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| Aufgabe | Hallo,
ich hab ein paar allgemeine Fragen zum Skalarprodukt.
Es bezieht sich nicht auf eine konkrete Aufgabe. |
ich stelle mir gerade die Frage, ob man den Nachweis, dass eine gegebene Vorschrift eine Bilinearform ist, nicht verkürzen kann?
Konkret:
Ich hab z.B. folgende Abbildung gegeben
b: [mm] \IR^{4}\times \IR^{4} \to \IR [/mm]
b(x,y) = [mm] x_1y_1-x_1y_2-x_2y_1+2x_4y_3+x_4y_4
[/mm]
Meine Aufgabe ist es nun zu prüfen, dass es sich hierbei um ein Skalarprodukt handelt, d.h. eine positiv definite, symmetrische Bilinearform ist.
Meine Frage dazu:
Wenn ich gezeigt habe, dass die Abbildung symmetrisch ist, genügt es dann nicht nur noch 2 von den 4 Eigenschaften einer Bilinearform zu zeigen?
Die anderen klären sich dann ja wegen der Symmetrie von selbst, oder?
Meine 2. Frage ist:
Mein Tutor meinte, dass es ausreicht die zugehörge Matrix zu diesem Skalarprodukt zu nennen.
Wenn eins exisitiert, ist es automatisch schon eine Bilinearform. Er hat dabei auf irgendein Satz im Skript hingewiesen. (hab leider vergessen welches und konnte das dann nicht mehr prüfen)
Meine Frage an euch: ist das korrekt?
Reicht es wirklich da einfach die Matrix hinzuschreiben und dann nur noch zu zeigen, dass sie symmetrisch und positiv definit ist?
Ich hoffe, ihr konntet meine Fragen verstehen.
Bin für jede Hilfe dankbar!
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> Hallo,
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> ich hab ein paar allgemeine Fragen zum Skalarprodukt.
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> Es bezieht sich nicht auf eine konkrete Aufgabe.
> ich stelle mir gerade die Frage, ob man den Nachweis, dass
> eine gegebene Vorschrift eine Bilinearform ist, nicht
> verkürzen kann?
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> Konkret:
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> Ich hab z.B. folgende Abbildung gegeben
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> b: [mm]\IR^{4}\times \IR^{4} \to \IR[/mm]
>
> b(x,y) = [mm]x_1y_1-x_1y_2-x_2y_1+2x_4y_3+x_4y_4[/mm]
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> Meine Aufgabe ist es nun zu prüfen, dass es sich hierbei
> um ein Skalarprodukt handelt, d.h. eine positiv definite,
> symmetrische Bilinearform ist.
>
> Meine Frage dazu:
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> Wenn ich gezeigt habe, dass die Abbildung symmetrisch ist,
> genügt es dann nicht nur noch 2 von den 4 Eigenschaften
> einer Bilinearform zu zeigen?
> Die anderen klären sich dann ja wegen der Symmetrie von
> selbst, oder?
Hallo,
wie sollen wir diese Frage denn beantworten, wenn wir nicht genau wissen, welches für Dich die 4 Eigenschaften sind.
Die solltest Du schon aufschreiben, damit klar ist, worüber geredet werden soll.
Und dann kannst Du auch glaeich dazuschreiben, warum Du meinst, daß man sie nicht mehr zeigen muß.
Wenn dazu anschließend jemand etwas sagt, ist das verläßlicher, als Geplapper in den blauen Dunst hinein.
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> Meine 2. Frage ist:
> Mein Tutor meinte, dass es ausreicht die zugehörge Matrix
> zu diesem Skalarprodukt zu nennen.
> Wenn eine
mit den richtigen Eigenschaften
> exisitiert, ist es automatisch schon eine
> Bilinearform. Er hat dabei auf irgendein Satz im Skript
> hingewiesen. (hab leider vergessen welches und konnte das
> dann nicht mehr prüfen)
> Meine Frage an euch: ist das korrekt?
> Reicht es wirklich da einfach die Matrix hinzuschreiben
> und dann nur noch zu zeigen, dass sie symmetrisch und
> positiv definit ist?
Ja.
Wenn die darstellende Matrix der Bilinearform symmetrisch und positiv definit ist, weißt Du, daß Du eine Bilinearform vorliegen hast.
(Das kann natürlich nur bei endlichdimensionalen Vektorräumen klappen.)
Gruß v. Angela
>
> Ich hoffe, ihr konntet meine Fragen verstehen.
> Bin für jede Hilfe dankbar!
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Okay, entschuldige.
Mit den 4 Eigenschaften meinte ich die 4 Eigenschaften einer Bilinearform,also:
1.) b(x+u,y) = b(x,y) + b(u,y)
2.) b(x,y+u) = b(x,y) + b(x,u)
3.) b(ax,y) = a b(x,y) mit a [mm] \in [/mm] K , wobei K Körper
4.) b(x,ay) = a b(x,y)
Meine Frage war:
Wenn ich schon gezeigt habe, dass b symmetrisch ist, genügt es dann nicht 1.) und 3.) zu zeigen ?
2.) und 4.) müssten dann doch wegen der Symmetrie aus 1.) und 3.) hervorgehen oder nicht?
Also stimmt es, dass die Existent einer Darstellungsmatrix zu einer Bilinearform schon beweist, dass es eine Bilinearform ist.
Aber warum ist das so? Kann dazu in meinem Skript nichts finden.
Danke soweit.
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> Okay, entschuldige.
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> Mit den 4 Eigenschaften meinte ich die 4 Eigenschaften
> einer Bilinearform,also:
>
> 1.) b(x+u,y) = b(x,y) + b(u,y)
> 2.) b(x,y+u) = b(x,y) + b(x,u)
> 3.) b(ax,y) = a b(x,y) mit a [mm]\in[/mm] K , wobei K Körper
> 4.) b(x,ay) = a b(x,y)
>
> Meine Frage war:
>
> Wenn ich schon gezeigt habe, dass b symmetrisch ist,
> genügt es dann nicht 1.) und 3.) zu zeigen ?
> 2.) und 4.) müssten dann doch wegen der Symmetrie aus 1.)
> und 3.) hervorgehen oder nicht?
Hallo,
kannst Du es beweisen? Mach' doch mal!
(Um die Frage zu beantworten: ja.)
>
> Also stimmt es, dass die Existent einer Darstellungsmatrix
> zu einer Bilinearform schon beweist, dass es eine
> Bilinearform ist.
???
Eine Darstellungsmatrix gibt es zu jeder Bilinearform.
Wenn die Darstellungsmatrix symmetrisch und positiv definit ist, hat man ein Skalarprodukt.
> Aber warum ist das so?
Weil man es beweisen kannst.
Man kann zeigen:
A symmetrisch und pos. definit ==> [mm] b_A: V\times [/mm] V [mm] \to [/mm] V mit [mm] b_A(x,y):=x^{t}Ay [/mm] ist ein Skalarprodukt.
und
[mm] b_A: V\times [/mm] V [mm] \to [/mm] V Skalarprodukt ==> es gibt eine symmetrische positiv definite Matrix A mit [mm] b_A(x,y)=x^{t}Ay
[/mm]
> Kann dazu in meinem Skript nichts
> finden.
Es steht - möglicherweise etwas anders formuliert - bestimmt drin, und Du erkennst es bloß nicht.
Gruß v. Angela
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