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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:28 Do 17.04.2014 | | Autor: | Petrit |
| Aufgabe | | [mm] cos(2\pi)=1 [/mm] |
Hallo!
Ich soll mit Hilfe von [mm] cos(x)=\summe_{k=0}^{\infinity}(-1)^k*\bruch{z^{2k}}{(2k)!} [/mm] und/oder mit Hilfe der Additionstheoremen zeigen, dass [mm] cos(2\pi)=1 [/mm] ist. Wenn ich das mit der Summe mache, bekomme ich ja für k=0 1 raus. Dann mache ich eine neue Summe, beginnend mit k=1, welche dann ja logischerweise 0 ergeben müsste.
Meine Frage ist: Kann man das so machen? Gibt es eine andere Möglichkeit?
Ich bin für Tipps/Hinweise sehr dankbar!
Gruß, Petrit!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:39 Do 17.04.2014 | | Autor: | hippias |
Ich habe das Gefuehl, dass Dir nicht ganz klar ist, wie man die Summe zu verstehen hat. Es ist [mm] $\sum_{k=0}^{\infty} (-1)^{k}\frac{z^{2k}}{(2k)!}= 1-\frac{z^{2}}{2}+ \frac{z^{4}}{24}-\ldots$. [/mm] Man kann die Summe also nicht einfach bei $0$ oder $1$ beginnen lassen.
Zum Beweis der Behauptung waere es noch interessant zu wissen, wie ihr [mm] $\pi$ [/mm] definiert habt.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:59 Do 17.04.2014 | | Autor: | Petrit |
Hi!
Erstmal danke für die schnelle Antwort.
Ich habe mich vielleicht nicht ganz richtig ausgedrückt. Ich weiß schon, wie man mit einer Summe umgeht. Ich habe das so gemeint:
[mm] \sum_{k=0}^{\infty} (-1)^{k}\frac{z^{2k}}{(2k)!}= 1-\frac{z^{2}}{2}+ \frac{z^{4}}{24}-\ldots [/mm] = 1 + [mm] \sum_{k=1}^{\infty} (-1)^{k}\frac{z^{2k}}{(2k)!}= -\frac{z^{2}}{2}+ \frac{z^{4}}{24}-\ldots, [/mm] also dass ich jetzt bei k=1 anfange und diese Teilsumme jetzt 0 geben müsste. Mir ist allerdings nicht ganz klar warum? Kann mir das vielleicht jemand erklären? Wäre echt super!
PS: Wir haben [mm] \pi [/mm] als die kleinste reelle, echt positive Nullstelle der Sinusfunktion definiert.
Gruß Petrit!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:29 Do 17.04.2014 | | Autor: | DieAcht |
Hallo Petrit,
Zu zeigen: [mm] \cos(2\pi)=1.
[/mm]
Es gilt:
[mm] \cos(2\pi)=\cos(\pi+\pi)\overset{\text{Additionstheorem}}{=}\cos(\pi)*\cos(\pi)-\sin(\pi)*\sin(\pi).
[/mm]
Durch die gegebene Definition
> PS: Wir haben [mm]\pi[/mm] als die kleinste reelle,
> echt positive Nullstelle der Sinusfunktion definiert.
folgt
[mm] \cos(2\pi)=\cos^2(\pi).
[/mm]
Jetzt benutze den Trigonometrischer Pythagoras und denk
nochmal über eure Definition nach und du bist fertig.
Gruß
DieAcht
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:40 Do 17.04.2014 | | Autor: | Petrit |
Super, vielen Dank!
Gruß Petrit!
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