Sinus, Kosinus, Tangens < Klassen 8-10 < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
Hallo,
Ich habe mir bei meinen Definitionen folgendes aufgeschrieben:
Für 0° [mm] \le \alpha \le [/mm] 180° gilt:
sin [mm] \alpha [/mm] = sin (180°- [mm] \alpha)
[/mm]
cos [mm] \alpha [/mm] = -cos (180° - [mm] \alpha)
[/mm]
tan [mm] \alpha [/mm] = -tan (180° - [mm] \alpha)
[/mm]
Für 0° [mm] \le \alpha \le [/mm] 360° gilt:
sin [mm] \alpha [/mm] = -sin (360° - [mm] \alpha)
[/mm]
cos [mm] \alpha [/mm] = cos (360° - [mm] \alpha)
[/mm]
tan [mm] \alpha [/mm] = -tan (360° - [mm] \alpha)
[/mm]
Muss es bei der zweiten Variante nicht heißen: "Für 180° [mm] \le \alpha \le [/mm] 360°"? Denn so wie es oben steht, schließt der zweite Wertebereich den ersten doch mit ein und somit gibt es eigentlich keinen Unterschied, oder nicht? Daher verstehe ich nicht, wo das Minus herkommt.
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:24 Di 20.03.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hallo,
>
> Ich habe mir bei meinen Definitionen folgendes
> aufgeschrieben:
das sind aber keine Definitionen mehr, sondern Folgerungen (man kann es aus den Additionstheoremen folgern, oder, falls die noch nicht bekannt sind, anhand der Definition des Sinus/Kosinus/Tangens am Einheitskreis).
> Für 0° [mm]\le \alpha \le[/mm] 180° gilt:
>
> sin [mm]\alpha[/mm] = sin (180°- [mm]\alpha)[/mm]
> cos [mm]\alpha[/mm] = -cos (180° - [mm]\alpha)[/mm]
> tan [mm]\alpha[/mm] = -tan (180° - [mm]\alpha)[/mm]
>
> Für 0° [mm]\le \alpha \le[/mm] 360° gilt:
>
> sin [mm]\alpha[/mm] = -sin (360° - [mm]\alpha)[/mm]
> cos [mm]\alpha[/mm] = cos (360° - [mm]\alpha)[/mm]
> tan [mm]\alpha[/mm] = -tan (360° - [mm]\alpha)[/mm]
>
> Muss es bei der zweiten Variante nicht heißen: "Für 180°
> [mm]\le \alpha \le[/mm] 360°"? Denn so wie es oben steht, schließt
> der zweite Wertebereich den ersten doch mit ein und somit
> gibt es eigentlich keinen Unterschied, oder nicht? Daher
> verstehe ich nicht, wo das Minus herkommt.
Zum einen ist generell die Einschränkung von [mm] $\alpha$ [/mm] eigentlich unnötig - aber das lernt ihr sicher erst später (aus geometrischer Sicht - am Einheitskreis - machen sie erstmal durchaus Sinn). Ferner sind [mm] $\tan(90^{\text{o}})$ [/mm] und [mm] $\tan(270^{\text{o}})$ [/mm] nicht definiert (man teilt dann durch [mm] $0\,$ [/mm] - außerdem: man kann auch etwa [mm] $\tan(90^{\text{o}})$ [/mm] nicht sinnvoll "erweitern" (in [mm] $\IR$ [/mm] schonmal gar nicht!), denn sowohl [mm] $+\infty$ [/mm] als auch [mm] $-\infty$ [/mm] kämen in Frage!) - also gelten die Gleichheiten für den Tangens nicht für [mm] $\alpha=90^{\text{o}}$ [/mm] bzw. [mm] $\alpha=270^{\text{o}}\,.$
[/mm]
Mach' Dir mal die Gleichheiten am Einheitskreis klar:
Da gibt's schon Unterschiede:
Setze [mm] $\alpha=30^{\text{o}}\,.$
[/mm]
Nach der ersten Sinusgleichung gilt
[mm] $$\red{\sin(30^{\text{o}})}=\sin(\alpha)=\sin(180^{\text{o}}-\alpha)\red{=\sin(150^{\text{o}})}\,,$$ [/mm]
nach der Sinusgleichung aus "dem zweiten Absatz"
[mm] $$\red{\sin(30^{\text{o}})}=\sin(\alpha)=-\sin(360^{\text{o}}-\alpha)\red{=-\sin(330^{\text{o}})}\,.$$
[/mm]
Da stehen also unterschiedliche Erkenntnisse (am Einheitskreis ist der Sinus von [mm] $\alpha=30^{\text{o}}$ [/mm] im ersten Quadranten "sichtbar", die erste Gleichung stellt diesen Sinus in Bezug mit einem entsprechenden aus dem zweiten Quadranten, die zweite Gleichung beschreibt hier einen Bezug zwischen dem Sinus des ersten und des vierten Quadranten (für [mm] $\alpha=30^{\text{o}}$)).
[/mm]
Übrigens könnte man aus den obigen Gleichungen auch sowas folgern wie
[mm] $$\sin(\alpha)=-\sin(180^{\text{o}}+\alpha)\,.$$
[/mm]
Wie gesagt: Anhand des Einheitskreises kann man sich das alles oben schnell klarmachen (mit "kongruenten Dreiecken" und dem Wissen, "welches Vorzeichen in welchem Quadranten dazugehört").
