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| Aufgabe | Gegeben sei die Matrix
A = [mm] \pmat{ 1 & 3 \\ -2 & 4 }
[/mm]
Skizzieren Sie die Menge [mm] \left \{ Ax \ \middle | \ \left\|x\right\|_1 = 1 \right \} [/mm] |
Hallo,
ich tu mich momentan etwas schwer damit zu begreifen, was genau meine Aufgabe ist. Unter "skizzieren" kann man ja Vieles verstehen. Da die Matrix 2-dimensional ist stellt sich die Frage ob etwa eine grafischen Darstellung gefordert ist, oder ob ich einfach einen allgemeinen Vektor x angeben soll, für den die obige Bedingung gilt oder gar beides. Ich habe damit begonnen einen allgemeinen Term aufzustellen, für den die Bedingung der Mengenbeschreibung immer wahr ist, nämlich:
$Ax = A [mm] \frac{u}{\left\|u\right\|}$
[/mm]
Nach meinem Verständnis könnte man die rechte Seite jetzt auch schon als "Skizze" interpretieren, da sie die Mengenbeschreibung in anschaulicherer Form präsentiert.
Meine Fragen sind nun folgende: Gibt es etwas wie eine allgemeine Bedeutung fürs "skizzieren" im Kontext einer solchen Aufgabe oder ist das echt reine Interpretationssache? ist meine Formel richtig? Muss ich diese für eine akzeptable "Skizze" noch weiter vereinfachen oder evtl. in eine andere Form überführen?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:52 So 18.11.2018 | | Autor: | leduart |
Hallo
ich denke schon, dass du allgemein zeigen solltest, was aus einem Vektor auf dem Einheitskreis, also [mm] (cos(/\phi),sin(\phi)) [/mm] wird. wie wird er gedreht, wie verlängert.
|x|=1 als u/|u| schreiben ist ja gegenüber A*x mit |x|=1 keine Skizze einer Menge. eigentlich sollst du wohl zeigen, was aus dem Kreis wird. Wenn deine Darstellung das wirklich "anschaulich" machte müsste du ja die Menge "sehen"
Gruß leduart
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:18 So 18.11.2018 | | Autor: | meili |
Hallo Belserich
und ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> Gegeben sei die Matrix
> A = [mm]\pmat{ 1 & 3 \\ -2 & 4 }[/mm]
> Skizzieren Sie die Menge
> [mm]\left \{ Ax \ \middle | \ \left\|x\right\|_1 = 1 \right \}[/mm]
Ist A eine reelle Matrix und x aus [mm] $\IR^2$?
[/mm]
Wenn mit [mm] $\left\|x\right\|_1$ [/mm] die ![[]](/images/popup.gif) Summennorm gemeint ist, ist [mm] $\left \{ x \in \IR^2 \ \middle | \ \left\|x\right\|_1 = 1 \right \}$ [/mm] kein Kreis
sondern der Rand eines Quadrates mit den Eckpunkten (1;0), (0;1), (-1;0),(0;-1).
Und auf welche Figur wird das durch A abgebildet?
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> Hallo,
> ich tu mich momentan etwas schwer damit zu begreifen, was
> genau meine Aufgabe ist. Unter "skizzieren" kann man ja
> Vieles verstehen. Da die Matrix 2-dimensional ist stellt
> sich die Frage ob etwa eine grafischen Darstellung
> gefordert ist, oder ob ich einfach einen allgemeinen Vektor
> x angeben soll, für den die obige Bedingung gilt oder gar
> beides. Ich habe damit begonnen einen allgemeinen Term
> aufzustellen, für den die Bedingung der Mengenbeschreibung
> immer wahr ist, nämlich:
>
> [mm]Ax = A \frac{u}{\left\|u\right\|}[/mm]
>
> Nach meinem Verständnis könnte man die rechte Seite jetzt
> auch schon als "Skizze" interpretieren, da sie die
> Mengenbeschreibung in anschaulicherer Form präsentiert.
> Meine Fragen sind nun folgende: Gibt es etwas wie eine
> allgemeine Bedeutung fürs "skizzieren" im Kontext einer
> solchen Aufgabe oder ist das echt reine
> Interpretationssache? ist meine Formel richtig? Muss ich
> diese für eine akzeptable "Skizze" noch weiter
> vereinfachen oder evtl. in eine andere Form überführen?
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
Gruß
meili
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Vielen Dank erstmal für die beiden Antworten!
Ich habe das was leduard geschrieben hat leider auch nach mehrmaligem Lesen nicht verstanden, doch es wurde sehr viel klarer nach meili's Antwort.
