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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:15 Do 05.05.2005 | | Autor: | zoe |
Also gegeben sind:
[mm] f(x)=3*sin(x+\pi/4)
[/mm]
[mm] h(x)=4*sin(x+(1,5*\pi))
[/mm]
[mm] \delta\varepsilon [0;2\pi]
[/mm]
Gesucht ist i(x)= f(x)+h(x)
Unsere Vorüberlegung lautete:
y=c*sin(x+ [mm] \delta) [/mm] und in dieser Form soll auch die Lösung angeben werden.
Nach Anwendung mit den Additionstheoremen erhält man:
y=c*cos [mm] \delta*sinx+c*cosx*sin \delta
[/mm]
Nun setzt man:
a= c*cos [mm] \delta [/mm] und b= c*sin [mm] \delta
[/mm]
y= a*sinx+b*cosx
und das scheint die zentrale Formel zu sein.
Also nun die Rechnung:
[mm] i(x)=3*sin(x+(\pi/4))+4*sin(x+(1,5*\pi))
[/mm]
Man setze:
[mm] a=c*cos\delta
[/mm]
[mm] b=c*sin\delta
[/mm]
[mm] a_{f}=3*cos(\pi/4)=3*1/2* \wurzel{2}
[/mm]
[mm] b_{f}=3*sin(\pi/4)=3*1/2* \wurzel{2}
[/mm]
[mm] a_{h}=4*cos(1,5*\pi)=4*0=0
[/mm]
[mm] b_{h}=4*sin(1,5*\pi)=4*(-1)=-4
[/mm]
[mm] a_{f}+b_{f}=3*1/2* \wurzel{2}*sinx+3*1/2* \wurzel{2}*cosx
[/mm]
[mm] a_{h}+b_{h}=0*sinx-4*cosx
[/mm]
Die beiden letzten Terme zusammen addieren ergibt:
1,5* [mm] \wurzel{2}*sinx+((1,5* \wurzel{2})-4)*cosx
[/mm]
c= [mm] \wurzel{(1,5*\wurzel{2})^{2}}+(1,5* \wurzel{2}-4)^{2} [/mm] (Wurzel geht über den ganzen Term)= [mm] \wurzel{25-(12* \wurzel{2})}
[/mm]
Daraus ergibt sich dann:
cos [mm] \delta= \bruch{1,5* \wurzel{2}}{\wurzel{25-(12* \wurzel{2})}}=0,749
[/mm]
Beim Sinus bekomme ich auf die gleiche Art und Weise einen negativen Wert und der liegt ja nicht in der Definitionsmenge.
Die Endlösung wäre demnach:
i(x)= [mm] \wurzel{25-(12* \wurzel{2})}*sin(x+0,749)
[/mm]
Nur leider paßt meine Kontrolle nicht :-( .. also wenn ich die Einzelgleichungen einen Wert einsetze, diese dann addiere und als Kontrolle dengleichen Wert in meine Lösung einsetze ..
Ich bin am Verzweifeln .. der Graph würde ja richtig gut aussehen.
Liebe Grüße von zoe
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:38 Fr 06.05.2005 | | Autor: | Paulus |
Liebe zoe
du hast ja fast alles richtig gemacht!
> Also gegeben sind:
> [mm]f(x)=3*sin(x+\pi/4)[/mm]
> [mm]h(x)=4*sin(x+(1,5*\pi))[/mm]
> [mm]\delta\varepsilon [0;2\pi][/mm]
>
> Gesucht ist i(x)= f(x)+h(x)
>
> Unsere Vorüberlegung lautete:
>
> y=c*sin(x+ [mm]\delta)[/mm] und in dieser Form soll auch die Lösung
> angeben werden.
>
> Nach Anwendung mit den Additionstheoremen erhält man:
> y=c*cos [mm]\delta*sinx+c*cosx*sin \delta[/mm]
>
> Nun setzt man:
> a= c*cos [mm]\delta[/mm] und b= c*sin [mm]\delta[/mm]
>
> y= a*sinx+b*cosx
>
> und das scheint die zentrale Formel zu sein.
