Skalarprodukt < Vektoren < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:35 Fr 04.04.2008 | | Autor: | Ve123 |
| Aufgabe | | Zeigen Sie, dass bei Skalarprodukten das Distributivgesetz anwendbar ist. |
Ich weiß nicht wirklich wie ich an die Aufgabe herangehen soll. In den Beispielen die wir bisher hatten, kamen immer nur zwei Verktoren vor, wenn man das Distributivgesetz anwenden möchte, hat man doch immer drei?!?!
a * (b+c) = a*b + a*c
Würde mich über nen Tipp freuen!!!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:40 Fr 04.04.2008 | | Autor: | Loddar |
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Hallo Ve123!
Beginne doch mal mit Vektoren im $\IR^n$ und berechne beide Seiten der Gleichung:
$$\vec{a}*\left(\vec{b}+\vec{c}\right) \ = \ \vektor{a_1\\a_2\\...\\a_n}*\left[\vektor{b_1\\b_2\\...\\b_n}+\vektor{c_1\\c_2\\...\\c_n}\right] } \ = \ \vektor{a_1\\a_2\\...\\a_n}*\vektor{b_1+c_1\\b_2+c_2\\...\\b_n+c_n} \ = \ ...$$
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:35 Fr 04.04.2008 | | Autor: | Ve123 |
also ich würd dann so weiter machen:
jeweils irgendwie (a* (b+c) )
also für jede Koordinate.
Wir haben das Thema Vektoren bisher nicht sonderlich ausführlich behandelt deswegen kenn ich mich auch nich so wirklich aus. Was ist [mm]\IR^n[/mm] ???
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:57 Fr 04.04.2008 | | Autor: | Disap |
Hallo.
> also ich würd dann so weiter machen:
> jeweils irgendwie (a* (b+c) )
> also für jede Koordinate.
Du mogelst irgendwie. Das ist wenig hilfreich 
> Wir haben das Thema Vektoren bisher nicht sonderlich
> ausführlich behandelt deswegen kenn ich mich auch nich so
> wirklich aus. Was ist [mm]\IR^n[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
???
Was das Distributivgesetz ist, weisst du ja.
Der \IR^n sagt dir, dass du n Einträge im Vektor hast, mehr brauchst du dazu eigentlich nicht zu wissen
Loddar hat doch schon den Anfang gemacht
$ \vec{a}\cdot{}\left(\vec{b}+\vec{c}\right) \ = \ \vektor{a_1\\a_2\\...\\a_n}\cdot{}\left[\vektor{b_1\\b_2\\...\\b_n}+\vektor{c_1\\c_2\\...\\c_n}\right] } \ = \ \vektor{a_1\\a_2\\...\\a_n}\cdot{}\vektor{b_1+c_1\\b_2+c_2\\...\\b_n+c_n} \ = \ ... $
Mach mal weiter, was erhälst du denn, wenn du auf diese zwei Vektoren das Skalarprodukt erhälst?
Und was willst du eigentlich erreichen, du willst doch zeigen, dass
$ \vec{a}\cdot{}\left(\vec{b}+\vec{c}\right) \ =\vec{a}*\vec{b}+\vec{a}*\vec{c} $
Also, wende mal das Skalarprodukt an!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:35 Fr 04.04.2008 | | Autor: | Disap |
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Hallo
Das war gerade vermutlich etwas zu schwammig und für den Anfänger zu schwer
Also zu zeigen ist doch
$\vec{a}(\vec{b}+\vec{c}) = \vec{a}*\vec{b}+\vec{a}*\vec{c}$
Die linke Seite sagte Loddar
$ \vec{a}\cdot{}\left(\vec{b}+\vec{c}\right) \ = \ \vektor{a_1\\a_2\\...\\a_n}\cdot{}\left[\vektor{b_1\\b_2\\...\\b_n}+\vektor{c_1\\c_2\\...\\c_n}\right] } \ = \ \vektor{a_1\\a_2\\...\\a_n}\cdot{}\vektor{b_1+c_1\\b_2+c_2\\...\\b_n+c_n} \ = \ ... $
Die rechte sag ich dir
$\vec{a}*\vec{b}+\vec{a}*\vec{c}$ (soll herauskommen)
$=\vektor{a_1\\a_2\\\vdots\\a_n}\vektor{b_1\\b_2\\\vdots\\b_n}+\vektor{a_1\\a_2\\\vdots\\a_n}\vektor{c_1\\c_2\\\vdots\\c_n}$
Und den Umformungsschritt von
$\ \vektor{a_1\\a_2\\...\\a_n}\cdot{}\vektor{b_1+c_1\\b_2+c_2\\...\\b_n+c_n} \ = \ ... $
zu
$=\vektor{a_1\\a_2\\\vdots\\a_n}\vektor{b_1\\b_2\\\vdots\\b_n}+\vektor{a_1\\a_2\\\vdots\\a_n}\vektor{c_1\\c_2\\\vdots\\c_n}$
darfst du selbst versuchen
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 14:23 Sa 05.04.2008 | | Autor: | Ve123 |
genau auf den Schritt komme ich nicht...
