Skalarprodukt+ Satz des pythag < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo!
Ich muss den Satz des Pythagoras mit Hilfe des Skalarproduktes beweiesen, krieg das aber leider nicht alleine hin.
Im Dreieck ADC sei [mm] \vec a [/mm]=BC , [mm] \vec b [/mm]=AC und [mm] \vec c[/mm]=AB.
Ist [mm] \vec a [/mm] orthogonal zu [mm] \vec b [/mm] so gilt [mm] \vec a² [/mm] + [mm] \vec b² [/mm] = [mm] \vec c² [/mm]
Dankeschön schon mal im Vorraus!!
Ich habe diese Frage in keinem weiteren Forum gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:40 Mo 13.09.2004 | | Autor: | andreas |
hi christian
da $ [mm] \vec [/mm] a $ orthogonal auf $ [mm] \vec [/mm] b $ steht gilt ja [m] \vec a \cdot \vec b = \vec b \cdot \vec a = 0[/m] (*).
außerdem gilt in diesem dreieck [m] \vec c = \vec b - \vec a [/m]
nun probiere mal bei [m] \vec c \cdot \vec c = (\vec b - \vec a ) \cdot (\vec b - \vec a)[/m] die recht seite zu vereinfachen und dabei die identität (*) zu verwenden.
probiere mal, ob du damit weiterkommst, sonst frage nach oder poste deine lösung, dann können wir sie kontrollieren.
grüße
andreas
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:11 Di 14.09.2004 | | Autor: | Marc |
Hallo christian!
> Ich muss den Satz des Pythagoras mit Hilfe des
> Skalarproduktes beweiesen, krieg das aber leider nicht
> alleine hin.
>
> Im Dreieck ADC sei [mm]\vec a [/mm]=BC , [mm]\vec b [/mm]=AC und [mm]\vec c[/mm]=AB.
>
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> Ist [mm]\vec a[/mm] orthogonal zu [mm]\vec b[/mm] so gilt [mm]\vec a²[/mm] + [mm]\vec b²[/mm] =
> [mm]\vec c²[/mm]
Ich wollte nur kurz mal einwerfen, dass man hier eigentlich nicht von einem Beweis des Satzes von Pythagoras sprechen kann, denn die Eigentschaft des Skalarproduktes, zwei orthogonalen Vektoren den Wert 0 zuzuordnen, setzt doch bereits die Gültigkeit des Satzes von Pythagoras voraus. Das sieht für mich nach einem Ringschluß aus.
Statt "Beweis des Satzes von Pythagoras mit Hilfe des Skalarproduktes" würde ich lieber von "Überprüfung" reden.
Oder ich frage mal provokativ:
Kann jemand ohne Anwendung des Satzes von Pythagoras zeigen, dass [mm] $\vec a\*\vec [/mm] b=0\ [mm] \gdw\ \vec [/mm] a\ [mm] \mbox{ und }\vec [/mm] b\ [mm] \mbox{orthogonal}$?
[/mm]
(Dabei ist [mm] "$\*$ [/mm] "das Standardskalarprodukt, wie man es aus der Schule kennt  )
Viele Grüße,
Marc
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Ich kann das! Dazu muß ich zunächst nur einen Doppelpunkt vor den Äquivalenzpfeil setzen:
[mm]\vec{a} \bot \vec{b} \ \ : \Leftrightarrow \ \ \vec{a} \cdot \vec{b}=0[/mm]
Satz:
Es gilt [mm]\vec{a} \bot \vec{b} \ \ \Leftrightarrow \ \ \vec{a} \cdot \vec{b}=0[/mm]
Beweis:
siehe Definition
Spaß beiseite!
Ich stimme Marc zu. Mich ärgern diese Scheinbeweise des Satzes des Pythagoras. Man sollte sagen: Wenn man, motiviert durch den "handelsüblichen" Satz des Pythagoras, das Skalarprodukt wie gewohnt definiert, erhält man durch Anwendung der Skalarproduktregeln in einfacher Weise den Satz des Pythagoras zurück.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:43 Di 14.09.2004 | | Autor: | ChristianH |
Dann vielen Dank für die Hilfe bei der "Überprüfung" !!!!!
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