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Forum "mathematische Statistik" - Skaleninvarianz zeigen
Skaleninvarianz zeigen < math. Statistik < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Skaleninvarianz zeigen: Beweis
Status: (Frage) überfällig Status 
Datum: 15:21 Do 24.05.2012
Autor: dennis2

Aufgabe
Zeigen Sie, daß [mm] $C(K)=(\Vert K\Vert_2^2)^{4/5}(\mu_2(K))^{2/5}$ [/mm] invariant ist gegenüber Skalentransformationen, d.h.

[mm] $C(K)=C(C_s(K))$ [/mm] mit [mm] $C_s(K)=\frac{1}{s}K\left(\frac{\cdot}{s}\right)$. [/mm]

Hallo!

Noch Anmerkung meinerseits zu den Bezeichnungen:

1.) [mm] $\Vert K\Vert_2^2=\int_{-\infty}^{\infty}K^2(u)\, [/mm] du$

2.) [mm] $\mu_2(K)=\int_{-\infty}^{\infty}u^2K(u)\, [/mm] du$,

wobei K jeweils einen Kern im Kontext der Kerndichteschätzung meint.


Wenn ich das korrekt verstanden habe, soll man jetzt einfach $K(u)$ ersetzen durch [mm] $\frac{1}{s}K\left(\frac{u}{s}\right)$ [/mm] und zeigen, daß das identisch ist. Okay, das mache ich durch Substitution:

[mm] $v=\frac{u}{s}, du=s\cdot [/mm] dv, [mm] u=s\cdot [/mm] v$

Dann:

[mm] $C(C_s(K))=\left(\int_{-\infty}^{\infty}\frac{1}{s^2}K^2(v)\cdot s\, dv\right)^{4/5}\cdot\left(\int_{-\infty}^{\infty}s^2v^2\frac{1}{s}K(v)\cdot s\, dv\right)^{2/5}$ [/mm]

[mm] $=\left(\frac{1}{s}\int_{-\infty}^{\infty}K^2(v)\, dv\right)^{4/5}\left(s^2\int_{-\infty}^{\infty}v^2K(v)\, dv\right)^{2/5}$ [/mm]

[mm] $=\left(\frac{1}{s}\right)^{4/5}\left(\int_{-\infty}^{\infty}K^2(v)\, dv\right)^{4/5}\left(s^2\right)^{2/5}\left(\int_{-\infty}^{\infty}v^2K(v)\, dv\right)^{2/5}$ [/mm]

[mm] $=\frac{1}{s^{4/5}}\cdot s^{4/5}\left(\int_{-\infty}^{\infty}K^2(v)\, dv\right)^{4/5}\left(\int_{-\infty}^{\infty}v^2K(v)\, dv\right)^{2/5}$ [/mm]

[mm] $=(\Vert K\Vert_2^2)^{4/5}\cdot (\mu_2(K))^{2/5}$ [/mm]

$=C(K)$

ENDE



Müsste eigentlich korrekt sein, aber ich fühle mich gerade wie bei Günther Jauch auf dem Stuhl: Eigentlich ist man sich sicher, aber fragt doch nochmal den Joker. Ihr seid mein Joker. :-)


Grüße

Dennis

        
Bezug
Skaleninvarianz zeigen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 11:26 Fr 25.05.2012
Autor: dennis2

Ich glaube Statistik bzw. Nichtparametrik ist hier nicht so beliebt bzw. breit vertreten. Kann das sein?

Bezug
        
Bezug
Skaleninvarianz zeigen: Fälligkeit abgelaufen
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 16:20 Sa 26.05.2012
Autor: matux

$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
Bezug
        
Bezug
Skaleninvarianz zeigen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 12:17 Di 29.05.2012
Autor: dennis2

Wirklich schade, dass hier niemand eine Antwort geben kann.



Bezug
        
Bezug
Skaleninvarianz zeigen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 12:41 Di 29.05.2012
Autor: blascowitz

Hallo,

habe ich nachgerechnet, sieht richtig aus.

Mit freundlichen Grüßen
Blasco



Bezug
                
Bezug
Skaleninvarianz zeigen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 13:30 Di 29.05.2012
Autor: dennis2

Das finde ich gut, dass es richtig aussieht. :-)

Bezug
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