Skalarprodukt < Vektoren < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:45 Fr 27.03.2009 | | Autor: | Mandy_90 |
Hallo zusammen^^
Ich beschäfitge mich zur Zeit mit der geometrischen Interpretation des Skalarprodukts.Jedoch versteh ich das nicht so ganz.Also ich hab hier eine Zeichnung,wo die Vektoren [mm] \vec{a} [/mm] und [mm] \vec{b} [/mm] die grünen sind.Der Vetor [mm] \vec{b} [/mm] fängt am Anfang des Rechtecks an,das konnte ich der Zeichnung leider nicht besser darstellen.
Und der rote Vektor ist [mm] \vec{a_{b}}:Projektionsvektor [/mm] von [mm] \vec{a} [/mm] auf [mm] \vec{b}.Dazu [/mm] hatten wir uns notier:
Das Skalarprodukt ist als Flächenmaßzahl interpretierbar,unzwar vom Rechteck mit den Seitenlängen [mm] |\vec{a_{b}}| [/mm] und [mm] |\vec{b}| [/mm] für 0 [mm] \le \alpha \le \bruch{\pi}{2}.
[/mm]
[Dateianhang nicht öffentlich]
Was ich nicht verstehe,ist woher man weiß,dass der Projektionsvektor genauso lang ist,woe die linke Seite des Rechtecks,Woher weiß man,dass das auch der Projektionsvektor ist?
Vielen Dank
lg
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: JPG) [nicht öffentlich]
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:49 Fr 27.03.2009 | | Autor: | noobo2 |
Hallo,
vielleicht ist aus der physik schon bekannt, dass sich eine Kraft die nicht direkt in Wegrichtung wirkt in eine orthogonale komponente aufteile lässt, mit dem projektionsvektor ist das genauso, er ist nur die orthogonale komponente des einen vektors, der auf den anderen projeziert wird und dann so gedreht wird , dass die beiden zusammen ein rechteck aufspannen. Mathematisch ist der Projektionsvektor : [mm] a*cos\alpha
[/mm]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:01 Fr 27.03.2009 | | Autor: | Kroni |
Hi,
wenn du dir die Defintion des Skalarproduktes anguckst, dann steht da folgendes:
[mm] $\vec{a}*\vec{b}=|\vec{a}|\cdot|\vec{b}|\cdot\cos\varphi$, [/mm] wobei [mm] $\varphi$ [/mm] der Winkel zwischen den Vektoren [mm] $\vec{a}$ [/mm] und [mm] $\vec{b}$ [/mm] ist.
Wenn du dir jetzt in deiner Skizze den Winkel [mm] $\varphi$ [/mm] einrägst, und dir die Projektion von [mm] $\vec{a}$ [/mm] auf den Vektor [mm] $\vec{b}$ [/mm] anguckst, also das, was ihr mit [mm] $\vec{a_b}$ [/mm] gekennzeichnet wurde, hast du ein rechtwinkliges Dreieck vorliegen. Dort gilt dann: [mm] $\cos\varphi=\frac{|\vec{a_b}|}{|\vec{a}|}$, [/mm] also [mm] $|\vec{a}|\cdot\cos\varphi=|\vec{a_b}|$
[/mm]
Wenn man sich jetzt nochmal oben die Definiton des Skalarprodukts anschaut, dann kann man den Teil [mm] $|\vec{a}|\cdot\cos\varphi$ [/mm] durch [mm] $|\vec{a_b}|$ [/mm] ersetzen, also steht da:
[mm] $\vec{a}*\vec{b}=|\vec{a_b}|\cdot|\vec{b}|$, [/mm] was man dann als Flächeninhalt des Rechtecks mit den Längen [mm] $|\vec{a_b}|$ [/mm] und [mm] $|\vec{b}|$ [/mm] interpretieren kann.
LG
Kroni
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:10 Fr 27.03.2009 | | Autor: | Mandy_90 |
ok,vielen Dank euch beiden.
Eine Frage hab ich noch.
Es gilt ja: [mm] (r\vec{a})*\vec{b}=r*(\vec{a}*\vec{b}).
[/mm]
Wenn ich diesen Sachverhalt jetzt mal geometrisch interpretieren würde,würde das dann einfach nur bedeuten,dass desto länger der Projektionsvektor ist,desto größer ist der Flächeninhalt des Rechtecks?
Hat dieser Sachverhalt sonst noch eine Bedeutung für die geometrische Interpretation oder wars das?
lg
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:15 Fr 27.03.2009 | | Autor: | Kroni |
Hi,
genau. Denn mit dem Faktor $r$ Streckst du ja den Vektor um den Faktor r, und damit auch die Länge Projektion auf den Vektor b. Letztendlich ist deine Interpretation auch richtig, dass man dann den Flächeninhalt des dazugehörigen Rechtecks um den Faktor r vergrößert (da man ja nur eine Länge um den Faktor r streckt, geht der Faktor r auch nur linear in den Flächeninhalt ein...)
LG
Kroni
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