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| Aufgabe | (a) Seien [mm] $\alpha ,\beta ,\gamma ,\delta \in \mathbb{C}$. [/mm] Sei [mm] $\phi [/mm] : [mm] \mathbb{C}^2 \times \mathbb{C}^2 \to \mathbb{C} [/mm] $ definiert durch [mm] $$\phi [/mm] (x,y) := [mm] \vektor{\overline{y_1}&\overline{y_2} } \pmat{\alpha & \beta \\ \gamma & \delta} \vektor{x_1\\x_2}$$ [/mm] für [mm] $x=\vektor{x_1&x_2}, y=\vektor{y_1&y_2}\in\mathbb{C}^2$. [/mm] Zeigen Sie, dass [mm] $(x|y)=\overline{(y|x)}$ [/mm] und [mm] $(c_1x_1+c_2x_2|y)=c_1(x_1|y)+c_2(x_2|y)$ [/mm] genau dann gilt, wenn [mm] $\alpha,\delta\in\mathbb{R}$ [/mm] und [mm] $\gamma=\overline{\beta}$
[/mm]
(b) Zeigen Sie, dass [mm] $(x|x)\ge [/mm] 0$ und [mm] $(x|x)=0\gdw [/mm] x=0$, [mm] $\alpha>0$ [/mm] und $ [mm] \delta>0$ [/mm] impliziert.
(c) Zeigen Sie, dass eine Matrix [mm] $$\pmat{\alpha & \beta \\ \overline{\beta} & \delta}$$ [/mm] entweder zwei verschiedene Eigenwerte hat, oder von der Form [mm] $\lambda [/mm] I$ mit [mm] $\lambda\in\mathbb{C}$ [/mm] und Einheitsmatrix $I$ ist.
(d) Zeigen Sie, dass [mm] $\phi$ [/mm] genau dann ein inneres Produkt ist, wenn [mm] $\alpha,\delta\in\mathbb{R},\alpha,\delta>0,\gamma=\overline{\beta}$ [/mm] und [mm] $\alpha\delta -\beta\overline{\beta}>0$ [/mm] ist.
Hinweis: Betrachten Sie die Eigenwerte von [mm] $$\pmat{\alpha & \beta \\ \gamma & \delta}$$ [/mm] Zeigen Sie zunächst, dass die eigenwerte reel sind, wenn [mm] $\phi$ [/mm] ein inneres Produkt auf [mm] $\mathbb{C}^2$ [/mm] ist.
Sind die Eigenwerte positiv oder negativ? |
Guten Tag,
ich arbeite gerade an dieser Aufgabe.
Den Aufgabenteil (a) habe ich soweit gelöst.
Jetzt hänge ich an der (b).
Ich denke mal, dass ich hier mit den von (a) gezeigten Bedingungen arbeiten muss, oder?
Sonst könnte man [mm] $\alpha$ [/mm] und [mm] $\delta$ [/mm] ja nicht in Größenrelation setzten, wenn man nicht davon ausgehen würde, dass sie reell und nicht komplex sind.
Bis jetzt habe ich nur:
[mm] $\phi (x,x)=\alpha ||x_1||^2+\delta ||x_2||^2+\beta \overline{x_1} x_2 +\gamma x_1 \overline{x_2} \ge [/mm] 0$
Es gilt, wenn [mm] $\alpha,\delta\ge [/mm] 0$: [mm] $\alpha ||x_1||^2+\delta ||x_2||^2\ge [/mm] 0$
Aber was kann ich über [mm] $\beta \overline{x_1} x_2 +\gamma x_1 \overline{x_2}$ [/mm] sagen?
Vielen Dank
Liebe Grüße
DudiPupan
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:54 Sa 07.07.2012 | | Autor: | SEcki |
> Ich denke mal, dass ich hier mit den von (a) gezeigten
> Bedingungen arbeiten muss, oder?
Eigentlich nicht.
> Sonst könnte man [mm]\alpha[/mm] und [mm]\delta[/mm] ja nicht in
> Größenrelation setzten, wenn man nicht davon ausgehen
> würde, dass sie reell und nicht komplex sind.
Wie man es nimmt - man kann es auch so lesen: [m]\phi(x,x)[/m] ist rell und größer 0. Dann musst die Tatsachen folgern.
Als Tip: setze spezielle Vektoren ein!
SEcki
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Vielen Dank für die Antwort!
> > Ich denke mal, dass ich hier mit den von (a) gezeigten
> > Bedingungen arbeiten muss, oder?
>
> Eigentlich nicht.
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> > Sonst könnte man [mm]\alpha[/mm] und [mm]\delta[/mm] ja nicht in
> > Größenrelation setzten, wenn man nicht davon ausgehen
> > würde, dass sie reell und nicht komplex sind.
>
> Wie man es nimmt - man kann es auch so lesen: [m]\phi(x,x)[/m] ist
> rell und größer 0. Dann musst die Tatsachen folgern.
Okay
>
> Als Tip: setze spezielle Vektoren ein!
Wie meinst du spezielle Vektoren?
In der Form [mm] $x=\vektor{(a+bi)&(c+di)}$?
[/mm]
Vielen Dank
DudiPupan
>
> SEcki
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 17:47 Sa 07.07.2012 | | Autor: | SEcki |
> Wie meinst du spezielle Vektoren?
> In der Form [mm]x=\vektor{(a+bi)&(c+di)}[/mm]?
Es gibt ein x mit [m]\phi(x,x)=\alpha[/m]! Such das mal.
SEcki
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> > Wie meinst du spezielle Vektoren?
> > In der Form [mm]x=\vektor{(a+bi)&(c+di)}[/mm]?
>
> Es gibt ein x mit [m]\phi(x,x)=\alpha[/m]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
! Such das mal.
