Skalarprodukt < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:52 Fr 09.09.2011 | | Autor: | Jensy |
| Aufgabe | Beweise:
Für alle v [mm] \in \IR^n [/mm] gilt:
[mm] \parallel [/mm] v [mm] \parallel [/mm] = sup {x*v : x [mm] \in \IR^n, \parallel [/mm] x [mm] \parallel \le [/mm] 1 } |
hierbei handelt es sich um eine Klausuraufgabe die ich falsch gemacht habe. Ich habe die Normeigenschaften gezeigt was folglich nicht der Sinn und Zweck der Aufgabenstellung war.
Ihr würdet mir sehr helfen wenn ihr mir zeigen würdet wie man es hätte machen sollen.
Danke schonmal im voraus.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Moin Jensy,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") !
> Beweise:
>
> Für alle v [mm]\in \IR^n[/mm] gilt:
> [mm] \parallel v\parallel= [/mm] sup {x*v : [mm] x\in \IR^n, \parallel [/mm] x [mm] \parallel \le [/mm] 1 }
> hierbei handelt es sich um eine Klausuraufgabe die ich
> falsch gemacht habe. Ich habe die Normeigenschaften gezeigt
> was folglich nicht der Sinn und Zweck der Aufgabenstellung war.
>
> Ihr würdet mir sehr helfen wenn ihr mir zeigen würdet wie
> man es hätte machen sollen.
Wenn die Normeigenschaften nicht ausgereicht haben, vermute ich, dass man herausfinden sollte, um welche Norm auf [mm] \IR^n [/mm] es sich handelt.
Es ist klar, dass
[mm] \sup\{x*v:x\in\IR^n, \parallel x\parallel\le1\}=\sup\{x*v:x\in\IR^n, \parallel x\parallel=1\}.
[/mm]
Damit kann man sich relativ leicht überlegen, dass es sich bei der vorgestellten Norm um die Maximumsnorm handeln muss, mit [mm] v=(v_1,\ldots,v_n):
[/mm]
[mm] \sup\{x*v:x\in\IR^n, \parallel x\parallel=1\}=\max_{1\leq i\leq n} |v_i|
[/mm]
Sollte dies wirklich gefordert sein, wäre die Aufgabenstellung allerdings nicht sehr vorteilhaft gestellt...
LG
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:24 Do 06.10.2011 | | Autor: | fred97 |
> Moin Jensy,
> !
> > Beweise:
> >
> > Für alle v [mm]\in \IR^n[/mm] gilt:
> > [mm]\parallel v\parallel=[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
sup {x*v : [mm]x\in \IR^n, \parallel[/mm] x
> [mm]\parallel \le[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
1 }
> > hierbei handelt es sich um eine Klausuraufgabe die ich
> > falsch gemacht habe. Ich habe die Normeigenschaften gezeigt
> > was folglich nicht der Sinn und Zweck der Aufgabenstellung
> war.
> >
> > Ihr würdet mir sehr helfen wenn ihr mir zeigen würdet wie
> > man es hätte machen sollen.
> Wenn die Normeigenschaften nicht ausgereicht haben,
> vermute ich, dass man herausfinden sollte, um welche Norm
> auf [mm]\IR^n[/mm] es sich handelt.
> Es ist klar, dass
>
> [mm]\sup\{x*v:x\in\IR^n, \parallel x\parallel\le1\}=\sup\{x*v:x\in\IR^n, \parallel x\parallel=1\}.[/mm]
>
> Damit kann man sich relativ leicht überlegen, dass es sich
> bei der vorgestellten Norm um die Maximumsnorm handeln
> muss,
Das stimmt nicht ! Ich bez. die Max.-Norm mit [mm] ||*||_{\infty}
[/mm]
Nehmen wir n=2, v=(1,1) und [mm] x=(\bruch{1}{\wurzel{2}}, \bruch{1}{\wurzel{2}}). [/mm] Dann ist
[mm] ||v||_{\infty}=1 [/mm] , [mm] ||x||_{\infty}<1 [/mm] und $x*v= [mm] \wurzel{2}>||v||_{\infty}$
[/mm]
Schau mal hier:
https://matheraum.de/read?i=824802
FRED
> mit [mm]v=(v_1,\ldots,v_n):[/mm]
>
> [mm]\sup\{x*v:x\in\IR^n, \parallel x\parallel=1\}=\max_{1\leq i\leq n} |v_i|[/mm]
>
> Sollte dies wirklich gefordert sein, wäre die
> Aufgabenstellung allerdings nicht sehr vorteilhaft
> gestellt...
