Skalarprodukt zeigen < Funktionalanalysis < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 07:24 Do 10.01.2008 | | Autor: | Irmchen |
| Aufgabe | Sei [mm] C_{c}^{ \infty} ( \mathbb R^{n} , \mathbb C ) [/mm] der Raum der glatten komplexwertigen Funktionen mit kompaktem Träger.
Offensichtlich gilt [mm] C_{c}^{ \infty} ( \mathbb R^{n} , \mathbb C ) \subset L^2 ( \mathbb R, \mu, \mathbb C ) [/mm]
Zeigen Sie:
Für [mm] f,g \in C_{c}^{ \infty} ( \mathbb R^{n} , \mathbb C ) [/mm] gilt
[mm] \langle \bruch{ \partial}{ \partail x_i } f, g \rangle = \langle f, \bruch{ \partial}{ \partail x_i }g \rangle [/mm].
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Guten Morgen!
Ich habe mich gestern an dieser Aufgabe versucht und konnte sie nicht auf anhieb lösen...
Wenn ich richtig verstehe, dann ist eine Funktion [mm] f: \mathbb R^{n} \to \mathbb C [/mm] hat kompakten Träger, wenn der Abschluss der Menge [mm] \{ x \in \mathbb R^{n} \| f(x) \ne 0 \} [/mm] eine kompakte Teilmenge von [mm] \mathbb R^{n} [/mm], also insbesondere beschränkt ist.
Nun ist meine Frage als erstes was hilft mir das hier? Und da
[mm] C_{c}^{ \infty} ( \mathbb R^{n} , \mathbb C ) \subset L^2 ( \mathbb R, \mu, \mathbb C ) [/mm] gilt, kann ich dann , oder besser, soll ich dann das Skalarprodukt von [mm] L^2 [/mm] anwenden???
Falls ja, warum darf ich das?
Und ich weiß nicht so richtig, wie ich das mit der partiellen Ableitung machen soll...
Ich wäre dankbar, wenn mir jemand dabei helfen könnte.
Viele Grüße
Irmchen
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:33 Do 10.01.2008 | | Autor: | felixf |
Hallo Irmchen
> Sei [mm]C_{c}^{ \infty} ( \mathbb R^{n} , \mathbb C )[/mm] der Raum
> der glatten komplexwertigen Funktionen mit kompaktem
> Träger.
> Offensichtlich gilt [mm]C_{c}^{ \infty} ( \mathbb R^{n} , \mathbb C ) \subset L^2 ( \mathbb R, \mu, \mathbb C )[/mm]
>
> Zeigen Sie:
> Für [mm]f,g \in C_{c}^{ \infty} ( \mathbb R^{n} , \mathbb C )[/mm]
> gilt
>
> [mm]\langle \bruch{ \partial}{ \partail x_i } f, g \rangle = \langle f, \bruch{ \partial}{ \partail x_i }g \rangle [/mm].
Kann es sein, dass auf einer Seite ein Minus fehlt?
> Guten Morgen!
>
> Ich habe mich gestern an dieser Aufgabe versucht und konnte
> sie nicht auf anhieb lösen...
> Wenn ich richtig verstehe, dann ist eine Funktion [mm]f: \mathbb R^{n} \to \mathbb C[/mm]
> hat kompakten Träger, wenn der Abschluss der Menge [mm]\{ x \in \mathbb R^{n} \| f(x) \ne 0 \}[/mm]
> eine kompakte Teilmenge von [mm]\mathbb R^{n} [/mm], also
> insbesondere beschränkt ist.
Genau.
> Nun ist meine Frage als erstes was hilft mir das hier?
Nehmen wir mal den Fall $n = 1$. Wenn der Traeger von $f$ beschraenkt ist, dann gibt es $a, b [mm] \in \IR$ [/mm] so, dass der Traeger in $[a, b]$ enthalten ist, und damit ist [mm] $\int_\IR [/mm] f [mm] \; d\mu [/mm] = [mm] \int_a^b [/mm] f(x) dx$ (da $f$ stetig ist stimmen Riemann- und Lebesgue-Integral ueberein).