ich würde das einfach jeweils für a1 und a2 usw.. ausmultiplizieren wie ich das schon oben gesagt habe...aber das schien ja falsch zu sein....also hab ich keine Ahnung....jedenfalls weiß ich nicht wie ich sonst auf
> [mm]=\vektor{a_1\\a_2\\\vdots\\a_n}\vektor{b_1\\b_2\\\vdots\\b_n}+\vektor{a_1\\a_2\\\vdots\\a_n}\vektor{c_1\\c_2\\\vdots\\c_n}[/mm]
kommen soll...
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:41 Sa 05.04.2008 | | Autor: | Loddar |
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Hallo Ve123!
Hast Du denn mal den obigen Ausdruck weiter ausgerechnet und zusammengefasst?
$$ \vec{a}\cdot{}\left(\vec{b}+\vec{c}\right) \ = \ \vektor{a_1\\a_2\\...\\a_n}\cdot{}\left[\vektor{b_1\\b_2\\...\\b_n}+\vektor{c_1\\c_2\\...\\c_n}\right] } \ = \ \vektor{a_1\\a_2\\...\\a_n}\cdot{}\vektor{b_1+c_1\\b_2+c_2\\...\\b_n+c_n} \ = \ ... $$
Gruß
Loddar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:12 Sa 05.04.2008 | | Autor: | Disap |
Hallo zusammen.
> Hallo Ve123!
>
>
> Hast Du denn mal den obigen Ausdruck weiter ausgerechnet
> und zusammengefasst?
>
> [mm]\vec{a}\cdot{}\left(\vec{b}+\vec{c}\right) \ = \ \vektor{a_1\\a_2\\...\\a_n}\cdot{}\left[\vektor{b_1\\b_2\\...\\b_n}+\vektor{c_1\\c_2\\...\\c_n}\right] } \ = \ \vektor{a_1\\a_2\\...\\a_n}\cdot{}\vektor{b_1+c_1\\b_2+c_2\\...\\b_n+c_n} \ = \ ...[/mm]
Ve123, wenn du damit so Probleme hast, dann ändere doch kurzeitig die b+c um in d
also
[mm] $\vektor{a_1\\a_2\\...\\a_n}\cdot{}\vektor{d_1\\d_2\\...\\d_n} [/mm] \ = $
Jetzt kommst du auf deine Form mit den "zwei Vektoren", die du aus dem Unterricht kennst.
Wenn du das hast, kannst du dich ja noch einmal melden.
(das was dort verwendet wurde, nennt sich Substituieren, d. h. [mm] d_1 [/mm] = [mm] b_1+c_1, d_2 [/mm] = [mm] b_2+c_2 [/mm] , ... , [mm] d_n [/mm] = [mm] b_n+c_n [/mm] Später muss man das aber wieder rückgängig machen...)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:29 So 06.04.2008 | | Autor: | Ve123 |
also wenn wir im unterricht das skalarprodukt von 2 Vektoren ausgerechnet haben, dann haben wir jeweils die beiden x-Koordinate, die y-Koordinaten und z- Koordinaten multipliziert und das dann jeweils addiert...also
a1*d1 + a2*d2 + a3*d3
naja dann wäre das doch wenn man die substitution weglässt
a1*(b1+c1) + a2*(b2+c2) + a3*(b3+c3)
und wenn ich das ausmulitipliziere dann hätt ich ja das distributivgesetz angewendet.
aber das ist wahrscheinlich auch falsch
das problem ist einfach dass ich nicht wirklich weiß was ich machen soll, um \ [mm] \vektor{a_1\\a_2\\...\\a_n}\cdot{}\vektor{b_1+c_1\\b_2+c_2\\...\\b_n+c_n} [/mm] \ =....
weiter auszurechnen.
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> Zeigen Sie, dass bei Skalarprodukten das Distributivgesetz
> anwendbar ist.
> Ich weiß nicht wirklich wie ich an die Aufgabe herangehen
> soll. In den Beispielen die wir bisher hatten, kamen immer
> nur zwei Verktoren vor, wenn man das Distributivgesetz
> anwenden möchte, hat man doch immer drei?!?!
> a * (b+c) = a*b + a*c
> Würde mich über nen Tipp freuen!!!
Wenn Du eine solche Eigenschaft des Skalarproduktes beweisen willst, musst Du Dir zuallererst nochmals klarmachen, wie (in Deinem Unterricht) das Skalarprodukt eingeführt (definiert) wurde und welche grundlegenden Eigenschaften des Skalarproduktes Du beim Beweis verwenden darfst.