>
>
> Also nun die Rechnung:
>
> [mm]i(x)=3*sin(x+(\pi/4))+4*sin(x+(1,5*\pi))[/mm]
>
> Man setze:
> [mm]a=c*cos\delta[/mm]
> [mm]b=c*sin\delta[/mm]
>
> [mm]a_{f}=3*cos(\pi/4)=3*1/2* \wurzel{2}[/mm]
>
> [mm]b_{f}=3*sin(\pi/4)=3*1/2* \wurzel{2}[/mm]
>
> [mm]a_{h}=4*cos(1,5*\pi)=4*0=0[/mm]
>
> [mm]b_{h}=4*sin(1,5*\pi)=4*(-1)=-4[/mm]
>
> [mm]a_{f}+b_{f}=3*1/2* \wurzel{2}*sinx+3*1/2* \wurzel{2}*cosx[/mm]
>
> [mm]a_{h}+b_{h}=0*sinx-4*cosx[/mm]
>
> Die beiden letzten Terme zusammen addieren ergibt:
>
> 1,5* [mm]\wurzel{2}*sinx+((1,5* \wurzel{2})-4)*cosx[/mm]
>
> c= [mm]\wurzel{(1,5*\wurzel{2})^{2}}+(1,5* \wurzel{2}-4)^{2}[/mm]
> (Wurzel geht über den ganzen Term)= [mm]\wurzel{25-(12* \wurzel{2})}[/mm]
>
> Daraus ergibt sich dann:
>
> cos [mm]\delta= \bruch{1,5* \wurzel{2}}{\wurzel{25-(12* \wurzel{2})}}=0,749[/mm]
>
Ja, alles richtig, bis hierhin. Was du aber brauchst, ist nicht [mm] $\cos \delta$, [/mm] sondern [mm] $\delta$ [/mm] selber.
Darum brauchst du nur noch den Arcuscosinus zu nehmen!
Der ist aber nicht eindeutig!
Es gibt einerseits 0.725 oder aber 5.558 [mm] $(2\pi [/mm] - 0.725)$
> Beim Sinus bekomme ich auf die gleiche Art und Weise einen
> negativen Wert und der liegt ja nicht in der
> Definitionsmenge.
>
> Die Endlösung wäre demnach:
>
> i(x)= [mm]\wurzel{25-(12* \wurzel{2})}*sin(x+0,749)[/mm]
>
Hier wäre es also
$i(x)= [mm] \wurzel{25-(12* \wurzel{2})}*sin(x+0,725)$
[/mm]
oder
$i(x)= [mm] \wurzel{25-(12* \wurzel{2})}*sin(x+5,558)$
[/mm]
Eine Überprüfung der Sachlage zeigt, dass die zweite Version die richtige ist.
Mit lieben Grüssen
Paul
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 00:50 Fr 06.05.2005 | | Autor: | zoe |
Jetzt stimmt auch meine Probe !!!
*Ähm* Warum scheidet der erste Wert denn aus *interessiertfrag*?
Einerseits freue ich mich, dass ich da so gut durchgekommen bin, andererseits ärgere ich mich über diesen "dummen" Fehler, den ich niemals selber gefunden hätte.
Vielen lieben Dank Paulus! Jetzt öffentlich: Du bist ein Schatz!
Liebe Gute-Nacht-Grüße samt *smile* Kuß von zoe
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:28 Fr 06.05.2005 | | Autor: | Paulus |
Liebe zoe
> Jetzt stimmt auch meine Probe !!!
>
> *Ähm* Warum scheidet der erste Wert denn aus
> *interessiertfrag*?
