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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:41 Do 21.07.2011 | | Autor: | fred97 |
| Aufgabe | Aufgabe (speziell für felixf):
Bestimme alle nichtkonstanten ganzen Funktionen [mm] $f:\IC \to \IC$ [/mm] mit den Eigenschaften:
(1) f(0)=0
und
(2) für jedes c>0 ist die Menge [mm] $A_c:=\{z \in \IC: |f(z)| |
ich bitte darum, dies Aufgabe in der üblichen Weise zu kennzeichnen.
Gruß FRED
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:02 Do 21.07.2011 | | Autor: | felixf |
Noch ein Dummy.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:05 So 24.07.2011 | | Autor: | fred97 |
Schade, dass sich noch keiner mit der Aufgabe beschäftigt hat.
Hinweis: Es gibt ein r>0 mit: $f(z) [mm] \ne [/mm] 0$ für alle $z [mm] \in \overline{K_r(0)} \setminus \{0\}$
[/mm]
[mm] (K_r(0) [/mm] = offene Kreisscheibe um 0 mit Radius r)
Setze $c:= min [mm] ~\{|f(z)|: z \in \partial K_r(0) \}$ [/mm] und betrachte [mm] A_c
[/mm]
FRED
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:48 Mo 25.07.2011 | | Autor: | felixf |
Moin Fred,
> Schade, dass sich noch keiner mit der Aufgabe beschäftigt
> hat.
beschaeftigt schon, aber noch nicht so viel (mangels Zeit)... Aber kommt noch 
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:33 Di 26.07.2011 | | Autor: | felixf |
Moin Fred,
mit deinem Hinweis ist es ja nicht so schwer 
Behauptung: $f$ erfuellt genau dann die Eigenschaft, wenn $f(z) = [mm] z^k$ [/mm] mit $k [mm] \ge [/mm] 1$ ist.
Beweis:
Sei also $f$ mit den geforderten Eigenschaften gegeben. Da $f$ eine Nullstelle in 0 hat und nicht konstant ist, gibt es ein $r > 0$ mit $f [mm] \neq [/mm] 0$ auf [mm] $\overline{K_r(0)} \setminus \{ 0 \}$. [/mm] Sei $c := [mm] \min\{ |f(z)| \mid z \in \partial K_r(0) \}$ [/mm] und betachte [mm] $A_c$. [/mm] Nach der Definition von $c$ ist kein Element aus [mm] $\partial K_r(0)$ [/mm] in [mm] $A_c$ [/mm] enthalten, und da [mm] $A_c$ [/mm] zusammenhaengend ist mit $0 [mm] \in A_c$ [/mm] muss somit [mm] $A_c \subseteq K_r(0)$ [/mm] sein. Weiterhin gilt $|f(z)| [mm] \ge [/mm] c$ fuer alle $z [mm] \not\in \overline{K_r(0)}$, [/mm] also alle $z$ mit $|z| > r$; insbesondere hat $f$ also keine weitere Nullstelle.
Schreibe nun $f(z) = [mm] z^k [/mm] h(z)$ mit $h(0) [mm] \neq [/mm] 0$; dann ist $h$ ganz und nullstellenfrei, und $k [mm] \ge [/mm] 1$. Weiterhin gilt also $|h(z)| [mm] \ge [/mm] c [mm] |z|^{-k}$ [/mm] fuer $|z| > r$, und fuer $g(z) := [mm] \frac{1}{h(z)}$ [/mm] (ebenfalls ganz und nullstellenfrei) gilt $g(z) [mm] \le c^{-1} |z|^k$ [/mm] fuer |z| > c. Damit ist $g$ ein Polynom vom Grad [mm] $\le [/mm] k$ (das war ein Resultat in "meiner" Funktionentheorie-Vorlesung, aus dem wir den Satz von Liouville gefolgert hatten). So ein Polynom ist aber nur dann nullstellenfrei, wenn es konstant ist, womit $g(z) = [mm] \alpha$ [/mm] ist. Daraus folgt $f(z) = [mm] \alpha^{-1} z^k$, [/mm] was zu zeigen war.
