Skalarprodukt, positiv definit < Skalarprodukte < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 21:54 Di 16.06.2009 | | Autor: | aga88 |
| Aufgabe | Hallo!
Für c [mm] \in \IR [/mm] sei die Matrix A= [mm] \pmat{ 1 & -1 & c \\ -1 & 2 & 0 \\ c & 0 & 4}gegeben. [/mm]
a) Man bestimme alle c [mm] \in \IR [/mm] für die [mm] o_A [/mm] ein Skalarprodukt auf [mm] \IR^3 [/mm] ist.
b) Für c= 1 bestimme man bezüglich [mm] o_A [/mm] die Längen der drei Einheitsvektoren e1, e2, e3 sowie die von ihnen eingeschlossenen Winkel.
c) Für die Hauptuntermatrix A2= [mm] \pmat{ 1 & -1 \\ -1 & 2 } [/mm] von A bestimme man eine P [mm] \in GL_2 (\IR) [/mm] mit P^TP= A2. |
Kann mir bitte jemand ein paar Ansätze geben? Ich weiß überhaupt nicht wie ich anfangen soll.
LG und Danke im Voraus
Ich habe die Frage in keinem anderen Forum gestellt.
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> Hallo!
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> Für c [mm]\in \IR[/mm] sei die Matrix A= [mm]\pmat{ 1 & -1 & c \\ -1 & 2 & 0 \\ c & 0 & 4}gegeben.[/mm]
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> a) Man bestimme alle c [mm]\in \IR[/mm] für die [mm]o_A[/mm] ein
> Skalarprodukt auf [mm]\IR^3[/mm] ist.
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> b) Für c= 1 bestimme man bezüglich [mm]o_A[/mm] die Längen der drei
> Einheitsvektoren e1, e2, e3 sowie die von ihnen
> eingeschlossenen Winkel.
>
> c) Für die Hauptuntermatrix A2= [mm]\pmat{ 1 & -1 \\ -1 & 2 }[/mm]
> von A bestimme man eine P [mm]\in GL_2 (\IR)[/mm] mit P^TP= A2.
> Kann mir bitte jemand ein paar Ansätze geben? Ich weiß
> überhaupt nicht wie ich anfangen soll.
Hallo,
normalerweise fängt man immer damit an, daß man die vorkommenden Begriffe genau klärt.
zu a) Was ist ein Skalarprodukt? Was muß alles gelten? Woran erkennt man, ob eine Matrix die darstellende Matrix eines Skalarproduktes ist?
zu b) Hier kannst Du Dich schonmal informieren, was es mit der Länge bzgl eines Skalarproduktes auf sich hat, vielleicht habt Ihr auch etwas über Winkel notiert.
c) kommt später.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:46 Di 16.06.2009 | | Autor: | aga88 |
zu a): also was ein skalarprodukt ist weiß ich... aber ich kann mit so einer aufzeichnung nix anfangen.
[mm] $\displaystyle \left\langle u,v\right\rangle :=u^{T}v=\sum_{i=1}^{d}u_{i}v_{i}$
[/mm]
meine konkrete Frage wäre, ob du mir vllt sagen könntest wo was ich einsetzen muss.
b) länge berechne ich ja mit quadrat von x1 plus quadrat von x2 und davon die wurzel
und winkel berechne ich mit cosinus
und dann? ich weiß nicht weiter und kann nicht viel mit meinen aufzeichnungen anfangen.
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Hallo
> zu a): also was ein skalarprodukt ist weiß ich... aber ich
> kann mit so einer aufzeichnung nix anfangen.
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> [mm]\displaystyle \left\langle u,v\right\rangle :=u^{T}v=\sum_{i=1}^{d}u_{i}v_{i}[/mm]
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> meine konkrete Frage wäre, ob du mir vllt sagen könntest wo
> was ich einsetzen muss.
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> b) länge berechne ich ja mit quadrat von x1 plus quadrat
> von x2 und davon die wurzel
> und winkel berechne ich mit cosinus
>
> und dann? ich weiß nicht weiter und kann nicht viel mit
> meinen aufzeichnungen anfangen.
