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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:52 Di 24.01.2006 | | Autor: | Eumel09 |
| Aufgabe | Zeigen sie, dass (sin,cos) das einzige Paar (f,g) reeller differenzierbarer Funktionen ist, für das
f ' = g ; g ' = -f und f(0) = 0, g(0) = 1 gilt.
Hinweis: Nehmen sie für den Beweis der Eindeutigkeit die Existenz zweier P
aare ( f1 , g1) mit den gegebenen Eigenschaften an und untersuchen Sie die Funktion h= ( f1 - f2 [mm] )^2 [/mm] + ( f1 ' - f2 ' [mm] )^2 [/mm] |
Leider habe ich keine Ahnung wie ich diese Aufgabe lösen soll. Wäre für eure Hilfe sehr dankbar.
MFG Eumel
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:31 Di 24.01.2006 | | Autor: | Yuma |
Hallo Eumel,
eine schöne Aufgabe ist das! 
Also, dass [mm] f(x)=\sin{x}[/mm] und [mm]g(x)=\cos{x}[/mm] die Eigenschaften
[mm] f'(x)=g(x),\quad g'(x)=-f(x),\quad f(0)=0,\quad g(0)=1 [/mm]
erfüllen, dürfte klar sein!
Du sollst nun zeigen, dass es kein weiteres Paar [mm] (f,g) [/mm] gibt mit diesen Eigenschaften.
Dazu nehmen wir an, [mm] (f_{1},g_{1}) [/mm] und [mm] (f_{2},g_{2}) [/mm] hätten diese Eigenschaften.
Wir müssen zeigen, dass dann [mm] f_{1} = f_{2} [/mm] und [mm] g_{1}=g_{2} [/mm] ist (es eben doch nur ein Paar solcher Funktionen, nämlich [mm] f(x)=\sin{x}[/mm] und [mm]g(x)=\cos{x}[/mm] gibt).
Es würde ausreichen, wenn wir zeigen könnten, dass die Funktion
[mm] h(x)=\left(f_{1}(x)-f_{2}(x)\right)^{2}+\left(g_{1}(x)-g_{2}(x)\right)^{2}=0 [/mm] für alle [mm]x[/mm] ist (warum?).
(Ich weiß, bei dir ist [mm]h(x)[/mm] etwas anders formuliert, du wirst aber schnell feststellen, dass mein [mm]h(x)[/mm] deinem entspricht!)
Wir können das leider nicht "direkt" beweisen! Aber man kann zeigen, dass [mm] h'(x) = 0[/mm] für alle [mm]x[/mm] ist. (Versuch das mal!)
Damit hätten wir: [mm]h[/mm] ist konstant. Zu zeigen, dass [mm]h[/mm] konstant [mm]0[/mm] ist, ist dann nicht mehr schwer...
Ich hoffe, das hilft dir weiter! Wenn du irgendwo stecken bleibst, dann frag bitte nochmal nach, ok?
MFG,
Yuma
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> Hallo Eumel,
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> eine schöne Aufgabe ist das!
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> Also, dass [mm]f(x)=\sin{x}[/mm] und [mm]g(x)=\cos{x}[/mm] die Eigenschaften
> [mm]f'(x)=g(x),\quad g'(x)=-f(x),\quad f(0)=0,\quad g(0)=1[/mm]
>
> erfüllen, dürfte klar sein!
>
> Du sollst nun zeigen, dass es kein weiteres Paar [mm](f,g)[/mm] gibt
> mit diesen Eigenschaften.
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> Dazu nehmen wir an, [mm](f_{1},g_{1})[/mm] und [mm](f_{2},g_{2})[/mm] hätten
> diese Eigenschaften.
> Wir müssen zeigen, dass dann [mm]f_{1} = f_{2}[/mm] und
> [mm]g_{1}=g_{2}[/mm] ist (es eben doch nur ein Paar solcher
> Funktionen, nämlich [mm]f(x)=\sin{x}[/mm] und [mm]g(x)=\cos{x}[/mm] gibt).
>
> Es würde ausreichen, wenn wir zeigen könnten, dass die
> Funktion
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> [mm]h(x)=\left(f_{1}(x)-f_{2}(x)\right)^{2}+\left(g_{1}(x)-g_{2}(x)\right)^{2}=0[/mm]
> für alle [mm]x[/mm] ist (warum?).
> (Ich weiß, bei dir ist [mm]h(x)[/mm] etwas anders formuliert, du
> wirst aber schnell feststellen, dass mein [mm]h(x)[/mm] deinem
> entspricht!)
>
> Wir können das leider nicht "direkt" beweisen! Aber man
> kann zeigen, dass [mm]h'(x) = 0[/mm] für alle [mm]x[/mm] ist. (Versuch das
> mal!)
>
> Damit hätten wir: [mm]h[/mm] ist konstant. Zu zeigen, dass [mm]h[/mm]
> konstant [mm]0[/mm] ist, ist dann nicht mehr schwer...
>
> Ich hoffe, das hilft dir weiter! Wenn du irgendwo stecken
> bleibst, dann frag bitte nochmal nach, ok?
>
> MFG,
> Yuma
Hallo,
ich habe eine Frage zur dieser Aufgabe.
Also, ich habe schon h'(x) probiert, dann kann ich echte h'(x)=0 bekommen.
Dann weiß ich, dass h(x) konstant ist.
Du hast gesagt, dass wir jetzt h konstant 0 zeigen sollten.
Aber meine Frage ist, dass ich es nicht kommen kann oder falsch gedacht habe.
Also, habe ich so am Ende bekommen:
h(x)=2-2sin(0)=2, es ist nicht nur.
Die Funktion habe ich ungleich wie du, also , du hast $ [mm] h(x)=\left(f_{1}(x)-f_{2}(x)\right)^{2}+\left(g_{1}(x)-g_{2}(x)\right)^{2}=0 [/mm] $ , ich habe $ [mm] h(x)=\left(f(x)-f'(x)\right)^{2}+\left(g(x)-g'(x)\right)^{2}$ [/mm]
Da in meiner Aufgabe steht nicht h= ( f1 - f2 $ [mm] )^2 [/mm] $ + ( f1 ' - f2 ' $ [mm] )^2 [/mm] $ sondern h= ( f - g $ [mm] )^2 [/mm] $ + ( f ' - g ' $ [mm] )^2 [/mm] $
Also, wenn man h(x)=0 bekommen kann, dann ist einfach zusehen, dass f1=f2 und g1=g2.
Danke!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:20 Mo 29.06.2015 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:22 Di 24.01.2006 | | Autor: | Eumel09 |
Hallo Yuma,
dankeschön für die schnelle und sehr gut verständliche Antwort. Nachdem ich die Lösung kenne, finde ich die Aufgabe auch schön.
MFG eumel
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