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| Aufgabe | Das Skalarprodukt zweier Vektoren [m]\vec x = \begin{pmatrix} x_1 \\ ... \\ x_n \end{pmatrix}[/m] und [m]\vec y = \begin{pmatrix} y_1 \\ ... \\ y_n \end{pmatrix}[/m] ist bekanntlich definiert als [m]\vec x \vec y := \summe_{i=1}^{n} x_i y_i[/m].
In MATLAB wird dies berechnet durch den Funktionsaufruf [m]dot(x,y)[/m].
Geben Sie Definitionsbereich [m]D[/m] und Wertebereich [m]W[/m] der Funktion [m]dot[/m] an. |
Hallo zusammen,
mein Vorschlag:
[m]D := \IR^n[/m] und [m]W := \IR[/m]
Zur Funktion: Es gehen zwei Vektoren rein, es kommt dabei eine Zahl raus.
Ist die Schreibweise korrekt oder muss noch was ergänzt werden?
Wie sähe die Mengenschreibweise aus?
Freue mich auf Eure Vorschläge.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:25 Mo 28.04.2014 | | Autor: | fred97 |
> Das Skalarprodukt zweier Vektoren [m]\vec x = \begin{pmatrix} x_1 \\ ... \\ x_n \end{pmatrix}[/m]
> und [m]\vec y = \begin{pmatrix} y_1 \\ ... \\ y_n \end{pmatrix}[/m]
> ist bekanntlich definiert als [m]\vec x \vec y := \summe_{i=1}^{n} x_i y_i[/m].
>
> In MATLAB wird dies berechnet durch den Funktionsaufruf
> [m]dot(x,y)[/m].
> Geben Sie Definitionsbereich [m]D[/m] und Wertebereich [m]W[/m] der
> Funktion [m]dot[/m] an.
> Hallo zusammen,
>
> mein Vorschlag:
>
> [m]D := \IR^n[/m]
Nein.
> und [m]W := \IR[/m]
Ja
>
> Zur Funktion: Es gehen zwei Vektoren rein, es kommt dabei
> eine Zahl raus.
Eben deswegwn ist [mm] $D=\IR^n \times \IR^n.$
[/mm]
FRED
> Ist die Schreibweise korrekt oder muss noch was ergänzt
> werden?
> Wie sähe die Mengenschreibweise aus?
>
> Freue mich auf Eure Vorschläge.
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Ok verstanden, also gilt für das Skalarprodukt bzw. die Funktion dot:
[m]D := \IR^n \times \IR^n[/m] und [m]W := \IR^n[/m]
Wie sähe denn dazu die genaue Mengenschreibweise aus?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:38 Mo 28.04.2014 | | Autor: | DieAcht |
Hallo gummibaum,
> [m]D := \IR^n \times \IR^n[/m] und [m]W := \IR^n[/m]
Ja. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Wie sähe denn dazu die genaue Mengenschreibweise aus?
Was meinst du mit Mengenschreibweise? Eine Abbildung von
$X$ nach $Y$ ist eine Vorschrift. Wir bezeichnen mal die Ab-
bildung hier als $f$, dann gilt hier:
[mm] f\colon\IR^n\times\IR^n\to\IR^n.
[/mm]
Gruß
DieAcht
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Ok, danke Dir!!!
Also könnte man sagen..., speziell auf MATLAB gesehen und Bezug auf die obige Aufgabe zu nehmen...
[m]dot: \IR^n \times \IR^n \to \IR^n[/m]
Das Kreuzprodukt heißt als Funktion bei MATLAB cross.
Hier wäre dann:
[m]D := \IR^3 \times \IR^3 \, , W := \IR^3[/m] und somit [m]cross: \IR^3 \times \IR^3 \to \IR^3[/m]
Sehe ich das richtig?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 19:15 Mo 28.04.2014 | | Autor: | DieAcht |
> Also könnte man sagen..., speziell auf MATLAB gesehen und
> Bezug auf die obige Aufgabe zu nehmen...
>
> [m]dot: \IR^n \times \IR^n \to \IR^n[/m]
Ja.
> Das Kreuzprodukt heißt als Funktion bei MATLAB cross.
