Skalarmultiplikation < Vektoren < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:14 So 02.10.2011 | | Autor: | PeterLee |
| Aufgabe | Die drei Vektoren [mm] \vec{a}. \vec{b}, \vec{c} [/mm] liegen in einer Ebene.
Berechnen Sie die Skalare m, n der Zerlegung [mm] \vec{c} [/mm] = [mm] m\vec{a} [/mm] + [mm] n\vec{b} [/mm] |
Das wäre die Aufgabe.
Leider hab ich noch keine Ahnung wie ich hier anfangen soll.
Eine Gleichung mit 2 Unbekannten löse ich ja normal immer mit einem Gleichungssystem... aber hier ist nur eine Gleichung vorhanden.
Ich könnte zwar die Gleichung nochmal mit dem Vektor [mm] \vec{b} [/mm] bzw. [mm] \vec{b} [/mm] skalar multiplizieren, um auf 2 gleichungen zu kommen. Aber da wird es dann sehr kompliziert?
Kann das stimmen?
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> Die drei Vektoren [mm]\vec{a}. \vec{b}, \vec{c}[/mm] liegen in einer
> Ebene.
> Berechnen Sie die Skalare m, n der Zerlegung [mm]\vec{c}[/mm] =
> [mm]m\vec{a}[/mm] + [mm]n\vec{b}[/mm]
> Das wäre die Aufgabe.
> Leider hab ich noch keine Ahnung wie ich hier anfangen
> soll.
>
> Eine Gleichung mit 2 Unbekannten löse ich ja normal immer
> mit einem Gleichungssystem... aber hier ist nur eine
> Gleichung vorhanden.
Nö.^^
Hier sind genau so viele Gleichugen vorhanden wie deine Vektoren Einträge haben, also wenn es [mm] $\IR^3$-Vektoren [/mm] sind drei Stück.
Zerleg also das ganze einfach eintragsweise in Gleichungen.
> Ich könnte zwar die Gleichung nochmal mit dem Vektor
> [mm]\vec{b}[/mm] bzw. [mm]\vec{b}[/mm] skalar multiplizieren, um auf 2
> gleichungen zu kommen. Aber da wird es dann sehr
> kompliziert?
Kannst du nicht? oO
Skalarmultiplikation ist mit einem Skalar, also (im Falle eines reelen Vektorraums) mit einer Zahl.
Und so lange deine Vektoren keine einfachen Zahlen sind darfst du nicht so ohne weiteres mit Vektoren multiplizieren.
Und selbst wenn du eine erlaubte Multiplikation machst kannst du nicht einfach aus einer Gleichung zwei machen.
> Kann das stimmen?
Das ist die Frage.
Gib am besten mal die Vektoren a,b,c an (die sind ja wahrscheinlich gegeben, sonst kann man die Aufgabe garnicht explizit lösen).
MfG
Schadowmaster
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:34 So 02.10.2011 | | Autor: | PeterLee |
Ne leider sind die Vektoren nicht angegeben, nur die allgemeine Form.
Das mit dem in 2 skalare Geichungen umwandeln ist aber auch nicht auf meinem Mist gewachsen, sondern ist bei der Aufgabe als "Tip" gegeben.
Dieser bringt uns ja leider nicht sehr viel weiter.
Der Tip nocheinmal so wie er dasteht:
Tip: Wandeln sie obige Vektorgleicung durch Skalarmultiplikation mit [mm] \vec{a} [/mm] resp. [mm] \vec{b} [/mm] in zwei skalare Gleichungen um.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:34 So 02.10.2011 | | Autor: | PeterLee |
Ne leider sind die Vektoren nicht angegeben, nur die allgemeine Form.
Das mit dem in 2 skalare Geichungen umwandeln ist aber auch nicht auf meinem Mist gewachsen, sondern ist bei der Aufgabe als "Tip" gegeben.
Dieser bringt uns ja leider nicht sehr viel weiter.
Der Tip nocheinmal so wie er dasteht:
Tip: Wandeln sie obige Vektorgleicung durch Skalarmultiplikation mit [mm] \vec{a} [/mm] resp. [mm] \vec{b} [/mm] in zwei skalare Gleichungen um.
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> Ne leider sind die Vektoren nicht angegeben, nur die
> allgemeine Form.
>
> Das mit dem in 2 skalare Geichungen umwandeln ist aber auch
> nicht auf meinem Mist gewachsen, sondern ist bei der
> Aufgabe als "Tip" gegeben.
