder ??)
und habe mir dann [mm] \bruch{1}{1+2^n} [/mm] angeguckt... als Randwert habe ich einfach 1 hingeschrieben, ich gehe mal davon aus, dass ak / ak+1 = 1 ist in diesem Fall :D
So, wenn ich dann 1 einsetze für x und die reihe [mm] \bruch{1}{1+2^n} [/mm]
mir ansehe weiss ih nicht was ich machen soll. Sieht ja aus wie die Gemoetrische Reihe...
Ich dachte mir, da wir wissen dass 1 / [mm] 2^n [/mm] konvergiert muss 1 / 1 + [mm] 2^n [/mm] natürlich absolut konvergieren ? Da es ja kleiner ist...
Ok beim aufschreiben gerade ist mir klar geworden, dass ich so sein muss, sonst würde ich wirklich an meinem Verstand zweifeln :D
Mir macht nur die Substitution sorgen. Muss ich nicht an irgendeiner Stelle rückstubstituieren ? Beispielsweise für n = [mm] \bruch{y-1}{5} [/mm]
weil ich ja y=5n +1 substutuiert habe ?
Oder kann ich das ruhig sohinschrieben, weil es am Ergebniss sowieso nix ändert ?
Danke im Vorraus, du bist echt eine Hilfe !
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:23 Mo 02.02.2009 | | Autor: | fred97 |
Hallo Yuumura,
nicht böse sein, aber was Du geschrieben hast ist Unfug !!
Warum nimmst Du nicht das Quotientenkriterium ??
Setze [mm] a_n [/mm] = [mm] \bruch{x^{5n+1}}{1+2^n}
[/mm]
Dann ist [mm] |\bruch{a_{n+1}}{a_n}| [/mm] = [mm] |x|^5 \bruch{1+2^n}{1+2^{n+1}}
[/mm]
Nun tobe Dich mal aus und zeige:
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}|\bruch{a_{n+1}}{a_n}| [/mm] = [mm] \bruch{|x|^5}{2}
[/mm]
Deine Reihe konvergiert also absolut, wenn [mm] \bruch{|x|^5}{2}<1, [/mm]
(welche x sind das ??)
Deine Reihe divergiert, wenn [mm] \bruch{|x|^5}{2}>1.
[/mm]
Bleibt noch der Fall [mm] \bruch{|x|^5}{2}=1: [/mm] in diesem Fall ist [mm] (a_n) [/mm] keine Nullfolge (warum ??), die Reihe ist also divergent.
Gruß FRED
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:40 Mo 02.02.2009 | | Autor: | Yuumura |
ups lag vielleicht an meiner Unklaren Aufgabenstellung.
Ich soll nicht schaun ob die Reihe konvergiert oder divergiert, ich sollte ihren Konvergenzbereich feststellen und ob sie in ihren randpunkten konvergiert oder divergiert.
Du hast mich ja gerade bestätigt indem du sagst die Reihe divergiert außer für |x| < 1
Das habe ich mit ak / ak+1 und k gegen unendlich auch festgestellt.
Nun muss ich schaun ob sie in den Randpunkten Konvergiert.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:48 Mo 02.02.2009 | | Autor: | fred97 |
> ups lag vielleicht an meiner Unklaren Aufgabenstellung.
> Ich soll nicht schaun ob die Reihe konvergiert oder
> divergiert, ich sollte ihren Konvergenzbereich feststellen
> und ob sie in ihren randpunkten konvergiert oder
> divergiert.
Habe ich oben etwas anderes gemacht ????????????????????????
lies noch mal was ich geschrieben habe !!
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> Du hast mich ja gerade bestätigt indem du sagst die Reihe
> divergiert außer für |x| < 1
Das habe ich nicht gesagt !!!
lies noch mal was ich geschrieben habe !!
>
> Das habe ich mit ak / ak+1 und k gegen unendlich auch
> festgestellt.
> Nun muss ich schaun ob sie in den Randpunkten Konvergiert.
Auch das habe ich Dir vorgemacht
FRED
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