Skalarprodukt < Längen+Abst.+Winkel < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:46 Do 03.10.2013 | | Autor: | bennoman |
| Aufgabe | Untersuchen sie, ob die Diagonalen des Vierecks ABCD mit A(3/1/2), B(3/0/-3), C(7/3/-4) und D(6/3/0) zueinander orthogonal sind.
Falls ja, welche Aussage kann man dann über da Viereck machen? |
Hallo,
ich gehe davon aus, dass die Orthogonale AC und BD sind.
Ich habe dann die Vektoren dafür ausgerechnet:
AC=(4/2/-6)
BD=(-1/0/4).
Das Skalarprodukt von diesen beiden Vektoren ist -28. Sie sind also nicht orthogonal zueinader. Ich glaube, dass das aber nicht richtig, weil die Zusatzfrage ja auf eine Orthogonaltität der Gerade schließen lässt.
Ich könnte mir vorstellen, dass der Fehler schon bei der Bestimmung der Diagonalen liegt.
Gruß Benno
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> Untersuchen sie, ob die Diagonalen des Vierecks ABCD mit
> A(3/1/2), B(3/0/-3), C(7/3/-4) und D(6/3/0) zueinander
> orthogonal sind.
> Falls ja, welche Aussage kann man dann über das Viereck
> machen?
> Hallo,
> ich gehe davon aus, dass die Orthogonale AC und BD sind.
So ist es bestimmt auch gemeint.
> Ich habe dann die Vektoren dafür ausgerechnet:
> AC=(4/2/-6)
> BD=(-1/0/4). ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
Da hast du aber offenbar anstatt BD den Vektor CD
berechnet !
> Das Skalarprodukt von diesen beiden Vektoren ist -28. Sie
> sind also nicht orthogonal zueinader. Ich glaube, dass das
> aber nicht richtig, weil die Zusatzfrage ja auf eine
> Orthogonaltität der Gerade schließen lässt.
> Ich könnte mir vorstellen, dass der Fehler schon bei der
> Bestimmung der Diagonalen liegt.
> Gruß Benno
LG , Al-Chw.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:12 Do 03.10.2013 | | Autor: | bennoman |
Richtig, danke.
Welche Aussage kann man denn jetzt über das Viereck machen?
Ich habe aber nochmal eine grundsätzliche Frage:
Woher weiß ich eigentlich, welche die beiden Diagonalen sind. Warum geht nicht eine Diagonal von A nach B.
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> Richtig, danke.
> Welche Aussage kann man denn jetzt über das Viereck
> machen?
Falls wirklich nur bekannt ist, dass die Diagonalen
zueinander senkrecht stehen, lässt man am besten mal
einfach diese Formulierung so stehen. Es wären dann
allenfalls (falls man noch mehr weiß), gewisse "Sonder-
Formen" von Vierecken denkbar (Drachenviereck,
Rhombus, Quadrat). Im Allgemeinen kann man aus
der Tatsache, dass die Diagonalen orthogonal zueinander
stehen, noch nicht einmal schließen, dass das Viereck
beispielsweise konvex ist - ja nicht einmal, ob es sich
überhaupt um ein ebenes Viereck handelt !
> Ich habe aber nochmal eine grundsätzliche Frage:
> Woher weiß ich eigentlich, welche die beiden Diagonalen
> sind. Warum geht nicht eine Diagonal von A nach B.
Wenn man von einem Viereck ABCD spricht, ist damit
das Viereck mit den Ecken A,B,C,D gemeint, welche in
dieser Reihenfolge miteinander verbunden sind:
A-B-C-D-A . Die 4 dazu gezeichneten Verbindungsstrecken
sind die "Seiten" des Vierecks. Diagonalen sind die
weiteren Verbindungsstrecken von je 2 Ecken, welche
nicht "benachbart" (also durch eine Seite direkt
verbunden) sind.