>
Wir haben ja im Prinzip zwei Gleichungen, um das c zu berechnen:
1) [mm] $a=c*\cos\delta$
[/mm]
2) [mm] $b=c*\sin\delta$
[/mm]
Was wir (du) gemacht haben: wir haben nur die erste Gleichung benützt. Und da gibt es halt zwei Lösungen. Wir haben aber nicht berücksichtigt, dass da noch eine zweite Bedingung erfüllt sein muss! Hätten wir diese auch noch ausgewertet, dann wäre die Lösung eindeutzg gewesen. Wir haben aber einfah durch Probieren die eine Lösung ausgeschlossen. Das ist praktisch, also etwas schneller, aber vielleicht nicht ganz so sehr mathematisch. 
> Einerseits freue ich mich, dass ich da so gut durchgekommen
> bin, andererseits ärgere ich mich über diesen "dummen"
> Fehler, den ich niemals selber gefunden hätte.
>
Ja, das passiert einem öfter, als man glaubt! Ich könnte ganze Romane davon erzählen!
> Vielen lieben Dank Paulus! Jetzt öffentlich: Du bist ein
> Schatz!
Vorsicht, Loddar wird ganz bleich vor Eifersucht! ![[grins]](/images/smileys/grins.gif "[grins]") ![[totlach]](/images/smileys/totlach.gif "[totlach]") ![[aetsch]](/images/smileys/aetsch.gif "[aetsch]")
> Liebe Gute-Nacht-Grüße samt *smile* Kuß von zoe
Ach was solls! Komm wir bringen ihn zu Weissglut vor Eifersucht! Auch wenn ich das aus moralischen Gründen eigentlich nicht tun dürfte, da ich doch verheiratet bin.
Ich küsse und umarme dich auch ganz lieb!
![[bussi]](/images/smileys/bussi.gif "[bussi]") ![[flowers]](/images/smileys/flowers.gif "[flowers]") ![[knuddel]](/images/smileys/knuddel.gif "[knuddel]") ![[kuss]](/images/smileys/kuss.gif "[kuss]")
![[liebegruesse]](/images/smileys/liebegruesse.gif "[liebegruesse]") Paul
So, lieber Loddar, jetzt bist du gefordert! 
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:42 Fr 06.05.2005 | | Autor: | zoe |
Hallo Lieblingspaul und hallo an alle anderen,
ich hänge .. und zwar mit der letzten Erklärung.
Ich habe mir eine Zeichnung gemacht mit Sinus- und Kosinuskurve und habe mir so das Ergebnis zusammengereimt, aber ich komme mit der Erklärung nun nicht klar.
Stand der Dinge:
cos [mm] \delta_{1}= \bruch{a}{ \wurzel{a^{2}+b^{2}}}=0,749
[/mm]
=> [mm] \delta_{1} [/mm] = 0,725
und [mm] \delta_{2}= [/mm] 5,559 (richtiges Ergebnis)
sin [mm] \delta_{3}= \bruch{b}{ \wurzel{a^{2}+b^{2}}}= [/mm] -0,663
=> [mm] \delta_{3} [/mm] = - 0,725
Das Ergebnis von [mm] \delta_{3} [/mm] ist bei mir ausgeschieden, da es nicht in der Definitionsmenge lag.
Ich habe dann doch beide Gleichungen berücksichtigt ?? Oder wo ist mein Denkfehler?
Liebe Grüße und einen besonders lieben Gruß an Paul von zoe
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:44 Fr 06.05.2005 | | Autor: | Paulus |
Liebe zoe, meine Angebetete
> Hallo Lieblingspaul und hallo an alle anderen,
> ich hänge .. und zwar mit der letzten Erklärung.
>
Zum Glück nur mit der Erklärung!
> Ich habe mir eine Zeichnung gemacht mit Sinus- und
> Kosinuskurve und habe mir so das Ergebnis zusammengereimt,
> aber ich komme mit der Erklärung nun nicht klar.
>
Dann sollten wir das gemeinsam tun! Ich rechne mal in Grad, weil es mir etwas bequemer erscheint, für unsere jetzigen Zwecke.