Okay, also ich habe folgende gefunden:
$x:=\vektor{1 & 0} \mbox{ und } x:=\vektor{(\sqrt{\frac{1}{2}}+\sqrt{\frac{1}{2}}i) & 0}} \mbox{ mit } \phi (x,x)=\alpha$
und
$x:=\vektor{0 & 1} \mbox{ und } x:=\vektor{0 & (\sqrt{\frac{1}{2}}+\sqrt{\frac{1}{2}}i)} }\mbox{ mit } \phi (x,x)=\delta$
Aber kann ich hieraus einfach so $\alpha >0,\delta >0$ folgern?
Vielen Dank
DudiPupan
>
> SEcki
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:20 Mo 09.07.2012 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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Hallo,
ich habe mich jetzt schon mal an die Aufgabe c) gesetzt.
Ich komme nach berechnung des char. Polynoms:
[mm] $\chi_A=(\alpha-\lambda)(\delta-\lambda)-\overline{\beta}\beta$
[/mm]
[mm] $=\lambda^2-(\alpha+\delta)\lambda-(\overline{\beta}\beta-\alpha\delta)$
[/mm]
[mm] $\Rightarrow \lambda_{1,2}=\frac{\alpha+\delta\pm \sqrt{(\alpha+\delta)^2+4(\overline{\beta}\beta+\alpha\delta)}}{2}$
[/mm]
Besitzt immer 2 Nullstellen, außer wenn gilt:
[mm] $(\alpha+\delta)^2+4(\overline{\beta}\beta+\alpha\delta)=0$
[/mm]
[mm] $=\frac{1}{4}(\alpha-\delta)^2+|\beta|^2=0$
[/mm]
Jetzt hier meine Frage:
Darf ich hier aus Aufgabenteil (a) annehmen, dass [mm] $\alpha,\delta\in\mathbb{R}$ [/mm] oder nicht?
Weil dann wäre [mm] $(\alpha-\delta)^2>0$ [/mm] und somit müsste gelten: [mm] $\beta=0,\alpha=\delta$ [/mm] und daraus würde dann die Matrix [mm] $\lambda [/mm] * I$ resultieren.
Oder darf ich das hier wieder nicht annehmen?
Vielen Dank
DudiPupan
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 10:11 So 08.07.2012 | | Autor: | fred97 |
> Hallo,
>
> ich habe mich jetzt schon mal an die Aufgabe c) gesetzt.
> Ich komme nach berechnung des char. Polynoms:
>
> [mm]\chi_A=(\alpha-\lambda)(\delta-\lambda)-\overline{\beta}\beta[/mm]
>
> [mm]=\lambda^2-(\alpha+\delta)\lambda-(\overline{\beta}\beta-\alpha\delta)[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow \lambda_{1,2}=\frac{\alpha+\delta\pm \sqrt{(\alpha+\delta)^2+4(\overline{\beta}\beta+\alpha\delta)}}{2}[/mm]
>
> Besitzt immer 2 Nullstellen, außer wenn gilt:
> [mm](\alpha+\delta)^2+4(\overline{\beta}\beta+\alpha\delta)=0[/mm]
> [mm]=\frac{1}{4}(\alpha-\delta)^2+|\beta|^2=0[/mm]
>
> Jetzt hier meine Frage:
> Darf ich hier aus Aufgabenteil (a) annehmen, dass
> [mm]\alpha,\delta\in\mathbb{R}[/mm]
Na klar.
> oder nicht?
> Weil dann wäre [mm](\alpha-\delta)^2>0[/mm]
Besser [mm](\alpha-\delta)^2 \ge 0[/mm]
FRED
> und somit müsste
> gelten: [mm]\beta=0,\alpha=\delta[/mm] und daraus würde dann die
> Matrix [mm]\lambda * I[/mm] resultieren.
>
> Oder darf ich das hier wieder nicht annehmen?
>
> Vielen Dank
> DudiPupan
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Aber mir ist aufgefallen, dass in der Aufgabenstellung steht:
[mm] $\lambda\in\mathbb{C}$
[/mm]
wären [mm] $\alpha,\delta\in\mathbb{R}$ [/mm] würde ja schon genügen [mm] $\lambda\in\mathbb{R}$, [/mm] oder?
Ich habe mir mal überlegt:
Wenn [mm] $(\alpha-\delta)^2+|\beta|^2=0$ [/mm] sein soll, dann muss [mm] $(\alpha-\delta)^2\in\mathbb{R}$ [/mm] gelten.
Das gilt, wenn gilt:
[mm] $Re(\alpha)=Re(\delta)$
[/mm]
oder
[mm] $Im(\alpha)=Im(\delta)$
[/mm]
Aber eben nicht nur für [mm] $Im(\alpha)=Im(\delta)=0$
[/mm]
Desweiteren:
Wenn [mm] $\beta\neq [/mm] 0$ gilt, dann muss gelten:
[mm] $(\alpha-\delta)^2<0$
[/mm]
Angenommen es wäre [mm] $Im(\alpha )=Im(\delta [/mm] )$ wäre das ja logisch, dass das nie erfüllt wird und somit gilt: [mm] $\beta=0$
[/mm]
Jedoch für [mm] $Re(\alpha )=Re(\delta [/mm] )$ ist das ein wenig schwierig.
Da hier ja eben auch gelten kann [mm] $(\alpha-\delta)^2<0$
[/mm]
und somit müsste ja [mm] $(\alpha-\delta)^2=|\beta|^2$ [/mm] sein.
Aber dann komme ich doch nicht auf meine gewünschte Form [mm] $\lambda [/mm] *I$, oder?
kann mir hier bitte jemand weiterhelfen?
Vielen Dank
Lg
DudiPupan
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 01:20 Mo 09.07.2012 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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