LG , Al-Chw.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:48 Do 03.10.2013 | | Autor: | bennoman |
2 Fragen habe ich noch, dann ist mein Pulver verschossen :D
1.)Punkte A(10/8/0), B(6/11/1) und C (2/8/c) sind gegeben. c soll so gewählt werden, dass ein rechtwinkliges Dreieck entsteht. Ich habe das jetzt mit Pythagoras gelöst und komme auf -32 für c. Wie könnte man das mit dem Skalarprodukt lösen? Das Problem ist ja, man weiß nicht welche zwei Seiten orthogonal zueinander seien sollen.
2.)Gegeben sind die Vektoren u(1/1/-1) und v(0/1/1). Man soll einen Vektor finden, der zu beiden orthogonal steht. Bei mir lautet der Vektor a(x/y/z).
z=r. Es ergibt sich folgendes: v: 0=y+r und u: 0= x+y-r
Ich löse jetzt die Gleichung auf und erhalte folgendes:
x= 2*r; y=-r; z=r.
Lautet der Vektor jetzt a=r*(2/-1/1)?
Wäre nett, wenn du mir noch einmal helfen könntest.
Gruß
Benno
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:53 Do 03.10.2013 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
> 2 Fragen habe ich noch, dann ist mein Pulver verschossen
> :D
> 1.)Punkte A(10/8/0), B(6/11/1) und C (2/8/c) sind gegeben.
> c soll so gewählt werden, dass ein rechtwinkliges Dreieck
> entsteht. Ich habe das jetzt mit Pythagoras gelöst und
> komme auf -32 für c. Wie könnte man das mit dem
> Skalarprodukt lösen? Das Problem ist ja, man weiß nicht
> welche zwei Seiten orthogonal zueinander seien sollen.
Die Vektoren sind ja:
[mm] \overrightarrow{AB}=\vektor{-4\\3\\1}
[/mm]
[mm] \overrightarrow{BC}=\vektor{-4\\-3\\c-1}
[/mm]
[mm] \overrightarrow{CA}=\vektor{8\\0\\-c}
[/mm]
Berechne nun die drei Skalarprodukte
[mm] \overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{BC}
[/mm]
[mm] \overrightarrow{BC}\cdot\overrightarrow{CA}
[/mm]
und
[mm] \overrightarrow{CA}\cdot\overrightarrow{AB}
[/mm]
Setze diese dann jeweils gleich Null, und löse die drei Gleichungen je nach c.
> 2.)Gegeben sind die Vektoren u(1/1/-1) und v(0/1/1). Man
> soll einen Vektor finden, der zu beiden orthogonal steht.
> Bei mir lautet der Vektor a(x/y/z).
> z=r. Es ergibt sich folgendes: v: 0=y+r und u: 0= x+y-r
> Ich löse jetzt die Gleichung auf und erhalte folgendes:
> x= 2*r; y=-r; z=r.
> Lautet der Vektor jetzt a=r*(2/-1/1)?
> Wäre nett, wenn du mir noch einmal helfen könntest.
Das stimmt so.
> Gruß
> Benno
Marius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:58 Do 03.10.2013 | | Autor: | bennoman |
Danke.
Eine letzte Frage muss ich doch noch los werden:
Gegeben ist ein Vektor v(2/-1/2). Dazu soll man zwei Vektoren angeben, dass die drei VEktoren paarweise orthogonal zueinader sind.
was beudeutet das "paarweise orthogonal zueinader"?
Gruß
Benno
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> Danke.
> Eine letzte Frage muss ich doch noch los werden:
> Gegeben ist ein Vektor v(2/-1/2). Dazu soll man zwei
> Vektoren angeben, dass die drei VEktoren paarweise
> orthogonal zueinader sind.
> was beudeutet das "paarweise orthogonal zueinader"?
Nun, das bedeutet genau das, was die Worte sagen.
Die zwei neuen Vektoren seien z.B. mit a und b
bezeichnet. Dann soll jedes mögliche Paar, also
(a,v) , (b,v) und (a,b)
aus zueinander orthogonalen Vektoren bestehen.
LG , Al-Chw.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:17 Do 03.10.2013 | | Autor: | bennoman |
Das kann doch gar nicht gehen. Es würde sich ja ein Dreieck bilden und da kann man keine drei 90° Winkel haben.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:19 Do 03.10.2013 | | Autor: | M.Rex |
> Das kann doch gar nicht gehen. Es würde sich ja ein
> Dreieck bilden und da kann man keine drei 90° Winkel
> haben.