> Dieser bringt uns ja leider nicht sehr viel weiter.
>
> Der Tip nocheinmal so wie er dasteht:
>
> Tip: Wandeln sie obige Vektorgleicung durch
> Skalarmultiplikation mit [mm]\vec{a}[/mm] resp. [mm]\vec{b}[/mm] in zwei
> skalare Gleichungen um.
Der Tipp ist schlicht und ergreifend Müll.
Du kannst nicht mit einem Vektor skalarmultiplizieren, dafür brauchst du, wie der Begriff schon sagt, ein Skalar.
Ist vielleicht ein Skalarprodukt gemeint? (wenn ja müsste man natürlich auch wissen welches^^)
Außerdem kann man nicht mit einer Multiplikation aus einer Gleichung zwei machen.
Was weißt du denn über die Vektoren, wenn sie schon nicht angegeben sind?
Sind es Vektoren aus dem [mm] $\IR^3$, [/mm] aus dem [mm] $\IR^2$, [/mm] aus sonst irgend einem Vektorraum?
Wenn nicht einmal bekannt ist um welchen Vektorraum es sich handelt dann kann man nur sagen "ja, es gibt Skalare m und n, die diese Gleichung lösen", aber damit ist dann schon Schluss, ohne genauere Infos kann man diese Aufgabe nicht weiter bearbeiten...
lg
Schadow
PS:
Die Originalaufgabenstellung, am besten mit ein wenig Kontext, könnte hilfreich sein...
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:51 So 02.10.2011 | | Autor: | PeterLee |
Die genau Aufgabenstellung, so wie sie bei mir steht ist:
Die drei Vektoren [mm] \vec{a}, \vec{b}, \vec{c} [/mm] liegen in einer Ebene.
Berechnen sie die Skalare m, n der Zerlegung [mm] \vec{c} [/mm] = [mm] m\vec{a} [/mm] + [mm] n\vec{b}.
[/mm]
Tip: Wandeln sie obige Vektorgleicung durch Skalarmultiplikation mit [mm] \vec{a} [/mm] resp. [mm] \vec{b} [/mm] in zwei skalare Gleichungen um.
Der Kontext bei mit ist das Einstiegtsjahr Mathe an der Uni für Geographie.
Ist eben ein Semester lang so alles was die Mathematik zu bieten hat.
In der Vorlesung wurde leider nur theorie gemacht, dewegen bin ich jetzt ein wenig überfordert.
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> Die genau Aufgabenstellung, so wie sie bei mir steht ist:
>
> Die drei Vektoren [mm]\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}[/mm] liegen in einer
> Ebene.
> Berechnen sie die Skalare m, n der Zerlegung [mm]\vec{c}[/mm] =
> [mm]m\vec{a}[/mm] + [mm]n\vec{b}.[/mm]
>
> Tip: Wandeln sie obige Vektorgleicung durch
> Skalarmultiplikation mit [mm]\vec{a}[/mm] resp. [mm]\vec{b}[/mm] in zwei
> skalare Gleichungen um.
>
> Der Kontext bei mit ist das Einstiegtsjahr Mathe an der Uni
> für Geographie.
> Ist eben ein Semester lang so alles was die Mathematik zu
> bieten hat.
> In der Vorlesung wurde leider nur theorie gemacht, dewegen
> bin ich jetzt ein wenig überfordert.
Dann erzähl doch mal ein wenig was über diese Theorie.
Was genau ist (nach deiner Vorlesung) für dich ein Vektorraum?
Betrachtet ihr allgemeine Vektorräume über allgemeinen Körpern oder nur beispielhaft den [mm] $\IR^2$ [/mm] und den [mm] $\IR^3$ [/mm] (die beiden, die man zumeist schon aus der Schule kennt).
Kennst du Vektorraumaxiome, kennst du Körperaxiome, hast du überhaupt den Begriff "Axiom" schonmal gehört?
Nimmt man an man weiß überhaupt nichts über die Vektoren, dann muss nach der Aufgabenstellung folgendes gelten:
1. Der Vektorraum muss mindestens Dimension 2 haben
2. Weder a noch b dürfen der Nullvektor sein
Treffen diese beiden Bedingungen nicht zu so gibt es überhaupt keine m,n, die Lösungen der Gleichung sind.
Da davon nichts in der Aufgabenstellung steht nehme ich an ihr betrachtet keine allgemeinen Vektorräume sondern nur ganz bestimmte; da müsste man natürlich wissen welche und deren Eigenschaften geschickt ausnutzen.