>
> LG
>
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> Beweise:
>
> Für alle v [mm]\in \IR^n[/mm] gilt:
> [mm]\parallel[/mm] v [mm]\parallel[/mm] = sup [mm] \{x*v : x \in \IR^n, \parallel x \parallel \le 1 \}
[/mm]
Hallo,
.
Deine Aufgabe hat bestimmt nicht mit "Beweise" begonnen.
Es stand zuvor bestimmt noch ein Text, in welchem erklärt wurde, was [mm] \parallel \*\parallel [/mm] sein soll, nämlich die Maximumnorm auf dem [mm] \IR^n.
[/mm]
Daß diese Norm wirklich eine Norm ist, steht nicht zur Debatte, das wurde in der VL oder HÜ gezeigt.
Wissen mußt Du hier, wie die Maximumnorm definiert ist, [mm] \left\parallel\vektor{v_1\\\vdots\\v_n}\right\parallel=\max_{1\le i\le n}(|v_i|), [/mm] und zeigen sollst Du, daß [mm] \max_{1\le i\le n}(|v_i|) [/mm] gleich dem angegebenen Supremum ist.
Hättest Du die Normeigenschaft beweisen sollen, hätte dort etwas sowas gestanden:
Zeige, daß durch [mm] $\parallel$ [/mm] v [mm] $\parallel$ [/mm] := sup [mm] \{x*v : x \in \IR^n, \parallel x \parallel \le 1 \} [/mm] f.a. [mm] v\in \IR^n [/mm] eine Norm auf dem [mm] \IR^n [/mm] definiert wird.
Gruß v. Angela
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:50 Do 06.10.2011 | | Autor: | Jensy |
wie geht man den Grundsätzlich vor wenn man so eine Gleichung beweisen soll?
Reicht das erkennen der maximumsnorm für den beweis?
Danke schonmal im voraus.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:07 Do 06.10.2011 | | Autor: | fred97 |
Im Gegensatz zu meinen Vorrednern bin ich der Meinung, dass es sich bei ||*|| um die euklidische Norm auf dem [mm] \IR^n [/mm] handelt.
Ohne Beschränkung der Allgemeinheit kann v [mm] \ne [/mm] 0 angenommen werden.
Sei $M:= [mm] \{x*v: ||x|| \le 1 \}$ [/mm] und s:=sup M
Beh.: s= ||v||
Beweis:
1. Ist a [mm] \in [/mm] M, so gibt es ein x mit ||x|| [mm] \le [/mm] 1 und a=x*v. Dann folgt mit der Cauchy-Schwarzschen Ungl.:
$ a [mm] \le [/mm] |x*v| [mm] \le [/mm] ||x||*||v|| [mm] \le [/mm] ||v||$,
also: a [mm] \le [/mm] ||v|| für alle a [mm] \in [/mm] M. Damit ist auch s [mm] \le [/mm] ||v||.
2.
Setze [mm] x_0:=\bruch{v}{||v||}. [/mm] Dann ist [mm] ||x_0||=1 [/mm] , also ist [mm] x_0*v \in [/mm] M. Wegen [mm] x_0*v=||v|| [/mm] ist also ||v|| [mm] \in [/mm] M und damit ist ||v|| [mm] \le [/mm] s.
FRED
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:37 Do 06.10.2011 | | Autor: | fred97 |
Für Interessierte:
Sei (X, ||*||) ein normierter Raum über [mm] \IK [/mm] (wobei [mm] \IK=\IR [/mm] oder [mm] \IK= \IC) [/mm] und X' sei der topologische Dual von X, d.h. X' besteht aus allen linearen und stetigen Funktionen
$f:X [mm] \to \IK$.
[/mm]
Mit dem Fortsetzungssatz von Hahn-Banach kann man nun zeigen:
$||x|| = sup [mm] \{f(x): f \in X', ||f||=1\}$ [/mm] (x [mm] \in [/mm] X)
Ist nun speziell X = [mm] \IR^n [/mm] mit der euklidischen Norm, so gilt:
f [mm] \in [/mm] X' [mm] \gdw [/mm] es ex. [mm] (a_1, [/mm] ..., [mm] a_n) \in \IR^n [/mm] mit [mm] f(x_1,...,x_n)=\summe_{i=1}^{n}a_ix_i [/mm]
FRED
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