> Und da
> [mm]C_{c}^{ \infty} ( \mathbb R^{n} , \mathbb C ) \subset L^2 ( \mathbb R, \mu, \mathbb C )[/mm]
Beim [mm] $L^2$ [/mm] soll das sicher auch [mm] $\IR^n$ [/mm] und nicht [mm] $\IR$ [/mm] heissen, oder?
> gilt, kann ich dann , oder besser, soll ich dann das
> Skalarprodukt von [mm]L^2[/mm] anwenden???
> Falls ja, warum darf ich das?
> Und ich weiß nicht so richtig, wie ich das mit der
> partiellen Ableitung machen soll...
> Ich wäre dankbar, wenn mir jemand dabei helfen könnte.
Leite doch mal das Produkt $f g$ partiell nach [mm] $x_i$ [/mm] ab und integriere das ganze ueber [mm] $\IR^n$. [/mm] Dann musst du zeigen, dass das Integral ueber $(f g)'$ gleich 0 ist. Dazu wendest du den Satz von Fubini an: zuerst nach [mm] $x_i$ [/mm] integrieren, und dann nach den anderen Variablen. Bei dem innersten Integral benutzt du jetzt das was ich oben geschrieben hab (mit den Grenzen $a$ und $b$) und bekommst heraus, dass es 0 ist.
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:35 Do 10.01.2008 | | Autor: | Irmchen |
Hallo!
Danke schnmal für diese Antwort!
> > Zeigen Sie:
> > Für [mm]f,g \in C_{c}^{ \infty} ( \mathbb R^{n} , \mathbb C )[/mm]
> > gilt
> >
> > [mm]\langle \bruch{ \partial}{ \partail x_i } f, g \rangle = \langle f, \bruch{ \partial}{ \partail x_i }g \rangle [/mm].
>
> Kann es sein, dass auf einer Seite ein Minus fehlt?
Ich habe eben erst erfahren, dass in dieser Aufgabe einige Tippfehler sind, deswegen nehme ich an, dass das Minus eines davon ist.
Nur, wo soll es denn stehen?
>
> Nehmen wir mal den Fall [mm]n = 1[/mm]. Wenn der Traeger von [mm]f[/mm]
> beschraenkt ist, dann gibt es [mm]a, b \in \IR[/mm] so, dass der
> Traeger in [mm][a, b][/mm] enthalten ist, und damit ist [mm]\int_\IR f \; d\mu = \int_a^b f(x) dx[/mm]
> (da [mm]f[/mm] stetig ist stimmen Riemann- und Lebesgue-Integral
> ueberein).
>
> > Und da
> > [mm]C_{c}^{ \infty} ( \mathbb R^{n} , \mathbb C ) \subset L^2 ( \mathbb R, \mu, \mathbb C )[/mm]
>
> Beim [mm]L^2[/mm] soll das sicher auch [mm]\IR^n[/mm] und nicht [mm]\IR[/mm] heissen,
> oder?
Wird dann wahrscheinlich auch ein Tippfehler sein... Danke  .
> Leite doch mal das Produkt [mm]f g[/mm] partiell nach [mm]x_i[/mm] ab und
Ich weiß nicht warum, aber damit habe ich Probleme... Wie ich das Produkt ableite ( mit der Produktregel natürlich) ist klar, aber diese partielle Ableitung nicht mehr, leider... Wie mach ich denn das nochmal...
> integriere das ganze ueber [mm]\IR^n[/mm].
Also, dann integriere ich diese Ableitung?
Dieses Integral ist doch dann mein Skalarprodukt, richtig? Muss ich dann nicht bei der zweiten Komponente des Skalars, sprich, bei dem ersten für das g, das komplex - konjugierte g nehmen?
