Skalarprodukt identifizieren < Skalarprodukte < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Sei V der Vektorraum aller reellen Polynome vom Grad kleiner gleich 1. Durch welche der folgenden Abbildungen wird ein Skalarprodukt auf V definiert?
[mm] _{1}=\integral_{-1}^{1}{xf(x)g(x) dx}
[/mm]
[mm] _{2}=\integral_{0}^{\infty}{e^{-x}f(x)g(x) dx}
[/mm]
|
Hallo,
also ich habe Probleme die obige Aufgabe zu lösen.
Soweit sogut, ich müsste beide jetzt auf symetrie, bilinearität und positive definitheit prüfen.
Bilinearität ist meiner Meinung nach bei beiden gegeben, symetrie auch. Hängt es dann an der positieven definietheit?
Die beiden unterscheiden sich ja durch das x und das [mm] e^{-x}, [/mm] und e hoch irgendwas ist ja immer positiev, x nicht.
Aber wie zeige ich das?
Irgendwie so das
[mm] =\integral_{-1}^{1}{xf^{2}(x) dx} \ge [/mm] 0
und das müsste zu einem Wiederspruch führen, aber wie?
Danke schonmal für die Antworten und eure Mühe.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 03:15 Do 09.07.2009 | | Autor: | Fulla |
Hallo Runkelmunkel,
setze doch mal bei der ersten Bilinearform $f(x):=-x+1$ und berechne [mm] $\langle f,f\rangle_1$.
[/mm]
Lieben Gruß,
Fulla
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 03:45 Do 09.07.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo zusammen
> setze doch mal bei der ersten Bilinearform [mm]f(x):=-x+1[/mm] und
> berechne [mm]\langle f,f\rangle_1[/mm].
Oder einfach $f(x) := 1$.
LG Felix
|
|
|
| |
|
Ich glaube, f(x) [mm] =x^n [/mm] klappt nicht als Gegenbeispiel, da wegen [mm]f(x)*f(x)[/mm] dabei immer eine Potenzfunktion mit geradem Grad entsteht, mit der Multiplikation mit x also ungerader Grad, d.h. die Stammfunktion hat geraden Grad und ist somit immer positiv.
Das andere Gegenbeispiel klappt bei mir  . Und eins reicht ja...
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 07:09 Do 09.07.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> Ich glaube, f(x) [mm]=x^n[/mm] klappt nicht als Gegenbeispiel, da
> wegen [mm]f(x)*f(x)[/mm] dabei immer eine Potenzfunktion mit geradem
> Grad entsteht, mit der Multiplikation mit x also ungerader
> Grad, d.h. die Stammfunktion hat geraden Grad und ist somit
> immer positiv.
Genau. Das die Stammfunktion immer positiv ist stoert aber nicht: du setzt ja $1$ und $-1$ ein und ziehst das voneinander ab. Und da die Stammfunktion gerade ist, kommt beidesmal der gleiche Wert raus, sprich die Differenz ist 0.
> Das andere Gegenbeispiel klappt bei mir . Und eins
> reicht ja...
Genau ;)
LG Felix
|
|
|
| |
|
Ja - positiv definit vs. positiv semi-definit.... da schwirrte mir der falsche Gedanke im Kopf herum, die 0 darf ja auch nicht sein (die ich natürlich auch raus hatte). Danke für das "dran-erinnern" 
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 07:14 Do 09.07.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> Sei V der Vektorraum aller reellen Polynome vom Grad
> kleiner gleich 1. Durch welche der folgenden Abbildungen
> wird ein Skalarprodukt auf V definiert?
>
> [mm]_{1}=\integral_{-1}^{1}{xf(x)g(x) dx}[/mm]
>
> [mm]_{2}=\integral_{0}^{\infty}{e^{-x}f(x)g(x) dx}[/mm]
>
> also ich habe Probleme die obige Aufgabe zu lösen.
> Soweit sogut, ich müsste beide jetzt auf symetrie,
> bilinearität und positive definitheit prüfen.
> Bilinearität ist meiner Meinung nach bei beiden gegeben,
> symetrie auch. Hängt es dann an der positieven
> definietheit?
Genau so ist es.
Ok, fast: du musst noch zeigen, dass die zweite Form ueberhaupt wohldefiniert ist, d.h. dass das Integral ueberhaupt existiert. Dazu brauchst du, dass [mm] $e^{- x}$ [/mm] fuer $x [mm] \to \infty$ [/mm] sehr schnell gegen 0 geht, im Gegensatz zu allen Polynomen.
> Die beiden unterscheiden sich ja durch das x und das
> [mm]e^{-x},[/mm] und e hoch irgendwas ist ja immer positiev, x
> nicht.
> Aber wie zeige ich das?
Nun, dass die erste symmetrische Bilinearform kein Skalarprodukt ist hast du ja schon gezeigt. Du musst dich also auf die zweite stuerzen.
Fuer $g = f$ ist der Integrand [mm] $e^{- x} [/mm] f(x) g(x)$ immer [mm] $\ge [/mm] 0$. Du hast also das Integral ueber eine stetige Funktion, die nicht-negativ ist, und das Integral ist 0. Daraus kann man folgern, dass auch die Funktion konstant 0 sein muss.
Zeigen tut man das per Kontraposition: angenommen, es gelte [mm] $\int_a^b [/mm] h(x) dx = 0$ und $h(x) [mm] \ge [/mm] 0$ fuer alle $x [mm] \in [/mm] [a, b]$, und [mm] $h(x_0) [/mm] > 0$ fuer ein [mm] $x_0 \in [/mm] [a, b]$. Was sagt dir jetzt die Stetigkeit von $h$ in einer Umgebung von [mm] $x_0$? [/mm] (Und warum gilt das auch, wenn $b = [mm] \infty$ [/mm] ist?)
LG Felix
|
|
|
| |
|
Danke, ich musste also nur ein Polynom suchen das mir meine Vermutung bestätigt und somit
[mm] \integral_{-1}^{1}{x(1-x)^{2} dx}=\frac{-4}{3}<0
[/mm]
und dass [mm] \integral_{0}^{\infty}{e^{-x}f^{2}(x) dx}>0
[/mm]
ist irgendwie offensichtlich, da beide Funktionen stetig und größer Null auf dem ganzen Intervall.
@Felix, die stetigkeit in der [mm] x_{0} [/mm] Umgebung sagt mir ja das ich keine Sprungstellen habe und da h(x) größer Null, kann das Integrad in diesem bereich nur größer Null sein. Hast du das so gemeint?
|
|
|
|
