Skizzieren einer Funktion < Funktionalanalysis < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:47 Mi 03.11.2010 | | Autor: | thadod |
Sehr geehrte Matheraum Mitarbeiter,
ich muss eine Funktion Skizzieren die wie folgt lautet:
[Dateianhang nicht öffentlich]
Meine Skizze hierzu sieht nun wie folgt aus:
[Dateianhang nicht öffentlich]
Ich wollte fragen, ob das so richtig ist, da mich [mm] f(x+2\pi)=f(x) [/mm] ein wenig verunsichert. Aber ich würde sagen, dass das so korrekt ist.
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: JPG) [nicht öffentlich]
Anhang Nr. 2 (Typ: JPG) [nicht öffentlich]
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> Ich wollte fragen, ob das so richtig ist, da mich
> [mm]f(x+2\pi)=f(x)[/mm] ein wenig verunsichert.
Hallo,
über dem Intervall [mm] [-\pi, \pi) [/mm] ist Deine Skizze goldrichtig,
außerhalb dieses Intervalls nicht.
Den Grund dafür nennst Du selbst:
neben der für [mm] x\in [-\pi, \pi) [/mm] gegebenen Abbildungsvorschrift weißt Du, daß die Funktion [mm] 2\pi-periodisch [/mm] ist. Genau das sagt nämlich [mm] f(x+\2pi)=f(x).
[/mm]
Du mußt also rechts und links an Deinen richtigen Funktionsausschnitt, der ja genau eine Periode, nämlich [mm] 2\pi [/mm] umfaßt, lauter solche Funktionsschnipsel "ankleben".
So sieht das dann aus:
..._/ _/ _/ _/...
/ / / /
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:32 Mi 03.11.2010 | | Autor: | thadod |
Hallo Angela und danke für deine Hilfe.
> über dem Intervall [mm][-\pi, \pi)[/mm] ist Deine Skizze
> goldrichtig,
> außerhalb dieses Intervalls nicht.
>
> Den Grund dafür nennst Du selbst
Okay. Der Bereich auf dem die Funktion abgebildet werden soll liegt ja nur zwischen [mm] -\pi [/mm] und [mm] \pi.
[/mm]
Da sie aber 2 - [mm] \pi [/mm] periodisch ist, aufgrund [mm] f(x+2\pi)=f(x)
[/mm]
Wird die Funktion insgesamt 3 mal auf dem Intervall [mm] [-3\pi,3\pi] [/mm] abgebildet.
Also wie folgt:
[Dateianhang nicht öffentlich]
Schön wäre es wenn die Aufgabe nun schohn fertig wäre. Aber ich soll jetzt noch f in [mm] f_{g} [/mm] (gerade) und [mm] f_{u} [/mm] (ungerade zerlegen).
Ich schätze also etwas in der Form wie [mm] f=f_{g}+f_{u}.
[/mm]
gerade heißt ja nichts anderes als das f(x)=f(-x)
ungerade heißt ja nichts anderes als das -f(x)=f(-x)
Nun weiß ich leider nicht, wie ich das genau auf meine Aufgabe anwenden kann.
Aber ich versuche es mal...
Auf dem Intervall [mm] -\pi [/mm] bis [mm] -\bruch{\pi}{2}
[/mm]
[mm] f(-(-\pi))=\pi+\pi=2\pi \Rightarrow [/mm] Gerade
[mm] f(-(-\bruch{\pi}{2}))=\bruch{\pi}{2}+\pi=\bruch{3\pi}{2} \Rightarrow [/mm] Gerade
Auf dem Intervall [mm] -\bruch{\pi}{2} [/mm] bis [mm] \bruch{\pi}{2}
[/mm]
Hier ist die Funktion gerade (Ohne rechnen)
Auf dem Intervall [mm] \bruch{\pi}{2} [/mm] bis [mm] \pi
[/mm]
[mm] f(-(\bruch{\pi}{2}))=-\bruch{\pi}{2} \Rightarrow [/mm] Ungerade
[mm] f(-(\pi)=-\pi \Rightarrow [/mm] Ungerade
Aber ich bin mir nicht sicher, ob das so korrekt ist...
mfg thadod
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: JPG) [nicht öffentlich]
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:48 Mi 03.11.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
du kannst nicht ne Funktion nur auf einem Intervall angucken, etwa [mm] -\pi [/mm] bis [mm] -\pi/2 [/mm] und dann sagen sie ist gerade oder ungerade.
