Skalarprodukt zeigen < Skalarprodukte < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | | Hallo also ich soll zeigen, dass es hie rum ein Skalarprodukt handelt, positiv definit und hermitesch hab ich schon gezeigt aber bei der semi-linearität in der zweiten komponente hänge ich gerade ein wenig: |
s(x,y) = [mm] x_1*y_1+x_2*y_2+2x_3*y_3+i*x_3*y_4-i*x_4*y_3+x_4*y_4
[/mm]
so und jetzt komm bei der semilinearität in der zweiten Kompoente:
[mm] -->s(x,\lambda*y) [/mm] = [mm] x_1*\lambda*y_1+x_2*\lambda*y_2+2*x_3*\lambda*y_3+i*x_3*\lambda*y_4-i*x_4*\lambda*y_3+x_4*\lambda*y_4
[/mm]
= [mm] \lambda [/mm] * [mm] (x_1*y_1+x_2*y_2+2x_3*y_3+i*x_3*y_4-i*x_4*y_3+x_4*y_4)
[/mm]
= [mm] \lambda* [/mm] s(x,y)
aber eigentlich müsste ich doch [mm] \overline {\lambda} [/mm] * s(x,y) rausbekommen oder nicht?
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:52 Do 28.05.2009 | | Autor: | fred97 |
Du hast Recht. Lautet es wirklich so:
$s(x,y) = [mm] x_1\cdot{}y_1+x_2\cdot{}y_2+2x_3\cdot{}y_3+i\cdot{}x_3\cdot{}y_4-i\cdot{}x_4\cdot{}y_3+x_4\cdot{}y_4 [/mm] $
?
FRED
|
|
|
| |
|
ja die matrix steht da so:
[mm] \begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 & 0\\
0 & 1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 2 & i \\
0 & 0 & -i & 1
\end{pmatrix}
[/mm]
und daraus bin ich dann auf diese form gekommen ist doch richtig oder hab ich da irgendeinen fehler gemacht?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:22 Do 28.05.2009 | | Autor: | fred97 |
> ja die matrix steht da so:
> [mm]\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 & 0\\
0 & 1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 2 & i \\
0 & 0 & -i & 1
\end{pmatrix}[/mm]
>
> und daraus bin ich dann auf diese form gekommen ist doch
> richtig oder hab ich da irgendeinen fehler gemacht?
Ja ! Da Du im komplexen bist , kommt heraus
$s(x,y) = [mm] x_1\cdot{}\overline{y_1}+x_2\cdot{}\overline{y_2}+2x_3\cdot{}\overlin{y_3}+i\cdot{}x_3\cdot{}\overline{y_4}-i\cdot{}x_4\cdot{}\overline{y_3}+x_4\cdot{}\overline{y_4} [/mm] $
FRED
|
|
|
| |
|
ja stimmt das hab ich gar nicht , dann passt auch alles. aber dann hab ich noch eine frage zu positiv definitheit:
$ s(x,y) = [mm] x_1\cdot{}\overline{x_1}+x_2\cdot{}\overline{x_2}+2x_3\cdot{}\overline{x_3}+i\cdot{}x_3\cdot{}\overline{x_4}-i\cdot{}x_4\cdot{}\overline{x_3}+x_4\cdot{}\overline{x_4} [/mm] $
also überall wo der index gleich ist, das ist [mm] \ge [/mm] 0 das hab ich schon gezeigt auf dem letzten übungszettel also muss ich mich nur noch um den ausdruck kümmern: [mm] i\cdot{}x_3\cdot{}\overline{x_4}-i\cdot{}x_4\cdot{}\overline{x_3}
[/mm]
dumme frage aber löst sich das vlt einfach auf oder wie mach ich das?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:53 Do 28.05.2009 | | Autor: | fred97 |
> ja stimmt das hab ich gar nicht , dann passt auch alles.
> aber dann hab ich noch eine frage zu positiv definitheit:
> [mm]s(x,y) = x_1\cdot{}\overline{x_1}+x_2\cdot{}\overline{x_2}+2x_3\cdot{}\overline{x_3}+i\cdot{}x_3\cdot{}\overline{x_4}-i\cdot{}x_4\cdot{}\overline{x_3}+x_4\cdot{}\overline{x_4}[/mm]
>
es soll wohl
[mm]s(x,x) = x_1\cdot{}\overline{x_1}+x_2\cdot{}\overline{x_2}+2x_3\cdot{}\overline{x_3}+i\cdot{}x_3\cdot{}\overline{x_4}-i\cdot{}x_4\cdot{}\overline{x_3}+x_4\cdot{}\overline{x_4}[/mm]
lauten !
> also überall wo der index gleich ist, das ist [mm]\ge[/mm] 0 das hab
> ich schon gezeigt auf dem letzten übungszettel also muss
> ich mich nur noch um den ausdruck kümmern:
> [mm]i\cdot{}x_3\cdot{}\overline{x_4}-i\cdot{}x_4\cdot{}\overline{x_3}[/mm]
>
> dumme frage aber löst sich das vlt einfach auf oder wie
> mach ich das?
>
Beachte: [mm] z\overline{z}= |z|^2
[/mm]
Wenn Du zeigen kannst, dass
(*) [mm] $|x_3|^2+|x_4|^2 +i(x_3\overline{x_4}-x_4\overline{x_3}) \ge [/mm] 0$
dann bist Du fertig.
Es ist
[mm] $i(x_3\overline{x_4}-x_4\overline{x_3})= -2Im(x_3\overline{x_4})$
[/mm]
Nun gilt:
[mm] $2Im(x_3\overline{x_4}) \le 2|x_3\overline{x_4}| [/mm] = [mm] 2|x_3|*|x_4| \le |x_3|^2+|x_4|^2$
[/mm]
Hieraus folgt nun (*)
FRED
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:00 Do 28.05.2009 | | Autor: | HansPeter |
wunderbar.. danke klappt nun alles..
danke fred
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:04 Do 28.05.2009 | | Autor: | fred97 |
> wunderbar.. danke klappt nun alles..
> danke fred
Bitteschön
FRED
|
|
|
|
