Spalte- und Zeilenraum Matrix < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:36 Mo 09.01.2006 | | Autor: | gsk |
| Aufgabe | | Gesucht sind alle Matrizen [mm]A \in M_2(K) [/mm] mit der Eigenschaft: Spaltenraum von A = Zeilenraum von A. |
Hallo
Ansatz meinerseits:
wenn A den Rang 0 hat, haben wir nur die Nullmatrix.
Alle Matrizen mit Rang 2 erfüllen die Bedingung, weil die Zeilen- und Spaltenvektoren jeweils den Vektorraum [mm]\IK^2[/mm] aufspannen.
Bei Rang 1 fehlt es mir noch an einen richtigen Ansatz.
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Hallo.
Naja, wie sieht denn eine [mm] $2\times [/mm] 2$-Matrix $a$ mit [mm] $\operatorname{rang}a=1$ [/mm] konkret aus? Das ist eine Matrix mit einem vom Nullvektor verschiedenen Spaltenvektor und die 2. Spalte ist notwendigerweise ein beliebiges Vielfaches der 1. Spalte.
Damit ist doch eigentlich ganz gut weiterzuarbeiten 
Gruß,
Christian
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:20 Mo 09.01.2006 | | Autor: | gsk |
okay und danke
[mm]
\begin{pmatrix}
a_1 & \alpha*a_1 \\
b_1 & \alpha*b_1
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
a_2 & b_2 \\
\beta*a_2 & \beta*b_2
\end{pmatrix}
[/mm]
mit [mm] \left( a_1 \ne 0 \vee b_1 \ne 0 \right) \wedge \left( a_1 \ne 0 \vee b_1 \ne 0 \right)
[/mm]
[mm]
\to a_1=a_2, b_1=\beta*a_2, \alpha*a_1=b_2, \alpha*b_1= \beta*\alpha*a_1 [/mm]
[mm]
a:=a_1, [/mm]
analog mit [mm]b [/mm]
[mm]
\to
\begin{pmatrix}
a & \alpha*a \\
\beta*a & \beta*\alpha*a
\end{pmatrix},
\begin{pmatrix}
\beta*\alpha*b & \alpha*b \\
\beta*b & b
\end{pmatrix},[/mm] mit [mm]a \ne 0 \vee b \ne 0
[/mm]
Da wäre dann wohl richtig, oder?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:05 Di 10.01.2006 | | Autor: | Stefan |
Hallo!
Nein, das stimmt doch nicht. Setze mal $a=1$, [mm] $\alpha=2$ [/mm] und [mm] $\beta=3$.
[/mm]
Dann hast du die Matrix
[mm] $\pmat{1 & 2 \\ 3 & 6}$,
[/mm]
und dort ist der Zeilenraum [mm] $Span\pmat{1 \\ 2}$, [/mm] während der Spaltenraum [mm] $Span\pmat{1 \\ 3}$ [/mm] ist...
Liebe Grüße
Stefan
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:01 Mi 11.01.2006 | | Autor: | Stefan |
Hallo!
Auf die Frage wurde hinreichend reagiert; die rote Statusanzeige resultierte nur aus einem abgebrochenen Antwortversuch.
Viele Grüße
Stefan
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