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Hallo !
Kann mir jemand bitte Helfen
Es gibt eine Nährungsformel: sin(x) [mm] \approx [/mm] x
Diese Formel ist nur für kleine |x| brauchbar. Für welche x ist der relative Fehler kleiner als 1%?
Ich weiß nur, dass Man irgendwie den Restglied von Tylorreihe für
[mm] \bruch{ sin(x) - x }{ sin(x) } [/mm] bilden muss, aber wie?
DANKE für Aufmersamkeit und vielleicht Antwort!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:26 Mi 25.05.2005 | | Autor: | Max |
Hallo Johann,
es gibt einige Abschätzungen für das ![[]](/images/popup.gif) Restglied und den damit gemachten Fehler. Ich gehe mal davon aus, dass du überlegen sollst, wie viele Glieder du nehmen musst, damit der Fehler kleiner als 1% ist, oder?
Max
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Ja es ist ja richtig, man hat dann:
1: sin(x)=x+ [mm] R_{2}(x,0)
[/mm]
2: sin(x)=x- [mm] \bruch{x^{3}}{6}+R_{3}(x,0)
[/mm]
3: sin(x)=x- [mm] \bruch{x^{3}}{6}+\bruch{x^{4}}{24}+R_{4}(x,0)
[/mm]
4: sin(x)=x- [mm] \bruch{x^{3}}{6}+\bruch{x^{4}}{24}-\bruch{x^{5}}{120}+R_{4}(x,0)
[/mm]
Aber wie berechnet man denn das zugehörige Restglied. Ich kann das irgendwie nicht, obwohl mir die Formel bekannt Restglied ist. Kann jemand bitte wenigstens ein Beispiel vorrechnen.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 00:45 Fr 27.05.2005 | | Autor: | leduart |
Hallo
> Ja es ist ja richtig, man hat dann:
> 1: sin(x)=x+ [mm]R_{2}(x,0)[/mm]
> 2: sin(x)=x- [mm]\bruch{x^{3}}{6}+R_{3}(x,0)[/mm]
> 3: sin(x)=x-
> [mm]\bruch{x^{3}}{6}+\bruch{x^{4}}{24}+R_{4}(x,0)[/mm]
> 4: sin(x)=x-
> [mm]\bruch{x^{3}}{6}+\bruch{x^{4}}{24}-\bruch{x^{5}}{120}+R_{4}(x,0)[/mm]
>
> Aber wie berechnet man denn das zugehörige Restglied. Ich
> kann das irgendwie nicht, obwohl mir die Formel bekannt
> url=http://de.wikipedia.org/wiki/Taylor-Formel]Restglied[/url]
> ist. Kann jemand bitte wenigstens ein Beispiel vorrechnen.
Max hat dir leider die falsche Anwort gegeben!
man kann nie sagen, welches Taylorpolynom auf 1% genau ist! denn das hängt immer von x ab!
Deine Aufgabe ist es, für welche x das Taylorpolynom [mm] x+0*x^{2} [/mm] also das Taylorpolynom 2. Grades auf 1% genau ist. Ich glaube da reicht als Restglied [mm] R_{3}=\bruch{f'''(y)}{3!}*x^{3} [/mm] y zwischen 0 und x. [mm] R_{3}=\bruch{-cos(y)}{3!}*x^{3} \ge \bruch{-1}{3!}*x^{3} [/mm] (ich habe y durch den betragsmäßig schlimmsten wert ersetzt, da |cos(x)| [mm] \le [/mm] 1
Der Betrag von [mm] R_{3} [/mm] ist also kleiner als [mm] \bruch{1}{6}x^{3}
[/mm]
d,h, |sinx-x| [mm] <\bruch{1}{6}x^{3}
[/mm]
das ist die Abschätzung für den absoluten Fehler. Der relative Fehler ist dann [mm] \bruch{|sinx-x| }{sinx} [/mm] das ist für kleine x praktisch [mm] \bruch{|sinx-x| }{x} [/mm] und das soll 1%=0,01 sein.
damit haben wir [mm] \bruch{1}{6}x^{3}/x [/mm] <0,01==> [mm] x^{2}<0,06 [/mm] |x|<0,24 Und wenn du das in deinen Taschenrechner eingibst siehst du auch, dass gerade noch x=sinx auf 1%!
Gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:30 So 29.05.2005 | | Autor: | AndyRo |
Warum machst du das nicht einfach mit dem Newton-Verfahren? Da bekommst du auch einen sehr genauen Wert raus.
MfG: AndyRo
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