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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:50 Do 15.07.2010 | | Autor: | jessi00 |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hallo, ich hab wieder eine Frage, wie kann ich denn ein orthogonales Komplement bezüglich eines Skalarprodukts bestimmen?? Was ein orthogonales Komplement ist und wie man das an sich bestimmt ist mir klar, doch was bedeutet bzgl eines Skalarp. Also bei einer Orthonormalbasis werden zu einem gegeben Vektor einach noch zwei dazugepackt, die seknrecht auf diesem stehen, dann dass Skalarprodukt darauf angewandt und dann hat man die Basis. Kann ich das bei einem orthogonalen Komplement nicht auch machen? Ich suche mir zu zwei gegebenen Vektoren zwei aus dem orthogonal Raum und wende das Skalap darauf an? In der Lösung wird das nämlich nicht so gemacht.
Tut mir echt leid, falls ich euch mit meinen Fragen schon nerve, schreibe aber die Klausur in einigen Tagen und versuche die ganze zeit alte Klausuren durchzurechnen und da die Lösungshinweise immer so kurz sind, verstehe ich das nicht
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> Hallo, ich hab wieder eine Frage, wie kann ich denn ein
> orthogonales Komplement bezüglich eines Skalarprodukts
> bestimmen?? Was ein orthogonales Komplement ist und wie man
> das an sich bestimmt ist mir klar, doch was bedeutet bzgl
> eines Skalarp. Also bei einer Orthonormalbasis werden zu
> einem gegeben Vektor einach noch zwei dazugepackt, die
> seknrecht auf diesem stehen, dann dass Skalarprodukt darauf
> angewandt und dann hat man die Basis. Kann ich das bei
> einem orthogonalen Komplement nicht auch machen? Ich suche
> mir zu zwei gegebenen Vektoren zwei aus dem orthogonal Raum
> und wende das Skalap darauf an? In der Lösung wird das
> nämlich nicht so gemacht.
Guten Abend jessika,
vermutlich ist dir der Begriff "orthogonales Komplement" bisher
einfach im Rahmen der üblichen euklidischen Metrik vertraut.
Wenn nun ein "orthogonales Komplement bezüglich eines (nicht
konventionellen) Skalarprodukts" gefragt ist, ändert sich eigentlich
nichts Wesentliches, aber der Begriff "orthogonal" bedeutet jetzt
für zwei Vektoren u und v einfach, dass ihr Skalarprodukt gleich
Null sein soll.
Falls du weitere Fragen stellen möchtest, gibst du wohl am besten
ein konkretes Beispiel an.
LG Al-Chw.
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Hallo,
ich weiß nicht, ob ich dich richtig verstanden habe. Vor allem weiss ich nicht, was ein orthogonales Komplement zu einem Skalarprodukt sein soll. Das orthogonale Komplement bzw. der Orthogonalraum einer Teilmenge $\ M $ eines $\ [mm] \IK-$Vektorraums [/mm] ist definiert als
$\ [mm] M^{\perp} [/mm] := [mm] \{ v \in V : (\forall \ a \in M) = 0 \} [/mm] $
Also die Menge aller $\ v [mm] \in [/mm] V $, die zu allen $\ a [mm] \in [/mm] M $ orthogonal ist.
Folgendes:
Sei $\ V = [mm] \IR^n [/mm] $ und $\ U [mm] \subseteq [/mm] V $ ein Untervektorraum von $\ V $.
Sei $\ [mm] u_1,...,u_k [/mm] $ eine Orthogonalbasis von $\ U $
Dann ist $\ [mm] U^{\perp} [/mm] = [mm] \{u_1,...,u_k\}^{\perp} [/mm] $ und besteht aus den Lösungen $\ v $ des folgenden Systems $ ( [mm] \* [/mm] ) $
$ [mm] [/mm] = 0 $
...
$ [mm] [/mm] = 0 $
Nun gilt
$\ U [mm] \oplus U^{\perp} [/mm] = V $
und weil $\ V $ endlichdimensional ist:
$\ [mm] \dim [/mm] U + [mm] \dim U^{\perp} [/mm] = [mm] \dim [/mm] V \ [mm] \Rightarrow [/mm] k + [mm] \dim U^{\perp} [/mm] = n \ [mm] \Rightarrow \dim U^{\perp} [/mm] = n - k $
Das heißt, dass du eine (Orthogonal)basis von $\ V $ konstruieren kannst, in dem du die (Orthogonal)basis aus $\ U $ durch die (Orthogonal)basis aus $\ [mm] U^{\perp} [/mm] $ ergänzt.
Siehe dazu auch: ![[]](/images/popup.gif) Komplementärbasis
Wie man aus einer Basis eines Untervektorraums $\ U [mm] \subseteq [/mm] V $ eine Orthogonal- bzw Orthonormalbasis macht, sagt dir das Gram-Schmidtsche Orthogonalisierungsverfahren
Und jetzt wäre es hilfreich, wenn deine Fragen etwas konkreter werden. Nenne Beispiele, an denen wir sehen, wo du Schwierigkeiten hast.
P.S. Das System $ ( [mm] \*) [/mm] $ lässt sich als Lineares Gleichungssystem darstellen und lösen.
