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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:36 Mi 04.01.2012 | | Autor: | Denny22 |
| Aufgabe | Sei [mm] $A\in\IC^{N,N}$ [/mm] positiv definit, d.h.
[mm] $\exists\,\beta_A>0:\;\mathrm{Re}\left\langle u,Au\right\rangle_{\IC^N}\geqslant 2\beta_A\left|u\right|^2_{\IC^N}\;\forall\,u\in\IC^N$
[/mm]
wobei
[mm] $\left\langle u,w\right\rangle_{\IC^N}:=\overline{u}^T [/mm] w$
Zeige (insofern dies moeglich ist)
[mm] $\mathrm{Re}\left\langle u,w\right\rangle_{\IC^N} \mathrm{Re}\left\langle w,Au\right\rangle_{\IC^N} \geqslant 2\beta_A \left|u\right|^2_{\IC^N} \left|w\right|^2_{\IC^N}$ [/mm] |
Hallo an alle,
ich benoetige fuer den folgenden Ausdruck
[mm] $\mathrm{Re}\left\langle u,w\right\rangle_{\IC^N} \mathrm{Re}\left\langle w,Au\right\rangle_{\IC^N}$
[/mm]
eigentlich nur eine untere Schranke. Es waere jedoch hilfreich, wenn sie etwa wie in der Aufgabenstellung (d.h. mit den Quadrattermen) aussaehe. Leider bin ich etwas ratlos, wie ich hier rangehen soll. Ich habe schon an den Kosinussatz u.s.w. gedacht, aber irgenwie klappt es nicht.
Vielen Dank
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:44 Mi 04.01.2012 | | Autor: | fred97 |
Verwende die Polarisationsgleichung
http://books.google.de/books?id=qX2cI5zRQNoC&pg=PA350&lpg=PA350&dq=Polarisationsgleichung&source=bl&ots=soq8plS3e_&sig=LYWMydRQnfjlskRujmyf5ghx4n0&hl=de&sa=X&ei=AzsET5qBK9WtsgaMpJzwDw&ved=0CDgQ6AEwBA#v=onepage&q=Polarisationsgleichung&f=false
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:51 Mi 04.01.2012 | | Autor: | Denny22 |
Hallo Fred,
vielen dank fuer den Tipp, aber inwiefern hilf mir diese Gleichung weiter? Und wie laesst sich dabei die positive Definitheit von $A$ ausnutzen?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:55 Mi 04.01.2012 | | Autor: | fred97 |
> Hallo Fred,
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> vielen dank fuer den Tipp, aber inwiefern hilf mir diese
> Gleichung weiter? Und wie laesst sich dabei die positive
> Definitheit von [mm]A[/mm] ausnutzen?
Mit diese Gleichung kannst Du die hermitesche Form <Aw,u> durch die quadratische Form <Au,u> ausdrücken
FRED
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 13:15 Mi 04.01.2012 | | Autor: | Denny22 |
> Mit diese Gleichung kannst Du die hermitesche Form <Aw,u>
> durch die quadratische Form <Au,u> ausdrücken
Sorry, aber leider sehe ich das noch nicht: Ich erhalte aus der Polarisationsgleichung
$4 [mm] \mathrm{Re}\left\langle w,Au\right\rangle_{\IC^N} [/mm] = [mm] \left\|w+Au\right\|^2 [/mm] - [mm] \left\|w-Au\right\|^2 [/mm] = [mm] 2\left\langle w,Au\right\rangle_{\IC^N} [/mm] + [mm] 2\left\langle Au,w\right\rangle_{\IC^N}$
[/mm]
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:20 Fr 06.01.2012 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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Hallo,
> Sei [mm]A\in\IC^{N,N}[/mm] positiv definit, d.h.
> [mm]\exists\,\beta_A>0:\;\mathrm{Re}\left\langle u,Au\right\rangle_{\IC^N}\geqslant 2\beta_A\left|u\right|^2_{\IC^N}\;\forall\,u\in\IC^N[/mm]
>
> wobei
> [mm]\left\langle u,w\right\rangle_{\IC^N}:=\overline{u}^T w[/mm]
>
> Zeige (insofern dies moeglich ist)
> [mm]\mathrm{Re}\left\langle u,w\right\rangle_{\IC^N} \mathrm{Re}\left\langle w,Au\right\rangle_{\IC^N} \geqslant 2\beta_A \left|u\right|^2_{\IC^N} \left|w\right|^2_{\IC^N}[/mm]
>
> Hallo an alle,
>
> ich benoetige fuer den folgenden Ausdruck
> [mm]\mathrm{Re}\left\langle u,w\right\rangle_{\IC^N} \mathrm{Re}\left\langle w,Au\right\rangle_{\IC^N}[/mm]
>
> eigentlich nur eine untere Schranke. Es waere jedoch
> hilfreich, wenn sie etwa wie in der Aufgabenstellung (d.h.
> mit den Quadrattermen) aussaehe. Leider bin ich etwas
> ratlos, wie ich hier rangehen soll. Ich habe schon an den
> Kosinussatz u.s.w. gedacht, aber irgenwie klappt es nicht.
>
> Vielen Dank
ich bezweifele, dass es solch eine konstante gibt (zumindest keine positive). wählt man nämlich $u$ und $w$ orthogonal, ist die linke seite gleich null und die rechte kann beliebig gross werden.
ich lasse mich gerne belehren, wenn ich etwas falsch verstanden habe... 
gruss
matthias
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(Frage) überfällig | | Datum: | 13:02 Mi 04.01.2012 | | Autor: | Denny22 |
> ich bezweifele, dass es solch eine konstante gibt
> (zumindest keine positive). wählt man nämlich [mm]u[/mm] und [mm]w[/mm]
> orthogonal, ist die linke seite gleich null und die rechte
> kann beliebig gross werden.
Das stimmt natuerlich.
> ich lasse mich gerne belehren, wenn ich etwas falsch
> verstanden habe...
>
> gruss
> matthias
Normalerweise steht noch ein Minuszeichen vor dem Ausdruck, d.h. mein eigentliches Ziel ist eine Abschaetzung fuer
[mm] $-\mathrm{Re}\left\langle u,w\right\rangle_{\IC^N} \mathrm{Re}\left\langle w,Au\right\rangle_{\IC^N}\leqslant$ [/mm] irgendetwas
fuer alle [mm] $u,w\in\C^N$. [/mm] Daher habe ich versucht, dass Produkt (ohne dem Minus) nach unten abzuschaetzen. Laesst sich hierfuer ein Ausdruck finden?
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:20 Fr 06.01.2012 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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