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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:05 Sa 20.11.2010 | | Autor: | Mandy_90 |
| Aufgabe | Sei A [mm] \in \IQ^{3 \times 4} [/mm] die Matrix [mm] A=\pmat{ 1 & 0 & 3 & -2 \\ 0 & 1 & 1 & -1 \\ 1 & -4 & -1 & 2 }.
[/mm]
1.Man bestimme durch Weglassen von Spalten von A, eine Matrix B [mm] \in \IQ^{3 \times k} [/mm] mit maximal möglicher Spaltenzahl k derart,dass die Spaltenvektoren von B linear unabhängig sind.
2.Man ergänze die Menge der Spaltenvektoren von B zu einer Basis von [mm] \in \IQ^{3} [/mm] mit Hilfe des Austauschsatzes von Steinitz und der Standardbasis von [mm] \in \IQ^{3}. [/mm] |
Hallo,
Ich mache grad diese Aufgabe,bin mir aber unsicher ob ich bei 1. das richtige habe.
Ich hab zunächst die 1.Spalte weggelassen,die anderen drei waren aber linear abhängig,dann die 2. weggelassen,dann waren die restlichen drei auch linear abhängig.Und mit 3. und 4. Spalte das gleiche.
Also ich hab raus,dass 3 Spalten von A nicht linear unabhängig sind,d.h. es müssten zwei sein.
Aber wenn ich zwei anschaue,dann sind die 1. und 2., 1. und 3., 1. und 4., 2. und 3. ... und noch mehr linear unabhängig,dann hab ich ja ganz viele.
Welche Matrix soll ich denn dann nehmen und bei der b) zu einer Basis ergänzen?
Oder hab ich mich vertan und drei Spalten sind doch linear unabhängig?
lg
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Hallo Mandy,
> Ich mache grad diese Aufgabe,bin mir aber unsicher ob ich
> bei 1. das richtige habe.
> Ich hab zunächst die 1.Spalte weggelassen,die anderen
> drei waren aber linear abhängig,dann die 2.
> weggelassen,dann waren die restlichen drei auch linear
> abhängig.Und mit 3. und 4. Spalte das gleiche.
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Also ich hab raus,dass 3 Spalten von A nicht linear
> unabhängig sind,d.h. es müssten zwei sein.
> Aber wenn ich zwei anschaue,dann sind die 1. und 2., 1.
> und 3., 1. und 4., 2. und 3. ... und noch mehr linear
> unabhängig,dann hab ich ja ganz viele.
Stimmt auch. Da gibt es nicht "ganz viele", sondern 6 Möglichkeiten.
> Welche Matrix soll ich denn dann nehmen und bei der b) zu
> einer Basis ergänzen?
Egal. Such Dir eine aus.
> Oder hab ich mich vertan und drei Spalten sind doch linear
> unabhängig?
>
> lg
Grüße
reverend
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> > Welche Matrix soll ich denn dann nehmen und bei der b) zu
> > einer Basis ergänzen?
>
> Egal. Such Dir eine aus.
>
Ok,dann nehme ich die 2. und 3. Spalte.Also hab ich [mm] B=\pmat{ 0 & 3 \\ 1 & 1 \\ -4 & -1 } [/mm] und soll die Menge der Spaltenvektoren von B zu einer Basis von [mm] \IQ^{3} [/mm] ergänzen mit Hilfe des Austauschsatzes von Steinitz und der Standardbasis von [mm] \IQ^{3}.
[/mm]
Zunächst, wenn ich die Spaltenvektoren zu einer Basis von [mm] \IQ^{3} [/mm] ergänzen will,dann muss doch diese Basis 3 Vektoren haben,also noch einen Vektor dazu oder?
So, und die Standardbasis von [mm] \IQ^{3} [/mm] ist doch [mm] S=\{\vektor{1 \\ 0 \\ 0},\vektor{0 \\ 1 \\ 0},\vektor{0 \\ 0 \\ 1}\}. [/mm] Jetzt kommt der Austauschsatz von Steinitz,der besagt:
"Seien V ein endlich erzeugter k-Vektorraum, m,n [mm] \in \IN_{0}, X=\{x_{1},...,x_{n}\} [/mm] eine linear unabhängige Teilmenge von V, [mm] B=\{b_{1},b_{m}\} [/mm] eine Basis von V.Dann gibt es eine Teilmenge [mm] B'\subsetB [/mm] derart,dass B' [mm] \cap X=\emptyset [/mm] und X [mm] \cup [/mm] B' ist Basis von V."
So, in meinem Fall ist doch [mm] X=\{\vektor{0 \\ 1 \\ -4},\vektor{3 \\ 1 \\ -1}\} [/mm] die linear unabhängige Teilmenge und [mm] B=\{\vektor{1 \\ 0 \\ 0},\vektor{0 \\ 1 \\ 0},\vektor{0 \\ 0 \\ 1}\} [/mm] eine Basis.
Jetzt muss ich eine Teilmenge von B nehmen,also entweder zwei oder einen, aber hier muss ich doch nur einen nehmen oder?
Ist es egal welchen ich nehme,denn für alle drei Vektoren von B gilt:
B' [mm] \cap X=\emptyset [/mm] ?
Dann nehme ich z.B den Vektor [mm] \vektor{1 \\ 0 \\ 0} [/mm] und füge ihn zu X hinzu, dann wäre X [mm] \cup B'=\{\vektor{0 \\ 1 \\ -4},\vektor{3 \\ 1 \\ -1},\vektor{1 \\ 0 \\ 0}\} [/mm] eine Basis von [mm] \IQ^{3}.
[/mm]
Ist das so richtig?
lg
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 00:21 Di 23.11.2010 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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