Mit den Additionstheoremen (und etwaigem Wissen wie [mm] $\sin(0^{\text{o}})=0$ [/mm] und [mm] $\sin(90^{\text{o}})=1$ [/mm] etc. pp.) geht das auch.
Man kann auch damit argumentieren, dass [mm] $\sin$ [/mm] eine ungerade und [mm] $\cos$ [/mm] eine gerade Funktion ist - beides sind periodische Funktionen. Da muss man sich mal kurz überlegen, was man da sonst noch für zusätzliche Argumente braucht.
Es wäre interessant, zu wissen: Wie wurden bei Euch der Sinus/Kosinus/Tangens eingeführt respektive definiert?
Gruß,
Marcel
|
|
|
| |
|
Hallo,
also ich verstehe das nicht ganz.
Ich bitte meine laienhaften Zeichnungen zu entschuldigen, aber es geht mir nur ums Verständnis.
Sind meine Skizzen richtig, sind die Vorzeichen richtig? Sinus beschreibt ja den Teil der y-Achse. Im Quadranten I und II ist sin also positiv, in III und IV negativ.
Demzufolge dürfte also sin 345° NICHT dasselbe sein wie sin 15°, oder?
Setzt man also das Minus vor Sinus, DAMIT es wieder dasselbe ist?
sin 345° [mm] \approx [/mm] -0,25
-sin 15° [mm] \approx [/mm] = -1*(0,25)
Somit handelt es sich nur um eine Maßnahme, damit die Aussage wieder wahr ist, um den jeweiligen sin-Wert in den drei Bereichen 90°, 180° und 360° zu beschreiben?
[Dateianhang nicht öffentlich]
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:18 Mi 21.03.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hallo,
>
> also ich verstehe das nicht ganz.
>
> Ich bitte meine laienhaften Zeichnungen zu entschuldigen,
> aber es geht mir nur ums Verständnis.
>
> Sind meine Skizzen richtig, sind die Vorzeichen richtig?
> Sinus beschreibt ja den Teil der y-Achse. Im Quadranten I
> und II ist sin also positiv, in III und IV negativ.
korrekt! Kurz: In der oberen Halbebene ist der Sinus [mm] $\ge 0\,,$ [/mm] in der unteren [mm] $\le 0\,.$
[/mm]
Analog ist der Kosinus in der rechten Halbebene (also im Quadranten I und IV) dann [mm] $\ge 0\,,$ [/mm] und in der linken [mm] $\le 0\,.$
[/mm]
>
> Demzufolge dürfte also sin 345° NICHT dasselbe sein wie
> sin 15°, oder?
Nein, gleich sind sie nicht, sondern (etwa wegen Kongruenz entsprechender Dreiecke) aber "vom Betrage her".
> Setzt man also das Minus vor Sinus, DAMIT es wieder
> dasselbe ist?
Man erkennt, dass [mm] $|\sin(345^{\text{o}})|=|\sin(15^{\text{o}})|$ [/mm] und dass [mm] $\text{sign}(\sin(345^{\text{o}}))=-\text{sign}(\sin(15^{\text{o}}))\,.$ [/mm] DARAUS FOLGT dann [mm] $\sin(345^{\text{o}})=-\sin(15^{\text{o}})\,.$ [/mm] Jedenfalls, sofern man den Sinus am Einheitskreis "so vorzeichenbehaftete definiert hat (was man aber auch tut)".
> sin 345° [mm]\approx[/mm] -0,25
>
> -sin 15° [mm]\approx[/mm] = -1*(0,25)
>
> Somit handelt es sich nur um eine Maßnahme,
Für mich ist "das Vorzeichenanpassen" keine Maßnahme, sondern eine Erkenntnis, die per Definitionem folgt - also eine Folgerung. Meinetwegen kannst Du es aber auch als Maßnahme ansehen!
> damit die
> Aussage wieder wahr ist, um den jeweiligen sin-Wert in den
> drei Bereichen 90°, 180° und 360° zu beschreiben?
Das hat nicht wirklich was mit den Bereichen zu tun. Die Wahl der Bereiche haben hier eher einen geometrischen/anschaulischen Aspekt. Es gilt [mm] $\sin(180^{\text{o}}-\alpha)=\sin(\alpha)$ [/mm] sogar für jeden Winkel [mm] $\alpha\,.$ [/mm] Mit den Additionstheoremen etwa, weil
[mm] $$\sin(180^\text{o}-\alpha)=\sin(180^{\text{o}})\cos(-\alpha)+\sin(-\alpha)\cos(180^{\text{o}})=-1*\sin(-\alpha)=\sin(\alpha)\,.$$
[/mm]
Aber der Winkel [mm] $180^{\text{o}}-\alpha$ [/mm] ist für [mm] $\alpha \notin [0^{\text{o}},\;180^{\text{o}}]$ [/mm] "geometrisch schwerer" aufzufinden... (obwohl es nicht wirklich viel schwerer ist - am Einheitskreis).
> [Dateianhang nicht öffentlich]
Schöne Skizzen - zur Orientierung passen sie doch. Wenn Du das verstanden hast, bist Du schonmal ein gutes Stück weiter!
Gruß,
Marcel
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:26 Mi 21.03.2012 | | Autor: | Mathe-Andi |
Vielen Dank für Deine ausführlichen Antworten. Jetzt habe ich es verstanden und konnte es verinnerlichen.
:)
|
|
|
|