Da du die Zeichnung ja vor dir hast, solltest du sehen, wenn du die gesamte fkt f(x) um [mm] \pi/2 [/mm] nach unten verschiebst, ist sie ungerade.
also [mm] f_u=f(x)-\pi/2 [/mm] findest du jetzt [mm] f_g?
[/mm]
Aber man sieht es ja nicht immer so schön. deshalb wenn man irgend ne fkt hat, ist immer g(x)=(f(x)+f(-x))/2 gerade (zeig es!) und find nen entsprechenden Ausdruck um aus f(x) und f(-x) ne ungerade fkt zu basteln.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:15 Mi 03.11.2010 | | Autor: | thadod |
> Hallo
> du kannst nicht ne Funktion nur auf einem Intervall
> angucken, etwa [mm]-\pi[/mm] bis [mm]-\pi/2[/mm] und dann sagen sie ist
> gerade oder ungerade.
> Da du die Zeichnung ja vor dir hast, solltest du sehen,
> wenn du die gesamte fkt f(x) um [mm]\pi/2[/mm] nach unten
> verschiebst, ist sie ungerade.
> also [mm]f_u=f(x)-\pi/2[/mm] findest du jetzt [mm]f_g?[/mm]
> Aber man sieht es ja nicht immer so schön. deshalb wenn
> man irgend ne fkt hat, ist immer g(x)=(f(x)+f(-x))/2 gerade
> (zeig es!) und find nen entsprechenden Ausdruck um aus
> f(x) und f(-x) ne ungerade fkt zu basteln.
> Gruss leduart
>
Okay. Also erstmal dann zu der Zerlegung
Es sollte ja dann wie folgt aussehen, wenn ich nun in gerade und ungerade zerlegen möchte:
[mm] f(x)=\bruch{f(x)}{2}+\bruch{f(x)}{2}=\bruch{f(x)}{2}+\bruch{f(x)}{2}+\bruch{f(-x)}{2}-\bruch{f(-x)}{2}
[/mm]
[mm] \Rightarrow f(x)=\bruch{f(x)+f(-x)}{2}+\bruch{f(x)-f(-x)}{2}
[/mm]
mit [mm] f_{g}=\bruch{f(x)+f(-x)}{2} [/mm] (gerade)
mit [mm] f_{u}=\bruch{f(x)-f(-x)}{2} [/mm] (ungerade)
Das gilt nun aber wahrscheinlich eher allgemein oder?
mfg thadod
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:28 Mi 03.11.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
ja das gilt allgemein, wenn du jetzt dein f in deinen 3 Intervallen einsetzt hast dus speziell.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:15 Mi 03.11.2010 | | Autor: | thadod |
Hallo leduart und danke für die Hilfe.
Wenn ich das jetzt richtig verstanden habe, dann sollte das wie folgt gehen:
gerade ist ja wie bereits berechnet: [mm] f_{g}=\bruch{f(x)+f(-x)}{2}
[/mm]
ungerade ist ja wie bereits berechnet: [mm] f_{u}=\bruch{f(x)-f(-x)}{2}
[/mm]
Für [mm] f(x)=x+\pi [/mm] auf dem Intervall [mm] -\pi \le [/mm] x < [mm] -\bruch{\pi}{2}
[/mm]
[mm] \Rightarrow f_{g}=\bruch{x+\pi+(-x+\pi)}{2}=\pi \Rightarrow \pi [/mm] ist gerade
[mm] \Rightarrow f_{u}=\bruch{x+\pi-(-x+\pi)}{2}=x \Rightarrow [/mm] x ist ungerade
[mm] \Rightarrow f=f_{g}+f_{u}=x+\pi
[/mm]
f ist für das 1. Intervall sowohl gerade als auch ungerade
Für [mm] f(x)=\bruch{\pi}{2} [/mm] auf dem Intervall [mm] -\bruch{\pi}{2} \le [/mm] x [mm] \le \bruch{\pi}{2}
[/mm]
[mm] \Rightarrow f{g}=\bruch{\bruch{\pi}{2}+\bruch{\pi}{2}}{2}=\bruch{\pi}{2} \Rightarrow \bruch{\pi}{2} [/mm] ist gerade
[mm] \Rightarrow f_{u}=\bruch{-\bruch{\pi}{2}-\bruch{\pi}{2}}{2}=0
[/mm]
[mm] \Rightarrow f=f_{g}+f_{u}=\bruch{\pi}{2}
[/mm]
f ist für das 2. Intervall nur gerade
Für f(x)=x auf dem Intervall [mm] \bruch{\pi}{2} [/mm] < x < [mm] \pi
[/mm]
[mm] \Rightarrow f_{g}=\bruch{x+(-x)}{2}=0
[/mm]
[mm] \Rightarrow f_{u}=\bruch{x-(-x)}{2}=x \Rightarrow [/mm] x ist ungerade
[mm] \Rightarrow f=f_{g}+f_{u}=x
[/mm]
f ist für das 3. Intervall nur ungerade
Aber angenommen, ich möchte nun das n - te Fourierpolynom aufstellen... Wie kann ich dann anhand der Aufteilung von f in [mm] f_{g} [/mm] (gerade) und [mm] f_{u} [/mm] (ungerade) insgesamt auf eine gerade oder ungerade Funktion schließen?
