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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 16:14 Mo 20.06.2005 | | Autor: | Lara1985 |
Hey hallo!
Also habe hier eine Aufgabe und würde gerne wissen, ob mein Lösungsvorschlag in Ordnung ist, also ob ich es so machen kann...
Man ermittele, ob folgenden Abbildungen [mm] \perp [/mm] : [mm] \IR^{2} \times \IR^{2} \to \IR [/mm] Skalarprodukte sind:
a) [mm] \perp [/mm] (x,y) = [mm] 2x_{1}y_{1} [/mm] - [mm] 2x_{1}y_{2} [/mm] - [mm] 2x_{2}y_{1} [/mm] + [mm] 3x_{2}y_{2}
[/mm]
b) [mm] \perp [/mm] (x,y) = [mm] x_{1}y_{1} [/mm] - [mm] 4x_{1}y_{2} [/mm] - [mm] 4x_{2}y_{1} [/mm] + [mm] 2x_{2}y_{2}
[/mm]
c) [mm] \perp [/mm] (x,y) = [mm] x_{1}y_{1} [/mm] - [mm] 5x_{1}y_{2} [/mm] - [mm] 5x_{2}y_{1} [/mm] + [mm] 26x_{2}y_{2}
[/mm]
So meine Idee dazu wäre, dass man einfach die Eigenschaften nachprüft:
Definition: Es sei (V, + , · ) ein Vektorraum. Eine Funktion
* : V [mm] \times [/mm] V [mm] \to [/mm] R
heißt ein Sakalarprodukt (bzw. ein inneres Produkt) auf V, falls
v * w = w * v für alle v,w [mm] \in [/mm] V. (kommutativ)
(v1 + v2) * w = (v1 * w) + (v2 * w) für alle vi,w [mm] \in [/mm] V. (linear)
(av) * w = a(v * w) für alle v,w [mm] \in [/mm] V und a [mm] \in [/mm] R . (linear)
v * v > 0 für alle v [mm] \in [/mm] V, v ¹ 0. (positiv definit)
[Ich habe diese Frage in keinem anderem Forum gestellt]
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Hallo!
> So meine Idee dazu wäre, dass man einfach die Eigenschaften
> nachprüft:
Das ist genau der richtige Ansatz! Versuch doch mal, eine der Funktionen zu überprüfen. Wenn du deine Rechnung postest, kontrolliere ich sie gerne für dich!
Gruß, banachella
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:27 Mo 20.06.2005 | | Autor: | DeusRa |
Probier mal die Gleichung auf Matrizenschreibweise zu bringen:
[mm] \pmat{ x1y1 & x1y2 \\ x2y1 & x2y2 }
[/mm]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 08:14 Mi 22.06.2005 | | Autor: | Lara1985 |
a)
linear: (x+y)*Z = x*z + y*z
(x+y)*z = 2( [mm] x_{1}*y_{1})*z_{1} [/mm] - [mm] 2(x_{1}+y_{1})*z_{2} [/mm] - [mm] 2(x_{2}+y_{2})*z_{1} [/mm] + [mm] 3(x_{2}+y_{2})*z_{2}
[/mm]
= [mm] 2x_{1}z_{1} [/mm] + [mm] 2y_{1}z_{1} [/mm] - [mm] 2x_{1}z_{2} [/mm] - [mm] 2y_{1}z_{2} [/mm] - [mm] 2x_{2}z_{1} [/mm] - [mm] 2y_{2}z_{1} [/mm] + [mm] 3x_{2}z_{2} [/mm] + [mm] 3y_{2}z_{2}
[/mm]
= [mm] 2x_{1}z_{1}- 2x_{1}z_{2}- 2x_{2}z_{1}+ 3x_{2}z_{2}+ 2y_{1}z_{1}- 2y_{1}z_{2}- 2y_{2}z_{1}+ 3y_{2}z_{2}
[/mm]
=x*z + y*z
linear: (ax)*y = a*(xy)
ax*y = [mm] 2ax_{1}y_{1} [/mm] - [mm] 2ax_{1}y_{2} [/mm] - [mm] 2ax_{2}y_{1} [/mm] + [mm] 3ax_{2}y_{2}
[/mm]
= [mm] a(2x_{1}y_{1} [/mm] - [mm] 2x_{1}y_{2} [/mm] - [mm] 2x_{2}y_{1} [/mm] + [mm] 3x_{2}y_{2})
[/mm]
= a*(xy)
x*x > 0 für alle x [mm] \in [/mm] X
x*x = [mm] 2x_{1}x_{1} [/mm] - [mm] 2x_{1}x_{2} [/mm] - [mm] 2x_{2}x_{1} [/mm] + [mm] 3x_{2}x_{2}
[/mm]
= [mm] x_{1}^{2} [/mm] - [mm] 4x_{1}x_{2} [/mm] + [mm] 3x_{2}^{2}
[/mm]
= [mm] (x_{1}-x_{2})^{2} [/mm] + [mm] (x_{1}-x_{2})^{2} [/mm] + [mm] x_{2}^{2}
[/mm]
[mm] \ge
[/mm]
Jetzt fehlt mir nur noch das kommutative, aber kommutativ ist es ja auf jedenfall, meine ich oder?
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