Dann musst du zeigen,
> dass das Integral ueber [mm](f g)'[/mm] gleich 0 ist. Dazu wendest
> du den Satz von Fubini an: zuerst nach [mm]x_i[/mm] integrieren, und
> dann nach den anderen Variablen.
Wie schreibe ich das denn richtig auf? Habe generell Probleme mit der richtigen formalen Darstellung meiner Lösungen...
Bei dem innersten Integral
> benutzt du jetzt das was ich oben geschrieben hab (mit den
> Grenzen [mm]a[/mm] und [mm]b[/mm]) und bekommst heraus, dass es 0 ist.
Warum muss ich zeigen, dass das ganze Null ergibt? Weil nur dan vielleicht aufgrund des Minuszeichens auf einer Seite das Gleichheitszeichen stimmt?
Viele Grüße
Irmchen
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:41 Fr 11.01.2008 | | Autor: | felixf |
Hallo Irmchen
> > > Zeigen Sie:
> > > Für [mm]f,g \in C_{c}^{ \infty} ( \mathbb R^{n} , \mathbb C )[/mm]
> > > gilt
> > >
> > > [mm]\langle \bruch{ \partial}{ \partail x_i } f, g \rangle = \langle f, \bruch{ \partial}{ \partail x_i }g \rangle [/mm].
>
> >
> > Kann es sein, dass auf einer Seite ein Minus fehlt?
>
> Ich habe eben erst erfahren, dass in dieser Aufgabe einige
> Tippfehler sind, deswegen nehme ich an, dass das Minus
> eines davon ist.
> Nur, wo soll es denn stehen?
Ist egal, irgendwo in der Gleichung  Also etwa [mm] $-\langle \frac{\partial}{\partial x_i} [/mm] f g [mm] \rangle [/mm] = [mm] \langle [/mm] f, [mm] \frac{\partial}{\partial x_i} [/mm] g [mm] \rangle$.
[/mm]
> > Nehmen wir mal den Fall [mm]n = 1[/mm]. Wenn der Traeger von [mm]f[/mm]
> > beschraenkt ist, dann gibt es [mm]a, b \in \IR[/mm] so, dass der
> > Traeger in [mm][a, b][/mm] enthalten ist, und damit ist [mm]\int_\IR f \; d\mu = \int_a^b f(x) dx[/mm]
> > (da [mm]f[/mm] stetig ist stimmen Riemann- und Lebesgue-Integral
> > ueberein).
> >
> > > Und da
> > > [mm]C_{c}^{ \infty} ( \mathbb R^{n} , \mathbb C ) \subset L^2 ( \mathbb R, \mu, \mathbb C )[/mm]
> >
> > Beim [mm]L^2[/mm] soll das sicher auch [mm]\IR^n[/mm] und nicht [mm]\IR[/mm] heissen,
> > oder?
>
> Wird dann wahrscheinlich auch ein Tippfehler sein... Danke
> .
>
>
> > Leite doch mal das Produkt [mm]f g[/mm] partiell nach [mm]x_i[/mm] ab und
Beim Produkt hast du weiter unten Recht, wir muessen $f [mm] \overline{g}$ [/mm] betrachten und nicht $f g$ (damit es ein Skalarprodukt wird).
> Ich weiß nicht warum, aber damit habe ich Probleme... Wie
> ich das Produkt ableite ( mit der Produktregel natürlich)
> ist klar, aber diese partielle Ableitung nicht mehr,
> leider... Wie mach ich denn das nochmal...