> Hier wäre dann:
>
> [m]D := \IR^3 \times \IR^3 \, , W := \IR^3[/m] und somit [m]cross: \IR^3 \times \IR^3 \to \IR^3[/m]
>
> Sehe ich das richtig?
Ja, wobei das nicht allgemein gehalten ist, denn Matlab
kann mit Sicherheit auch folgendes berechnen:
[mm] \vektor{x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ x_4}\times\vektor{y_1 \\ y_2 \\ y_3 \\ y_4}.
[/mm]
Als Übung kannst du dir mal die Addition bzw. die Multi-
plikation als Abbildungen überlegen. Dazu gib du nun die
Vorschriften an.
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Ich meinte damit Kreuzprodukt zweier Vektoren [m]\vec x, \vec y[/m] [mm] \in \IR^3 [/mm] :)
Dann wäre es doch richtig oder?
Bei der Vektor-Addition und -subtraktion würde ich sagen.
Es geht mind. zwei Vektoren rein, es kommt wieder ein Vektor raus.
[m]D := \IR^n, W:= \IR^n[/m] ???
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Vektoraddition und -subtraktion wieder...
[m]D := \IR^n \times \IR^n[/m] ?
Sorry, ich weiß nicht, worauf es wirklich ankommt!
Ich weiß meistens, was reingeht und wieder rauskommt, aber das formale Aufschreiben bereitet mir Probleme!
Bei der Vektor-Multiplikation würde ich sagen, ein Vektor wird mit einer Zahl (sagen wir [mm] \lambda) [/mm] multipliziert, geometrisch bedeutet dies dann eine Verlängerung oder Verkürzung eines Vektors.
[m]D := \lambda * \IR^n \, | \, \lambda \in \IR[/m] und [m]W := \IR^n[/m]
Schreibweise so okay?
Matrizen haben wir noch nicht behandelt.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 20:22 Mo 28.04.2014 | | Autor: | fred97 |
> Vektoraddition und -subtraktion wieder...
> [m]D := \IR^n \times \IR^n[/m] ?
Ja
>
> Sorry, ich weiß nicht, worauf es wirklich ankommt!
>
> Ich weiß meistens, was reingeht und wieder rauskommt, aber
> das formale Aufschreiben bereitet mir Probleme!
>
> Bei der Vektor-Multiplikation würde ich sagen, ein Vektor
> wird mit einer Zahl (sagen wir [mm]\lambda)[/mm] multipliziert,
> geometrisch bedeutet dies dann eine Verlängerung oder
> Verkürzung eines Vektors.
>
> [m]D := \lambda * \IR^n \, | \, \lambda \in \IR[/m] und [m]W := \IR^n[/m]
> Schreibweise so okay?
Nein, sondern [mm] \IR \times \IR^n
[/mm]
FRED
>
> Matrizen haben wir noch nicht behandelt.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:34 Mo 28.04.2014 | | Autor: | DieAcht |
Fred hat dir eigentlich alles gesagt, aber ich habe durch
deine Frage noch eine Übung gefunden. 
> Bei der Vektor-Multiplikation würde ich sagen, ein Vektor
> wird mit einer Zahl (sagen wir [mm]\lambda)[/mm] multipliziert
Das stimmt zwar im Allgemeinen nicht, aber beschreibe die
Multiplikation zwischen einem Vektor und einer reellen Zahl
als eine Abbildung.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:48 Mo 28.04.2014 | | Autor: | gummibaum |
Okay, zusammenfassend:
Skalarprodukt (dot)
[m]D := \IR^n \times \IR^n[/m] und [m]\ W := \IR^n[/m]
[m]dot: \IR^n \times \IR^n \to \IR^n[/m]
Kreuzprodukt (cross) im [mm] \IR^3
[/mm]
[m]D := \IR^3 \times \IR^3[/m] und [m]\ W := \IR^3[/m]
[m]cross: \IR^3 \times \IR^3 \to \IR^3[/m]
Vektoraddition/-subtraktion
[m]D := \IR^n \times \IR^n[/m] und [m]\ W := \IR^n[/m]
[m]\IR^n \times \IR^n \to \IR^n[/m]
Vektormultiplikation
[m]D := \IR \times \IR^n[/m] und [m]\ W := \IR^n[/m]
[m]\IR \times \IR^n \to \IR^n[/m]
Wie könnte man jetzt die Kreuzprodukte als Mengen schreiben?
siehe: http://de.wikipedia.org/wiki/Kartesisches_Produkt
Hoffe jetzt ist alles korrekt...