Es gibt dann halt mehrere mögliche Punkte für C.
Marius
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> Das kann doch gar nicht gehen. Es würde sich ja ein
> Dreieck bilden ![[haee]](/images/smileys/haee.gif "[haee]")
> und da kann man keine drei 90° Winkel haben.
Niemand sagt, dass die drei Vektoren die Seiten-
vektoren eines Dreiecks sein sollen.
Der gegebene Vektor hat 3 Komponenten. Du
solltest dir das Ganze also im 3D-Raum vorstellen.
Die 3 Vektoren sehen so aus wie die 3 Kanten-
vektoren, welche von einer Ecke eines Quaders
zu benachbarten Eckpunkten zeigen.
Um zum Vektor v zwei passende Vektoren a und b
zu finden, kannst du schrittweise vorgehen:
1.) Suche einen Vektor a, der zu v senkrecht steht.
Das kannst du dir recht einfach machen, indem
du eine Komponente von a gleich 0 setzt und
für die anderen beiden möglichst einfache
Zahlenwerte wählst, sodass a*v=0 wird.
2.) Von den Komponenten von b kannst du eine
im Prinzip frei wählen - ich schlage dafür z.B.
eine 1 vor. Für die übrigen beiden noch gesuchten
Komponenten ergibt sich dann ein Gleichungssystem.
LG , Al-Chw.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 17:47 Do 03.10.2013 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
> Untersuchen sie, ob die Diagonalen des Vierecks ABCD mit
> A(3/1/2), B(3/0/-3), C(7/3/-4) und D(6/3/0) zueinander
> orthogonal sind.
> Falls ja, welche Aussage kann man dann über da Viereck
> machen?
> Hallo,
> ich gehe davon aus, dass die Orthogonale AC und BD sind.
> Ich habe dann die Vektoren dafür ausgerechnet:
> AC=(4/2/-6)
> BD=(-1/0/4).
> Das Skalarprodukt von diesen beiden Vektoren ist -28. Sie
> sind also nicht orthogonal zueinader. Ich glaube, dass das
> aber nicht richtig, weil die Zusatzfrage ja auf eine
> Orthogonaltität der Gerade schließen lässt.
Das hatte Al-Chwarizmi ja schon beantwortet.
> Ich könnte mir vorstellen, dass der Fehler schon bei der
> Bestimmung der Diagonalen liegt.
> Gruß Benno
Das "ranghöchste Viereck", bei dem zwei Diagonalen senkrecht aufeinanderstehen, ist der Deltoisd/das Drachenviereck, dazu schau dir mal die sogenannte Hierarchie der Vierecke an.
Dazu schau mal unter:
![[]](/images/popup.gif) H. d. V. bei den Mathematischen Basteleien
und bei imst.ac.at.
Zur Vektorrechnung schau dir mal das Kapitel bei poenitz-net an.
Marius
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> Das "ranghöchste Viereck", bei dem zwei Diagonalen
> senkrecht aufeinanderstehen, ist der Deltoïd/das
> Drachenviereck, dazu schau dir mal die sogenannte
> Hierarchie der Vierecke an.
> Dazu schau mal unter:
> H. d. V. bei den Mathematischen Basteleien
> und bei imst.ac.at.
Hallo Marius und Benno,
in dieser sogenannten "Hierarchie" kommt der (allgemeinste)
Fall eines Vierecks mit orthogonalen Diagonalen gar nicht
vor !
Es gibt auch Vierecke mit dieser Eigenschaft, welche weder
Rhomben noch Deltoide sind.
Nebenbei: man kann z.B. auch Trapeze zeichnen, deren
Diagonalen orthogonal sind.
Auch nicht-konvexe Vierecke fehlen in der Aufstellung.
Außerdem handelt es sich bei dem Viereck der hier
vorliegenden Aufgabe nicht einmal um ein ebenes Viereck
(falls ich mich nicht verrechnet habe). Die 4 Eckpunkte
A,B,C,D liegen gar nicht in einer gemeinsamen Ebene.
LG , Al-Chw.
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