Spaltenvektoren als Basis < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:04 Mi 19.05.2010 | | Autor: | Jioni |
| Aufgabe | | Bilden die Spalten von A eine Basis des R3? |
Hallo,
ich soll überprüfen, ob die Spaltenvektoren meiner Matrix
A = [mm] \pmat{ 1 & 4 & 1 \\ 1 & 6 & 2 \\ 2 & 3 & 1 }
[/mm]
eine Basis des R³ bilden.
Um dies zu erfüllen, müssen die 3 Vektoren linear unabhängig sein.
Da fängt mein Problem schon an. Wie beweise ich dies mit dem Gaußverfahren?
Zunächst dachte ich an die allgemeine From
[mm] \lambda_{1}v_{1} [/mm] + [mm] \lambda_{2}v_{2}+...+\lambda_{n}v_{n}=0 [/mm]
und wollte dies auf meine Matrix übertragen => Ax=0.
Aber dies ist allerdings die Berechnung des Kerns und so dachte ich daran die Matrix in die NZSF zu bringen, den diese Spaltenvekteoren sind ja linear unabhängig.
Aber irgendwie erscheint mir das nicht richtig zu sein.
Ansonsten kann man zwar per linear Kombination gucken, ob die 3 Vektoren linear unabhängig sind, aber es muss doch noch einen "schöneren" Weg geben oder?
Als drittes hatte ich mir notiert,dass eine Matrix invers ist, wenn die Spaltenvektoren eine Basis von Kn bilden.
Kann man dies auch anders rum benutzen, sodass die Spaltenvektoren eine Basis bilden, wenn die Matrix invers ist?
Ich hoffe, ich habe mich in meinem ersten Beitrag in diesem Forum halbwegs verständlich ausgedrückt.
Ich danke im Voraus für Hilfe und Hinweise.
Jioni
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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> Bilden die Spalten von A eine Basis des R3?
> Hallo,
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> ich soll überprüfen, ob die Spaltenvektoren meiner Matrix
> A = [mm]\pmat{ 1 & 4 & 1 \\ 1 & 6 & 2 \\ 2 & 3 & 1 }[/mm]
> eine
> Basis des R³ bilden.
>
> Um dies zu erfüllen, müssen die 3 Vektoren linear
> unabhängig sein.
> Da fängt mein Problem schon an. Wie beweise ich dies mit
> dem Gaußverfahren?
>
> Zunächst dachte ich an die allgemeine From
> [mm]\lambda_{1}v_{1}[/mm] + [mm]\lambda_{2}v_{2}+...+\lambda_{n}v_{n}=0[/mm]
> und wollte dies auf meine Matrix übertragen => Ax=0.
> Aber dies ist allerdings die Berechnung des Kerns und so
> dachte ich daran die Matrix in die NZSF zu bringen, den
> diese Spaltenvekteoren sind ja linear unabhängig.
Hallo,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") .
Du bist auf dem richtigen Weg.
Die Vektoren sind linear unabhängig, wenn
> [mm]\lambda_{1}v_{1}[/mm] + [mm]\lambda_{2}v_{2}+...+\lambda_{n}v_{n}=0[/mm]
nur die eine Lösung [mm] \lambda_1=...=\lambda_n=0 [/mm] hat.
Von daher ist es völlig richtig, wenn Du Dir den Kern der Matrix A anschaust, also Ax=0 löst.
Besteht der Kern nur aus dem Nullvektor,
ist also [mm] \vektor{\lambda_1\\\lambda_2\\\lambda_3}=\vektor{0\\0\\0} [/mm] die einzige Lösung, so sind die Vektoren linear unabhängig, andernfalls abhängig.
> Als drittes hatte ich mir notiert,dass eine Matrix invers
> ist, wenn die Spaltenvektoren eine Basis von Kn bilden.
>
> Kann man dies auch anders rum benutzen, sodass die
> Spaltenvektoren eine Basis bilden, wenn die Matrix invers
> ist?
Ja. Wenn die Determinante der Matrix [mm] \not=0 [/mm] ist, ist die Matrix invertierbar.
Du kannst die Unabhängigkeit also auch mit der Determinante prüfen.
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:39 Mi 19.05.2010 | | Autor: | Jioni |
Super, vielen Dank für deine Hilfe :)
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