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:04 Mo 28.04.2014 | | Autor: | DieAcht |
> Okay, zusammenfassend:
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> Skalarprodukt (dot)
> [m]D := \IR^n \times \IR^n[/m] und [m]\ W := \IR^n[/m]
> [m]dot: \IR^n \times \IR^n \to \IR^n[/m]
Nein. ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
Auf der ersten Antwort von Fred steht es doch schon. Es gilt:
[mm] W:=\IR.
[/mm]
> Kreuzprodukt (cross) im [mm]\IR^3[/mm]
> [m]D := \IR^3 \times \IR^3[/m] und [m]\ W := \IR^3[/m]
> [m]cross: \IR^3 \times \IR^3 \to \IR^3[/m]
Ja.
> Vektoraddition/-subtraktion
> [m]D := \IR^n \times \IR^n[/m] und [m]\ W := \IR^n[/m]
> [m]\IR^n \times \IR^n \to \IR^n[/m]
Ja, wobei die Subtraktion eigentlich eine Addition ist und
wir aus diesem Grund die Subtraktion nur als Konvention
definieren. Es gilt:
[mm] $a+(-b)=:a-b\$ [/mm] für alle [mm] a,b\in\IR.
[/mm]
Das kannst du dir dann auch für Vektoren überlegen.
> Vektormultiplikation
> [m]D := \IR \times \IR^n[/m] und [m]\ W := \IR^n[/m]
> [m]\IR \times \IR^n \to \IR^n[/m]
Ja, wobei du mit Vektormultiplikation meinst, dass du eine
reelle Zahl mit einem Vektor multiplizierst.
> Wie könnte man jetzt die Kreuzprodukte als Mengen
> schreiben?
> siehe: http://de.wikipedia.org/wiki/Kartesisches_Produkt
Ich sehe dein Problem nicht wirklich. Beispiel:
Die Abbildung
[mm] f:\IR^3\to\IR^2
[/mm]
kannst du äquivalent umschreiben als
[mm] f:\{(x,y,z)\mid x,y,z\in\IR\}\to\{(x,y)\mid x,y\in\IR\}.
[/mm]
Du kannst von mir aus auch die anderen Abbildungen umschrei-
ben, aber das wird auf Dauer langweilig.
> Hoffe jetzt ist alles korrekt...
Ja. ![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]")
Ich hatte dir übrigens noch weitere Aufgaben gestellt. 
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:10 Mo 28.04.2014 | | Autor: | gummibaum |
Das wollte ich wissen, vielen Dank! ;)
Eine Frage noch zum Skalarprodukt. Es werden 2 Vektoren hinein gegeben und raus kommt eine Zahl, wieso ist dann der Wertebereich wieder [mm] \IR^n [/mm] ?
Und: wie würde man die Mengen für [mm] \IR^n [/mm] aufschreiben?
Matrizen hatten wir noch nicht behandelt... Addition und Multiplikation hatte ich doch unten hingeschrieben...?
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:15 Mo 28.04.2014 | | Autor: | DieAcht |
> Das wollte ich wissen, vielen Dank! ;)
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> Eine Frage noch zum Skalarprodukt. Es werden 2 Vektoren
> hinein gegeben und raus kommt eine Zahl, wieso ist dann der
> Wertebereich wieder [mm]\IR^n[/mm] ?
Sorry, da kommt [mm] \IR [/mm] raus. Den Fehler habe ich überlesen.
> Und: wie würde man die Mengen für [mm]\IR^n[/mm] aufschreiben?
[mm] \IR^n=\{(x_1,\ldots,x_n)\mid x_1,\ldots,x_n\in\IR\}.
[/mm]
> Matrizen hatten wir noch nicht behandelt... Addition und
> Multiplikation hatte ich doch unten hingeschrieben...?
Ich meine die Addition und Multiplikation in [mm] \IR [/mm] und nicht [mm] \IR^n.
[/mm]
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