Hoffe ihr könnt nochmal drüber schauen.
danke und mit freundlichen grüßen thadod
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Hallo,
es geht um die Zerlegung einer beliebigen Funktion f in [mm] f=f_g+f_u, [/mm] wobei [mm] f_g [/mm] gerade und [mm] f_u [/mm] ungerade ist.
Gefunden hattest Du:
> gerade ist ja wie bereits berechnet:
> [mm]f_{g}=\bruch{f(x)+f(-x)}{2}[/mm]
>
> ungerade ist ja wie bereits berechnet:
> [mm]f_{u}=\bruch{f(x)-f(-x)}{2}[/mm]
Deine Rechnungen an sich, die Du nun ausführst, sind richtig, Aufschrieb und Kommentare allerdings ziemlich grenzwertig.
Richtig wäre es so:
[mm] f_g:\IR\to \IR [/mm] mit
[mm] $f_{g}(x):=\bruch{f(x)+f(-x)}{2}$[/mm] [mm]=\begin{cases} \pi, & \mbox{fuer } -\pi\le x\le -\bruch{\pi}{2} \\
\bruch{\pi}{2}, & \mbox{fuer } -\bruch{\pi}{2}
mit [mm] f_g(x)=f_g(x+2\pi) [/mm] ist gerade,
[mm] f_u:\IR\to \IR [/mm] mit
[mm] $f_{g}(x):=\bruch{f(x)-f(-x)}{2}$$=\begin{cases} x, & \mbox{fuer } -\pi\le x\le -\bruch{\pi}{2} \\ 0, & \mbox{fuer } -\bruch{\pi}{2}
mit [mm] f_u(x)=f_u(x+2\pi) [/mm] ist ungerade,
und es ist [mm] f=f_g+f_u.
[/mm]
> Aber angenommen, ich möchte nun das n - te Fourierpolynom
> aufstellen...
> Wie kann ich dann anhand der Aufteilung von f
> in [mm]f_{g}[/mm] (gerade) und [mm]f_{u}[/mm] (ungerade) insgesamt auf eine
> gerade oder ungerade Funktion schließen?
Überhaupt nicht, es sei denn, es ist von [mm] f_g [/mm] oder [mm] f_u [/mm] eine die Nullfunktion.
Es war doch das Ergebnis der Anstrengungen, die Du zusammen mit leduart unternommen hattest, herauszufinden, wie Du eine beliebige Funktion als Summe einer geraden und einer ungeraden schreiben kannst.
Egal, wie krumm und schief Deine Funktion ist, Du kannst sie schreiben als Summe einer geraden und einer ungeraden Funktion.
Für die Fourierreihe ist die Zerlegung [mm] f=f_g+f_u [/mm] ganz praktisch:
Du berechnest die Fourierreihen von [mm] f_g [/mm] und die von [mm] f_u, [/mm] und am Ende addierst Du sie.
Gruß v. Angela
>
> Hoffe ihr könnt nochmal drüber schauen.
>
> danke und mit freundlichen grüßen thadod
>
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