> Stand der Dinge:
>
> cos [mm]\delta_{1}= \bruch{a}{ \wurzel{a^{2}+b^{2}}}=0,749[/mm]
>
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> => [mm]\delta_{1}[/mm] = 0,725
> und [mm]\delta_{2}=[/mm] 5,559 (richtiges Ergebnis)
>
> sin [mm]\delta_{3}= \bruch{b}{ \wurzel{a^{2}+b^{2}}}=[/mm] -0,663
>
> => [mm]\delta_{3}[/mm] = - 0,725
>
> Das Ergebnis von [mm]\delta_{3}[/mm] ist bei mir ausgeschieden, da
> es nicht in der Definitionsmenge lag.
>
Also, mit der Zeichnung. Mach mal nur eine Sinuskurve.
Der Sinus soll -0,663 sein. Du kannst also eine Parallele zur x-Achse zeichnen, auf der Höhe -0,663, also unterhalb der x-Achse.
Die Frage ist, wo schneidet diese Parallele die Sinuskurve?
Wir können den Rechner befragen, aber der gibt nur Werte zwischen
-90° und +90° heraus. In unserem Falle -41,53°.
Wo aber schneidet die Parallele die Sinuskurve in dem geforderten Bereich? Vielleicht siehst du an der Zeichnung, dass das bei
[mm] $\delta [/mm] = 180° + 41,53° = 221,53°$ ist und auch bei
[mm] $\delta [/mm] = 360° - 41,53° = 318,47°$ ist.
Jetz bitte eine andere Zeichnung, enthaltend die Cosinuskurve und eine Parallele zur x-Achse, auf der Höhe 0,749, also dem errechneten Wert von unserem [mm] $\cos\delta$.
[/mm]
Der Rechner gibt bei der Arccos-Funktion prinzipiell einen Wert zwischen 0° und 180°. Er behauptet also: [mm] $\delta [/mm] = 41,53°$.
Wenn du nun schaust, wo überall in dem geforderten Intervall die Parallele unsere Cosinuskurve schneidet, dann sieht man:
bei [mm] $\delta [/mm] = 41,53°$, also der vom rechner angegebene Wert, und auch bei
[mm] $\delta [/mm] = 360° - 41,53° = 318,47°$
Und jetzt siehst du, dass sowohl durch den Arcuscosinus als auch durch den Arcussinus der Wert 318,47° auftaucht.
41,53° erfüllt die Rechnung mit Arcuscosinus auch, aber leider nicht die Rechnung mit Arcussinus.
Bei 221,53° ists ähnlich, aber umgekehrt herum.
So, mein Schatz , ist das jetzt nachvollziehbar?
Ich hoffe eigentlich nicht, damit ich bald wieder etwas von dir höre!
Mit lieben Grüssen
und einem schmatzenden Gutenachtkuss inklusive viel Knuddelei
Paul
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:30 Sa 07.05.2005 | | Autor: | zoe |
Danke lieber Paul, jetzt habe sogar ich es verstanden *kuß* .. Auch wenn ich in meiner Zeichnung Sinus UND Kosinus habe, stimmt es so mit deinen Ausführungen überein.
So, mein Schatz , ist das jetzt nachvollziehbar?
Ich hoffe eigentlich nicht, damit ich bald wieder etwas von dir höre!
Tja mein Schatz, ich sitze schon wieder den ganzen Tag über einem anderen Problem .. in der Ruhe liegt die Kraft, aber noch habe ich keinen Weg gefunden.
Du wirst von dir hören *smile* .. vielleicht auch einmal, ich habe es geschafft!
Ich wünsche dir noch ein wunderschönes Restwochenende, verbunden mit vielen lieben Umarmungen,
zoe
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:37 Sa 07.05.2005 | | Autor: | Loddar |
Hallo zoe!
Nachdem ich ja schon Bestandteil Eures Threads hier bin, möchte ich mich mal einklinken und auch viele Grüße zurücksenden ![[hand]](/images/smileys/hand.gif "[hand]") ...
Gruß
Loddar
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