Alles in allem ist das was ich hier mache aber nur munteres raten und versuchen zu erahnen wie die Aufgabenstellung gemeint sein könnte; ich würde dir empfehlen dem Zuständigen eine kurze Mail zu dem Thema zu schreiben, denn da ich deine Vorlesung nicht gehört habe kann ich nur sagen:
Allgemein/ohne nähere Infos ist diese Aufgabe nicht lösbar.
MfG
Schadow
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:59 Mo 03.10.2011 | | Autor: | PeterLee |
Achja Mail hat leider auch wenig gebracht.
Die schlaue Antwort des Tutors:
"Du musst die Eigenschaft ausnutzen, dass a, b und c in der gleichen Ebene liegen.
Daraus kannst du eine zweite Gleichung basteln."
Wow, das hilft mir viel.
Aber danke euch für die Hilfe bis jetzt. Hier bekommt man wenigstens bei den meisten Aufgaben noch Tipps wie man überhaupt anfangen soll.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:08 Mo 03.10.2011 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
Wenn die drei Vektoren in einer Ebene liegen, kann man über das Kreuzprodukt der Vektoren [mm] \vec{a} [/mm] und [mm] \vec{b} [/mm] einen zu allen beiden Vektoren [mm] \vec{n} [/mm] (Den Normalenvektor der Ebene), also auch zu c senkrechten Vektor erzeugen.
Hilft das irgendwie weiter?
Marius
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So, da dein Tutor ja scheinbar das Problem nicht sieht rate ich einfach mal wie die Aufgabe gemeint sein könnte.
Da es sich um ein Einstiegsjahr für ein (an sich) nicht-mathematisches Fach handelt nehme ich einfach mal an ihr betrachtet nicht sehr viel im allgemeinen Vektorraum.
Deshalb vermute ich es handelt sich bei den Vektoren in deiner Aufgabe um Vektoren aus einem der klassischen Vektorräume, [mm] $\IR^2$ [/mm] oder [mm] $\IR^3$.
[/mm]
[mm] $\IR^2$ [/mm] schließe ich mal aus, denn da liegen alle Vektoren in einer Ebene und somit wäre diese Bedingung nutzlos.
Also nehmen wir mal an es seien $a,b,c [mm] \in \IR^3$.
[/mm]
Weiterhin muss man, damit die Aufgabe lösbar ist, annehmen, dass weder a noch b der Nullvektor ist und dass die beiden linear unabhängig sind (wtf muss man hier viel annehmen xD).
Somit spannen also a und b die Ebene auf, in denen die drei Vektoren liegen, und dann findet man auch die gesuchten m und n.
Diese kann man jetzt zum einen auf folgende Art berechnen:
[mm] $\vektor{c_1 \\ c_2 \\ c_3} [/mm] = [mm] n*\vektor{a_1 \\ a_2 \\ a_3} [/mm] + [mm] m*\vektor{b_1 \\ b_2 \\ b_3}$
[/mm]
Dies gibt einem drei Gleichungen (da drei Koordinaten) und zwei Variablen, also unter Umständen könnte eine Lösung existieren.
Diese zu berechnen wäre aber äußerst nervtötend, da man insgesamt 9 unbekannte (aus a,b,c) drinn hat die man auch nicht loswird, also man kriegt für m und n nur einen sehr langen Term raus in dem die einzelnen Einträge drinnstecken.
Da es drei Gleichungen aber nur zwei Unbekannte sind wird es hier aber bereits eine kleine Einschränkung durch die dritte Gleichung geben, sowas wie [mm] $a_1 [/mm] + [mm] 4b_2 [/mm] = [mm] c_3$ [/mm] (nur als Beispiel).
Ein paar weitere Einschränkungen könnte der Tipp bringen, wenn er wohlwollend interpretiert wird:
Ich nehme hier einfach mal an mit "Skalarmultiplikation" ist das Skalarprodukt gemeint.
An dieser Stelle einmal die Bitte:
Bitte bring diese zwei nie durcheinander!
Skalarmultiplikation ist die Multiplikation mit einem Skalar, also anschaulich rechnet man "Vektor mal Zahl" und es kommt ein Vektor raus.
Beim Skalarprodukt rechnet man anschaulich "Vektor mal Vektor" und es kommt eine Zahl raus.