Sei nun umgekehrt $f(z) = [mm] z^k$ [/mm] fuer ein $k [mm] \ge [/mm] 1$. Dann ist $|f(z)| = [mm] |z|^k$, [/mm] womit [mm] $A_c [/mm] = [mm] \{ z \in \IC \mid |z| < c^{1/k} \} [/mm] = [mm] K_{c^{1/k}}(0)$ [/mm] offenbar zusammenhaengend [mm] ist$.\qquad\qquad\square$
[/mm]
LG Felix
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:43 Di 26.07.2011 | | Autor: | fred97 |
> Moin Fred,
>
> mit deinem Hinweis ist es ja nicht so schwer
>
> Behauptung: [mm]f[/mm] erfuellt genau dann die Eigenschaft, wenn
> [mm]f(z) = z^k[/mm] mit [mm]k \ge 1[/mm] ist.
Hallo Felix,
Vielleicht hast Du Dich nur vertippt: es sind die Funktionen der Gestalt
[mm]f(z) =C*z^k[/mm] mit [mm]k \ge 1[/mm] und C [mm] \ne [/mm] 0.
>
> Beweis:
> Sei also [mm]f[/mm] mit den geforderten Eigenschaften gegeben. Da [mm]f[/mm]
> eine Nullstelle in 0 hat und nicht konstant ist, gibt es
> ein [mm]r > 0[/mm] mit [mm]f \neq 0[/mm] auf [mm]\overline{K_r(0)} \setminus \{ 0 \}[/mm].
> Sei [mm]c := \min\{ |f(z)| \mid z \in \partial K_r(0) \}[/mm] und
> betachte [mm]A_c[/mm]. Nach der Definition von [mm]c[/mm] ist kein Element
> aus [mm]\partial K_r(0)[/mm] in [mm]A_c[/mm] enthalten, und da [mm]A_c[/mm]
> zusammenhaengend ist mit [mm]0 \in A_c[/mm] muss somit [mm]A_c \subseteq K_r(0)[/mm]
> sein. Weiterhin gilt [mm]|f(z)| \ge c[/mm] fuer alle [mm]z \not\in \overline{K_r(0)}[/mm],
> also alle [mm]z[/mm] mit [mm]|z| > r[/mm]; insbesondere hat [mm]f[/mm] also keine
> weitere Nullstelle.
>
> Schreibe nun [mm]f(z) = z^k h(z)[/mm] mit [mm]h(0) \neq 0[/mm]; dann ist [mm]h[/mm]
> ganz und nullstellenfrei, und [mm]k \ge 1[/mm]. Weiterhin gilt also
> [mm]|h(z)| \ge c |z|^{-k}[/mm] fuer [mm]|z| > r[/mm], und fuer [mm]g(z) := \frac{1}{h(z)}[/mm]
> (ebenfalls ganz und nullstellenfrei) gilt [mm]g(z) \le c^{-1} |z|^k[/mm]
> fuer |z| > c. Damit ist [mm]g[/mm] ein Polynom vom Grad [mm]\le k[/mm] (das
> war ein Resultat in "meiner" Funktionentheorie-Vorlesung,
> aus dem wir den Satz von Liouville gefolgert hatten). So
> ein Polynom ist aber nur dann nullstellenfrei, wenn es
> konstant ist, womit [mm]g(z) = \alpha[/mm] ist. Daraus folgt [mm]f(z) = \alpha^{-1} z^k[/mm],
> was zu zeigen war.
>
> Sei nun umgekehrt [mm]f(z) = z^k[/mm] fuer ein [mm]k \ge 1[/mm]. Dann ist
> [mm]|f(z)| = |z|^k[/mm], womit [mm]A_c = \{ z \in \IC \mid |z| < c^{1/k} \} = K_{c^{1/k}}(0)[/mm]
> offenbar zusammenhaengend ist[mm].\qquad\qquad\square[/mm]
Wie immer: ganz prima
Gruß FRED
>
> LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:56 Di 26.07.2011 | | Autor: | felixf |
Moin Fred,
> > Behauptung: [mm]f[/mm] erfuellt genau dann die Eigenschaft, wenn
> > [mm]f(z) = z^k[/mm] mit [mm]k \ge 1[/mm] ist.
>
> Vielleicht hast Du Dich nur vertippt: es sind die
> Funktionen der Gestalt
>
> [mm]f(z) =C*z^k[/mm] mit [mm]k \ge 1[/mm] und C [mm]\ne[/mm] 0.
aeh, ja, das wollte ich eigentlich geschrieben haben... Es ist ja sofort klar dass ein konstanter Faktor [mm] $\neq [/mm] 0$ an der Bedingung nichts aendert...
LG Felix
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