Der von Loddar vorgeschlagene Weg, die Distributivität des Skalarproduktes über eine Rechnung mit Koordinaten zu beweisen, setzt schon voraus, dass man weiss, dass für das Skalarprodukt das Distributivgesetz gilt. Jedenfalls dann, wenn man das Skalarprodukt über [mm] $\vec{a}\cdot \vec{b} [/mm] := [mm] |\vec{a}|\cdot |\vec{b}|\cdot \cos \angle(\vec{a},\vec{b})$ [/mm] einführt ("gemometrische Definition").
Wurde das Skalarprodukt also auf diese Weise definiert, so zeigt man das Distributivgesetz in der Regel, indem man verwendet, dass das Skalarprodukt [mm] $\vec{a}\cdot\vec{b}$ [/mm] gleich dem Produkt der (vorzeichenbehafteten) Projektion von [mm] $\vec{b}$ [/mm] auf die Richtung von [mm] $\vec{a}$ [/mm] mit [mm] $|\vec{a}|$ [/mm] ist. Dies ist einfach deshalb der Fall, weil [mm] $|\vec{b}|\cos\angle(\vec{a},\vec{b})$ [/mm] gerade die besagte (vorzeichenbehaftete) Projektion von [mm] $\vec{b}$ [/mm] auf die Richtung von [mm] $\vec{a}$ [/mm] ist.
Um mit dieser Vorkenntnis über das Skalarprodukt das Distributivgesetz zu beweisen, musst Du nun nur zeigen (bzw. "plausibel" erscheinen lassen), dass die (vorzeichenbehaftete) Projektion von [mm] $\vec{b}+\vec{c}$ [/mm] gleich der Summe der (vorzeichenbehafteten) Projektionen von [mm] $\vec{b}$ [/mm] und [mm] $\vec{c}$ [/mm] ist.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:35 So 06.04.2008 | | Autor: | Ve123 |
also im Unterricht haben wir das skalarprodukt so definiert:
$ [mm] \vec{a}\cdot \vec{b} [/mm] := [mm] |\vec{a}|\cdot |\vec{b}|\cdot \cos \angle(\vec{a},\vec{b}) [/mm] $
was meinst du in dem Zusammenhang mit (vorzeichenbehafteter) Projektion???
also wir haben das so gemacht dass wir von Ende des Vektors b das Lot auf a gebildet haben...und dann die strecke bis zum schnittpunkt des Lots mit a quasi nach unten projeziert haben. Diese Strecke haben wir mit Hilfe von Pythagoras berechnet und sind so auf b * cos von dem Winkel gekommen.
Nur wie bringe ich da jetzt den Vektor c ins Spiel? ich soll ja beweisen dass die Projektion von b+c das gleiche ist wie die projektionen von b und c einzeln...
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:55 So 06.04.2008 | | Autor: | Somebody |
> also im Unterricht haben wir das skalarprodukt so
> definiert:
> [mm]\vec{a}\cdot \vec{b} := |\vec{a}|\cdot |\vec{b}|\cdot \cos \angle(\vec{a},\vec{b})[/mm]
>
> was meinst du in dem Zusammenhang mit
> (vorzeichenbehafteter) Projektion???
Na, die Projektion von [mm] $\vec{b}$ [/mm] bzw. [mm] $\vec{c}$ [/mm] hat, wie der [mm] $\cos\angle(\vec{a},\vec{b})$ [/mm] ein Vorzeichen: dieses ist positiv, falls die Projektion denselben Richtungssinn hat wie [mm] $\vec{a}$, [/mm] andernfalls negativ.
> also wir haben das so gemacht dass wir von Ende des Vektors
> b das Lot auf a gebildet haben...und dann die strecke bis
> zum schnittpunkt des Lots mit a quasi nach unten projeziert
> haben.
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Diese Strecke haben wir mit Hilfe von Pythagoras
> berechnet und sind so auf b * cos von dem Winkel gekommen.
>
> Nur wie bringe ich da jetzt den Vektor c ins Spiel? ich
> soll ja beweisen dass die Projektion von b+c das gleiche
> ist wie die projektionen von b und c einzeln...
Wie wärs, wenn Du mal eine Skizze dieser Situation mit Vektoren [mm] $\vec{b}$, $\vec{c}$ [/mm] und [mm] $\vec{b}+\vec{c}$ [/mm] (sowie der Richtung von [mm] $\vec{a}$ [/mm] als Gerade, auf die projiziert wird) anfertigen und darin die Projektion von [mm] $\vec{b}+\vec{c}$ [/mm] auf diese Gerade mit der Summe der Projektionen von [mm] $\vec{b}$ [/mm] und [mm] $\vec{c}$ [/mm] auf diese Gerade vergleichen würdest?
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![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]"){kind=small}