Aber da du die Aufgabe ja wohl irgendwie lösen willst nehmen wir einfach mal an das Skalarprodukt sei gemeint.
Dann kannst du mit einem Skalarprodukt mit a bzw. b noch ein paar Einschränkungen treffen.
Also als weitere Gleichungen:
$a*c = a*(ma + nb)$ (entsprechend auch b ranmultiplizieren)
wobei hier das Standardskalarprodukt gemeint ist, also:
[mm] $\vektor{x_1 \\ x_2 \\ x_3} [/mm] * [mm] \vektor{y_1 \\ y_2 \\ y_3} [/mm] = [mm] x_1y_1 [/mm] + [mm] x_2y_2 [/mm] + [mm] x_3y_3$
[/mm]
Mit dem Tipp von M.Rex gibt es noch mehr Einschränkungen, denn es muss gelten:
$(a [mm] \times [/mm] b) * c = 0$
wobei hier [mm] $\times$ [/mm] für das Kreuzprodukt steht und $*$ für das Skalarprodukt.
Auf diese Art kriegst du deine Gleichungen für m und n vielleicht auf eine etwas humanere Form. (beachte: vielleicht)
Allerdings hast du ja sicher gemerkt wie viele Annahmen ich treffen musste.
Es ist also durchaus möglich, dass deine Aufgabensteller etwas anderes im Sinn hatten; aber woher soll man das wissen?^^
Falls du also wenigstens irgend etwas abgeben möchtest gib es in dieser Form ab und hoff das beste.
Falls du die Aufgabenstellung kritisieren möchtest schreib zusätzlich noch ganz überdeutlich "angenommen" und was du alles vieles annehmen musst.
Achte dann nur darauf, dass du die Kritik auf Sachen begründest, die du bereits kennst, nicht auf eventuell für dich unbekanntes was hier im Tread genannt wurde.
Also alles in allem viel Glück mit der Aufgabe, ich hoffe für dich das sie nicht zu viele Punkte wert ist.
Wenn du die Aufgaben zurück bekommst würde mich doch dringend mal interessieren was der Tutor dazu geschrieben hat und besonders wie genau die Aufgabe in der Musterlösung gelöst wurde.
lg
Schadowmaster
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 11:36 Mo 03.10.2011 | | Autor: | abakus |
> Die genau Aufgabenstellung, so wie sie bei mir steht ist:
>
> Die drei Vektoren [mm]\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}[/mm] liegen in einer
> Ebene.
> Berechnen sie die Skalare m, n der Zerlegung
> Tip: Wandeln sie obige Vektorgleicung durch
> Skalarmultiplikation mit [mm]\vec{a}[/mm] resp. [mm]\vec{b}[/mm] in zwei
> skalare Gleichungen um.
Dann tun wir das doch mal.
Aus
[mm] \vec{c}=n\vec{a}+m\vec{b} [/mm] folgt
[mm] \vec{c}*\vec{b}=n\vec{a}*\vec{b}+m\vec{b}*\vec{b}
[/mm]
[mm] \vec{c}*\vec{a}=n\vec{a}*\vec{a}+m\vec{b}*\vec{a}
[/mm]
Gruß Abakus
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> Der Kontext bei mit ist das Einstiegtsjahr Mathe an der Uni
> für Geographie.
> Ist eben ein Semester lang so alles was die Mathematik zu
> bieten hat.
> In der Vorlesung wurde leider nur theorie gemacht, dewegen
> bin ich jetzt ein wenig überfordert.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:39 Mo 03.10.2011 | | Autor: | PeterLee |
Okay. Danke.
Soweit kam ich auch schon. Jetzt frage ich mich ob das eben stimmen kann.
Wenn ich die Skalarprodukte jetzt ausrechne kommt nämlich ein ziemlicher Wust raus, wo es schwer wird nach m bzw. n aufzulösen.
Oder muss man gar nicht erst skalar ausmultiplizieren?
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Hallo PeterLee,
> Okay. Danke.
>
> Soweit kam ich auch schon. Jetzt frage ich mich ob das eben
> stimmen kann.
> Wenn ich die Skalarprodukte jetzt ausrechne kommt nämlich
> ein ziemlicher Wust raus, wo es schwer wird nach m bzw. n
> aufzulösen.
>
> Oder muss man gar nicht erst skalar ausmultiplizieren?
Doch, das muss man dann. Heraus kommt aber nur ein lineares Gleichungssystem mit den Variablen m und n. Das ist leicht aufzulösen.
Grüße
reverend
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