Hier also meine Ergebnisse: [mm] x_1=(0,1), x_2=(-1,0), x_3=(0,-1) [/mm] und [mm] x_4=(0,1) [/mm] sind jene Vektoren der gegebenen Menge, für die der Betrag von genau einer Komponente maximal ist [mm] (\left\|x_i\right\|_1=1), [/mm] sie bilden die Eckpunkte der geometrischen Form meiner Skizze. Für die Werte u auf der Geraden, die zwei benachbarte Eckpunkte verbindet gilt ebenfalls [mm] \left\|u\right\|_1=1, [/mm] da sie aus Linearinterpolation zwischen den entsprechenden Punkten entstanden sind und somit ihre Komponenten verhältnisgleich bleiben. Veranschaulichen wir die Menge in einem kartesischen Koordinatensystem entspricht ihr Bild dem Rand eines, um 45 Grad rotierten Quadrats. Transformieren wir nun die Eckpunkte und sämtliche Werte u durch die lineare Transformationsmatrix A, wird unser Quadratrand skaliert und geschert. Unser Quadrat ist nun lediglich ein Parallelogramm.
Klingt das schlüssig?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 09:14 Mo 19.11.2018 | | Autor: | fred97 |
> Vielen Dank erstmal für die beiden Antworten!
> Ich habe das was leduard geschrieben hat leider auch nach
> mehrmaligem Lesen nicht verstanden, doch es wurde sehr viel
> klarer nach meili's Antwort.
>
> Hier also meine Ergebnisse: [mm]x_1=(0,1), x_2=(-1,0), x_3=(0,-1)[/mm]
> und [mm]x_4=(0,1)[/mm] sind jene Vektoren der gegebenen Menge, für
> die der Betrag von genau einer Komponente maximal ist
> [mm](\left\|x_i\right\|_1=1),[/mm] sie bilden die Eckpunkte der
> geometrischen Form meiner Skizze. Für die Werte u auf der
> Geraden, die zwei benachbarte Eckpunkte verbindet gilt
> ebenfalls [mm]\left\|u\right\|_1=1,[/mm] da sie aus
> Linearinterpolation zwischen den entsprechenden Punkten
> entstanden sind und somit ihre Komponenten
> verhältnisgleich bleiben. Veranschaulichen wir die Menge
> in einem kartesischen Koordinatensystem entspricht ihr Bild
> dem Rand eines, um 45 Grad rotierten Quadrats.
> Transformieren wir nun die Eckpunkte und sämtliche Werte u
> durch die lineare Transformationsmatrix A, wird unser
> Quadratrand skaliert und geschert. Unser Quadrat ist nun
> lediglich ein Parallelogramm.
>
> Klingt das schlüssig?
Ja, was sind die Eckpunkte dieses Parallelogramms ?
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> Gegeben sei die Matrix
> A = [mm]\pmat{ 1 & 3 \\ -2 & 4 }[/mm]
> Skizzieren Sie die Menge
> [mm]\left \{ Ax \ \middle | \ \left\|x\right\|_1 = 1 \right \}[/mm]
>
Laut Wikipedia ist [mm] \left\|x\right\|_1 [/mm] = [mm] \summe_{i=1}^{n}|x_i|. [/mm] Dann wären die 2-dim. Vektoren [mm] \vektor{x \\ y} [/mm] mit [mm] \left\|x\right\|_1 [/mm] = 1 diejenigen, für die gilt:
x+y=1 oder
x-y=1 oder
-x+y=1 oder
-x-y=1, also von der Form
[mm] \vektor{x \\ 1-x}, \vektor{x \\ -1+x}, \vektor{x \\ 1+x}, \vektor{x \\ -1-x}
[/mm]
und somit nicht die Ecken eines Quadrates, sondern - als Ortsvektoren aufgefasst - Geraden mit den Gleichungen
[mm] g_1: \vec{x}= \vektor{0 \\ 1}+x\vektor{1 \\ -1}
[/mm]
[mm] g_2: \vec{x}= \vektor{0 \\ -1}+x\vektor{1 \\ 1}
[/mm]
[mm] g_3: \vec{x}= \vektor{0 \\ 1}+x\vektor{1 \\ 1}
[/mm]
[mm] g_4: \vec{x}= \vektor{0 \\ -1}+x\vektor{1 \\ -1}
[/mm]
wobei diese Geraden paarweise parallel sind und sich paarweise in (1|0) bzw. (1|1) bzw. (1|0), (0|1), (-1|0) und (0|-1) schneiden, wobei sie ein Quadrat begrenzen.
Diese Geraden kannst du nun der Multiplikation mit A unterwerfen und so 4 Bildgeraden finden. Sind die auch paarweise parallel? Begrenzen sie auch ein Quadrat? (hier reicht es, A mit den 4 o.a. Schnittpunkten zu multiplizieren.
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