Grüße
ChopSuey
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:00 Fr 16.07.2010 | | Autor: | jessi00 |
| Aufgabe | Sei [mm] A=\pmat{ 3 & 1 & 0 \\ 1 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 1 } [/mm]
[mm] \in R^3^x^3. [/mm] Für u,v [mm] \in R^3 [/mm] sei <v,w>= [mm] v^T*A*w. [/mm]
Bestimmen Sie das orthogonale Komplement von
[mm] R*\vektor{0 \\ 1 \\ 2}+R*\vektor{1 \\ -2 \\ -3 } [/mm] |
Dankeschön für die Antworten, aber eine Orthogonalbasis und ein orthogonales Komplement sind ja nicht das gleiche, wenn ich es richtig verstanden habe, kann man mit dem Gramm Schmidt Verfahren eine Orthogonalbasis konstruieren. ZB habe ich 3 Vektoren, die linear abhängig sind, mit Schmidt behalte ich den einen Vektor und konstruiere aus den beiden anderen zwei orthogonale. Ein Orthogonales Komplement kann ich nicht mit Schmidt bestimmen. Für dieses bräuchte ich eine Basis aus dem Orthogonalraum und keine orthogonale Basis,stimmts??
Mit der oberen Aufgabe habe ich nun das Problem, was ein orthogonales Komplement ist und wie man das bestimmt glaube ich ist klar. Aber wie mache ich das halt bzgl des Skalarprodukts??
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> Sei [mm]A=\pmat{ 3 & 1 & 0 \\ 1 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 1 }[/mm]
> [mm]\in R^3^x^3.[/mm] Für u,v [mm]\in R^3[/mm] sei <v,w>= [mm]v^T*A*w.[/mm]
> Bestimmen Sie das orthogonale Komplement von
> [mm]R*\vektor{0 \\ 1 \\ 2}+R*\vektor{1 \\ -2 \\ -3 }[/mm]
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> Dankeschön für die Antworten, aber eine Orthogonalbasis
> und ein orthogonales Komplement sind ja nicht das gleiche,
> wenn ich es richtig verstanden habe, kann man mit dem Gramm
> Schmidt Verfahren eine Orthogonalbasis konstruieren. ZB
> habe ich 3 Vektoren, die linear abhängig sind, mit Schmidt
> behalte ich den einen Vektor und konstruiere aus den beiden
> anderen zwei orthogonale. Ein Orthogonales Komplement kann
> ich nicht mit Schmidt bestimmen. Für dieses bräuchte ich
> eine Basis aus dem Orthogonalraum und keine orthogonale
> Basis,stimmts??
>
> Mit der oberen Aufgabe habe ich nun das Problem, was ein
> orthogonales Komplement ist und wie man das bestimmt glaube
> ich ist klar. Aber wie mache ich das halt bzgl des
> Skalarprodukts??
Hallo jessika,
die beiden Vektoren $\ a\ =\ [mm] \pmat{0\\1\\2}$ [/mm] und $\ b \ =\ [mm] \pmat{1 \\ -2 \\ -3 }$ [/mm] spannen den
2-dimensionalen Unterraum U auf. Das orthogonale Komplement
[mm] U^{\perp} [/mm] ist eindimensional, wird also von einem Vektor c
aufgespannt. Um einen solchen zu bestimmen, sucht man
eine Lösung für das Gleichungssystem, das aus
$\ <a,c>\ =\ [mm] 0\quad\ \wedge\ [/mm] \ \ <b,c>\ =\ 0$
entsteht. Bei der Auflösung des Systems darf man eine der
drei Komponenten frei wählen.
LG Al-Chw.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:13 Fr 16.07.2010 | | Autor: | jessi00 |
Hallo,dankeschön für die schnelle Antwort, eine kurze Frage habe noch dazu und zwar hast du ja geschrieben <a,c>=0 und <b,c>=0 ist hier gemeint [mm] a^T*A*c=0 [/mm] und [mm] b^T*A*c=0 [/mm] oder einfach [mm] a^T*c=0 [/mm] und [mm] b^T*c=0? [/mm] Eigentlich müsste allg für ein orthogonales Komplement ja das zweite gelten, aber da man hiere dieses bzgl einer Abb finden muss, ist es wahrscheinlich das erste.
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> Hallo,dankeschön für die schnelle Antwort, eine kurze
> Frage habe noch dazu und zwar hast du ja geschrieben
> <a,c>=0 und <b,c>=0 ist hier gemeint [mm]a^T*A*c=0[/mm] und
> [mm]b^T*A*c=0[/mm] oder einfach [mm]a^T*c=0[/mm] und [mm]b^T*c=0?[/mm] Eigentlich
> müsste allg für ein orthogonales Komplement ja das zweite
> gelten, aber da man hiere dieses bzgl einer Abb finden
> muss, ist es wahrscheinlich das erste.
Ganz klar das erste, denn das Skalarprodukt <...,...> wird hier
ja eben durch die Matrix A definiert !
LG
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:36 Fr 16.07.2010 | | Autor: | jessi00 |
Danke, du hast mir echt geholfen :)
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