Sinus-Kosinus Bestimmung < Klassen 8-10 < Schule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | (1) Bestimme mit dem Taschenrechner.
sin 0,4; cos 0,4
(2) Bestimme alle x mit 0 [mm] \le [/mm] x < [mm] 2\pi, [/mm] für die gilt:
sin x = 0,4596
cos x = 0,4596
sin x = -0,5914
cos x = -0,5914 |
Hallo,
zu (1):
habe ich eine Verständnisfrage. Ich soll die Werte mit dem Taschenrechner bestimmen.
sin 0,4; cos 0,4
Jetzt habe ich herausgefunden, dass die Werte korrekt sind, wenn ich bei meinem TR auf RAD umstelle. Warum ist das so?
zu (2):
Ich habe durch probieren herausgefunden, dass die Rechnung wie folgt geht:
sin x = 0,4596
* [mm] sin^{-1}, [/mm] sprich beim TR "2nd", SIN
ergibt den ersten Wert x=0,4775
[mm] \pi [/mm] - 0,4775 =2,6640
der zweite Wert ist x=2,6640
und bei cos x = 0,4596
* [mm] cos^{-1}, [/mm] sprich beim TR "2nd", COS
ergibt für den ersten Wert x=1,0932
[mm] 2\pi [/mm] - 1,0932 = 5,1899
zweiter Wert x=5,1899
Warum ist das so? (Auch hier ist die Einstellung am TR auf RAD.)
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> (1) Bestimme mit dem Taschenrechner.
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> sin 0,4; cos 0,4
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> (2) Bestimme alle x mit 0 [mm]\le[/mm] x < [mm]2\pi,[/mm] für die gilt:
>
> sin x = 0,4596
> cos x = 0,4596
> sin x = -0,5914
> cos x = -0,5914
> Hallo,
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> zu (1):
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> habe ich eine Verständnisfrage. Ich soll die Werte mit dem
> Taschenrechner bestimmen.
>
> sin 0,4; cos 0,4
>
> Jetzt habe ich herausgefunden, dass die Werte korrekt sind,
> wenn ich bei meinem TR auf RAD umstelle. Warum ist das so?
Hallo,
das ist so, weil die Winkel hier im Bogenmaß angegeben sind.
Wenn die Winkel, von denen Du sin/cos/tan berechnen sollst, im Gradmaß angegeben sind, also etwa sin(123°), muß der TR auf deg stehen.
Sind die Winkel einheitenlos gegeben, sind sie im Bogenmaß und der TR muß auf rad.
In der Analysis arbeitet man immer im Bogenmaß.
Aufpassen muß Du übrigens auch, wenn Du mit den Umkehrfunktionen arbeitest.
Steht der TR auf deg, so bekommst Du das Ergebnis in Grad, auf rad im Bogenmaß.
Umrechnung:
360° [mm] \hat=2\pi,
[/mm]
und weiter geht's dann mit dem Dreisatz.
Z.B. wenn Du 0.4 in Grad wissen willst:
[mm] \bruch{0.4}{2\pi}=\bruch{x}{360^o }
[/mm]
==>
[mm] x=\bruch{0.4}{2\pi}*360^o \approx [/mm] 22.9°
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> zu (2):
>
> Ich habe durch probieren herausgefunden, dass die Rechnung
> wie folgt geht:
>
> sin x = 0,4596
>
> * [mm]sin^{-1},[/mm] sprich beim TR "2nd", SIN
>
> ergibt den ersten Wert x=0,4775
>
> [mm]\pi[/mm] - 0,4775 =2,6640
>
> der zweite Wert ist x=2,6640
>
>
> und bei cos x = 0,4596
>
> * [mm]cos^{-1},[/mm] sprich beim TR "2nd", COS
>
> ergibt für den ersten Wert x=1,0932
>
> [mm]2\pi[/mm] - 1,0932 = 5,1899
>
> zweiter Wert x=5,1899
>
>
> Warum ist das so? (Auch hier ist die Einstellung am TR auf
> RAD.)
Wie gesagt: in der Analysis rechnet man im Bogenmaß.
Das Gradmaß verwendet man bei einfachen geometrischen Überlegungen.
Du hättest die Aufgabe ebenso richtig auch im Gradmaß lösen können.
Ich mache mal beides vor:
Du hast zu lösen
> sin x = 0,4596.
Gesucht ist also ein Winkel x, dessen sinus 0.4596 ist.
(und nicht der Sinus eines Winkels)
Dazu ist mit der Umkehrfunktion des sin, mit arcsin, zu arbeiten: man rechnet arcsin(0.4596)=x.
Bei den meisten Taschenrechnern gibt man den arcsin so ein, wie Du schreibst: 2nd, [mm] sin^{-1}
[/mm]
A.
Ist der Taschenrechner auf Grad gestellt, bekommt man das Ergebnis in Grad:
arcsin(0.4596)=27.36°
Damit ist ein Winkel gefunden, dessen sin gerade 0.4596 ist.
Nun sind aber in der Aufgabe alle dieser Winkel zw. 0 und [mm] 2\pi, [/mm] dh. zwischen 0° und 360° gefragt, für die das zutrifft.
Schaust Du Dir die sin-Funktion an (oder denkst über die Zeiger im Einheitskreis nach), so siehst Du, daß an der Stelle 180°-x der sin genauso groß ist wie an der Stelle x.
Also ist für [mm] x_2=180^o-27.36^o [/mm] ebenfalls [mm] sin(x_2)=0.4596.
[/mm]
B.
Im Bogenmaß
arcsin(0.4596)=0.4775.
Da nun alle Winkel zw. 0 und [mm] 2\pi [/mm] gesucht sind, deren sin 0.4596 ist, schaust Du wieder auf den Graphen der Funktion und siehst: für [mm] \pi-x [/mm] ist der sin genauso wie für x.
Also ist [mm] x_2=\pi-0.4775 [/mm] Deine zweite Lösung.
Beim cos bekommst Du den zweiten Wert dann halt mit 360°-x (im Gradmaß) bzw. [mm] (2\pi-x) [/mm] im Bogenmaß. Schau auf den Graphen, dann siehst Du, daß es so ist.
LG Angela
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