Erstmal musst du dir hier ueberlegen, was du fuer Funktionen hast und wie du die ableitest. Du hast Funktionen [mm] $\IR^n \to \IC$, [/mm] und [mm] $\IC$ [/mm] ist sozusagen [mm] $\IR^2$. [/mm] Also kannst du $f = [mm] f_1 [/mm] + i [mm] f_2$ [/mm] und $g = [mm] g_1 [/mm] + i [mm] g_2$ [/mm] schreiben mit [mm] $f_i, g_i [/mm] : [mm] \IR^n \to \IR$. [/mm] Und damit ist dann [mm] $\frac{\partial}{\partial x_i} [/mm] = [mm] \frac{\partial}{\partial x_i} f_1 [/mm] + i [mm] \frac{\partial}{\partial x_i} f_2$, [/mm] also ganz normales komponentenweises partielles Ableiten.
So. Nun ist $f [mm] \overline{g} [/mm] = [mm] (f_1 [/mm] + i [mm] f_2) (g_1 [/mm] - i [mm] g_2) [/mm] = [mm] (f_1 g_1 [/mm] + [mm] f_2 g_2) [/mm] + i [mm] (f_2 g_1 [/mm] - [mm] f_1 g_2)$, [/mm] und das kannst du jetzt wie oben partiell ableiten.
> > integriere das ganze ueber [mm]\IR^n[/mm].
>
> Also, dann integriere ich diese Ableitung?
> Dieses Integral ist doch dann mein Skalarprodukt, richtig?
Genau. Also fast, wie du ja gemerkt hast :)
> Muss ich dann nicht bei der zweiten Komponente des
> Skalars, sprich, bei dem ersten für das g, das komplex -
> konjugierte g nehmen?
Also das Skalarprodukt ist [mm] $\lange [/mm] f, g [mm] \rangle [/mm] = [mm] \int_{\IR^n} [/mm] f(x) [mm] \overline{g(x)} [/mm] dx$, da hast du Recht. (Wenn man das komplexe Konjugieren weglaesst ist's nicht positiv definit.)
> > Dann musst du zeigen,
> > dass das Integral ueber [mm](f g)'[/mm] gleich 0 ist. Dazu wendest
> > du den Satz von Fubini an: zuerst nach [mm]x_i[/mm] integrieren, und
> > dann nach den anderen Variablen.
> Wie schreibe ich das denn richtig auf? Habe generell
> Probleme mit der richtigen formalen Darstellung meiner
> Lösungen...
Das koenntest du so hinschreiben: [mm] $\int_{\IR^n} \frac{\partial}{\partial x_i} [/mm] (f [mm] \overline{g}) [/mm] dx [mm] \underset{\text{Fubini}}{=} \int_\IR \cdots \int_\IR \frac{\partial}{\partial x_i} [/mm] (f [mm] \overline{g}) dx_i dx_1 \cdots dx_{i-1} dx_{i+1} \cdots dx_n [/mm] = [mm] \int_\IR \cdots \int_\IR \left( \int_{-\infty}^\infty \frac{\partial}{\partial x_i} (f \overline{g}) dx_i \right) dx_1 \cdots dx_{i-1} dx_{i+1} \cdots dx_n$. [/mm] Jetzt kannst du das innere Integral einzelnd betrachten und dort halt erstmal die Grenzen durch passende $a$ und $b$ ersetzen.
> > Bei dem innersten Integral
> > benutzt du jetzt das was ich oben geschrieben hab (mit den
> > Grenzen [mm]a[/mm] und [mm]b[/mm]) und bekommst heraus, dass es 0 ist.
>
> Warum muss ich zeigen, dass das ganze Null ergibt? Weil nur
> dan vielleicht aufgrund des Minuszeichens auf einer Seite
> das Gleichheitszeichen stimmt?
Wenn du $a$ klein und $b$ gross genug waehlst, so ist $f(a) = [mm] \overline{g}(a) [/mm] = f(b) = [mm] \overline{g}(b) [/mm] = 0$, also $(f [mm] \overline{g})(a) [/mm] = 0 = (f [mm] \overline{g})(b)$. [/mm] Und was ist [mm] $\int_a^b [/mm] (f [mm] \overline{g})(x) [/mm] dx$?
LG Felix
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