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a) Nun, damit eine Matrix ein Skalarprodukt beschreibt, muss sie folgende Eigenschaften erfüllen:
- Symmetrie
- Positive Definitheit
Für welche c erfüllt deine Matrix diese Eigenschaften?
Die Symmetrie ist einfach zu erkennen..
Die Positive Definitheit kann über mehrere kriterien überprüft werden. In deinem Fall würde ich auf die Eigenwerte verzichten und mit dem Hauptminorenkriterium arbeiten.
Grüsse, Amaro
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> zu a): also was ein skalarprodukt ist weiß ich... aber ich
> kann mit so einer aufzeichnung nix anfangen.
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> [mm]\displaystyle \left\langle u,v\right\rangle :=u^{T}v=\sum_{i=1}^{d}u_{i}v_{i}[/mm]
Hallo,
das, was Du hier angibst, ist eines von vielen Skalarprodukten, nämlich für [mm] u,v\in \IR^n [/mm] das Standardskalarprodukt, welches Du aus der Schule kennst.
Aber ein Skalarprodukt ist etwas viel allgemeineres, nämlich, wie arcesius Dir auch schon sagt, weine positiv definite symmetrische Bilinearform, und was das ist, mußt Du erstmal aufschreiben.
Ohne die Definitionen kann man solche Aufgaben nicht lösen.
> meine konkrete Frage wäre, ob du mir vllt sagen könntest wo
> was ich einsetzen muss.
>
> b) länge berechne ich ja mit quadrat von x1 plus quadrat
> von x2 und davon die wurzel
> und winkel berechne ich mit cosinus
Das, was Du da schreibst, ist richtig, wenn Du im [mm] \IR^n [/mm] mit dem Standardskalarprodukt bist.
Das sind wir aber nicht, wir sind im [mm] \IR^3 [/mm] mit dem durch die Matrix A dargestellen Skalarprodukt.
Beachte übrigens unbedingt die Frage, die Dir Felix stellt, ihre Antwort ist wichtig.
Und wichtig ist auch, daß Du in Deinem Skript und Deiner Mitschrift blätterst und der Sache auf den Grund gehst.
>
> und dann? ich weiß nicht weiter und kann nicht viel mit
> meinen aufzeichnungen anfangen.
Da Du so wenig von Deinen Aufzeichnungen erzählst, kann man schlecht etwas davon sagen.
Die Lange eines Vektors v bzgl [mm] \sigma_A [/mm] bekommst Du so:
[mm] |v|_{\sigma_A}=\wurzel{\sigma_A(v,v)},
[/mm]
vielleicht merkst Du, daß das sehr ähnlich ist zu dem, was Du aus der Schule kennst, und beim Winkel ist es nicht anders:
[mm] \cos(\angle(v,w))=\bruch{\sigma_A(v,w)}{\wurzel{\sigma_A(v,v)}*\wurzel{\sigma_A(w,w)}}.
[/mm]
Nochmal zum Skript/Mitschrift: ich weiß, daß das manchmal verwirrend aussieht. Es kommt darauf an, daß man die Dinge wirklich langsam und gründlich auseinanderpflückt, sich jede Bezeichnung klarmacht. Dann ist schonmal viel gewonnen. Das ist nichts zum Durchlesen oder gar überfliegen, man muß es studieren.
Wenn man am Anfang nicht jeden Beweis bis in alle Einzelheiten versteht, ist das nicht so schlimm, aber die Definitionen und Sätze muß man können - oder halt nachschlagen.
Ich habe bei meinen Hausübungen bestimmt mehr Zeit fürs Nachgschlagen als fürs Schreiben verwendet.
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 06:33 Mi 17.06.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> Für c [mm]\in \IR[/mm] sei die Matrix A= [mm]\pmat{ 1 & -1 & c \\ -1 & 2 & 0 \\ c & 0 & 4}gegeben.[/mm]
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> a) Man bestimme alle c [mm]\in \IR[/mm] für die [mm]o_A[/mm] ein
> Skalarprodukt auf [mm]\IR^3[/mm] ist.
Was ist denn [mm] $o_A$?
[/mm]
(Ich kann mir denken was es ist, aber weisst du es auch?)
LG Felix
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