Spatprodukt bilden < Skalarprodukte < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:09 So 14.11.2010 | | Autor: | Shizo |
| Aufgabe 1 | Die drei Punkte A=(3,a,5), B=(-1,1,2), C=(-3,6,-2) spannen im [mm] \IR^{3} [/mm] ein Dreieck auf (a [mm] \in \IR).
[/mm]
Verschiebt man dieses Dreieck durch den Vektor [mm] \overrightarrow{v}= \vektor{-\bruch{2}{3}\\ 1 \\ 3}, [/mm] so überstreicht es ein Prisma im Raum.
(i) Wie groß ist das Volumen V dieses Prismas? (Hinweis: Betrachten Sie das Spatprodukt von [mm] \overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC} [/mm] und [mm] \overrightarrow{v}).
[/mm]
(ii) Bestimmen Sie a so, dass V = 0 wird. Was bedeutet dies geometrisch für die Vektoren [mm] \overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC} [/mm] und [mm] \overrightarrow{v}? [/mm] |
| Aufgabe 2 | (b) Gegeben seien die Geraden
g1: [mm] \overrightarrow{r} [/mm] = [mm] \vektor{-1 \\ 2 \\ -3} [/mm] + [mm] t\vektor{-\bruch{1}{2} \\ \bruch{1}{3} \\ 1} [/mm] (t [mm] \in \IR)
[/mm]
g2: [mm] \overrightarrow{r} [/mm] = [mm] \vektor{-4 \\ 4 \\ 3} [/mm] + [mm] s\vektor{-3 \\ 2 \\ 6} [/mm] (s [mm] \in \IR)
[/mm]
g3: [mm] \overrightarrow{r} [/mm] = [mm] \vektor{-2 \\ 3 \\ -1} [/mm] + [mm] v\vektor{2 \\ -2 \\ -1} [/mm] (v [mm] \in \IR)
[/mm]
Welche Lage haben die Geraden
(i) g1 und g2 zueinander?
(ii) g2 zu g3 zueinander? |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Ich bin der Meinung, ich weiß, wie man die Aufgabe zu lösen hat. Habe aber dennoch Schwierigkeiten eine gescheite Lösung zu finden. Mein Ansatz war bisher dieser:
(i) Bilde die Vektoren [mm] \overrightarrow{AB} [/mm] und [mm] \overrightarrow{AC} [/mm] nach folgendem Prinzip:
[mm] \overrightarrow{AB}= [/mm] B-A und [mm] \overrightarrow{AC}= [/mm] C-A.
Gesagt getan:
[mm] \overrightarrow{AB}= \vektor{-4 \\ 1-a \\ -3} [/mm] und [mm] \overrightarrow{AC}= \vektor{-6 \\ 6-a \\ -7}
[/mm]
Als nächstes bilde ich das Spatprodukt:
[mm] (\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC})\overrightarrow{v}
[/mm]
Hierfür erhalte ich dann ein sehr seltsames Ergebnis. Habe es mehrfach nachgerechnet. Meine Lösung schicke ich dann, wenn ich wieder zu Hause bin.
Habe ich es richtig interpretiert, dass ich durch das Spatprodukt [mm] (\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC})\overrightarrow{v} [/mm] das Volumen berechnen kann.
Für Tipps würde ich mich wahnsinnig freuen.
Gruß
Anton
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Hallo Shizo,
> Die drei Punkte A=(3,a,5), B=(-1,1,2), C=(-3,6,-3) spannen
> im [mm]\IR^{3}[/mm] ein Dreieck auf (a [mm]\in \IR).[/mm]
> Verschiebt man
> dieses Dreieck durch den Vektor [mm]\overrightarrow{v}= \vektor{-\bruch{2}{3}\\ 1 \\ 3},[/mm]
> so überstreicht es ein Prisma im Raum.
>
> (i) Wie groß ist das Volumen V dieses Prismas? (Hinweis:
> Betrachten Sie das Spatprodukt von [mm]\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC}[/mm]
> und [mm]\overrightarrow{v}).[/mm]
> (ii) Bestimmen Sie a so, dass V = 0 wird. Was bedeutet
> dies geometrisch für die Vektoren [mm]\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC}[/mm]
> und [mm]\overrightarrow{v}?[/mm]
> (b) Gegeben seien die Geraden
>
> g1: [mm]\overrightarrow{r}[/mm] = [mm]\vektor{-1 \\ 2 \\ -3}[/mm] +
> [mm]t\vektor{-\bruch{1}{2} \\ \bruch{1}{3} \\ 1}[/mm] (t [mm]\in \IR)[/mm]
>
> g2: [mm]\overrightarrow{r}[/mm] = [mm]\vektor{-4 \\ 4 \\ 3}[/mm] +
> [mm]s\vektor{-3 \\ 2 \\ 6}[/mm] (s [mm]\in \IR)[/mm]
>
> g3: [mm]\overrightarrow{r}[/mm] = [mm]\vektor{-2 \\ 3 \\ -1}[/mm] +
> [mm]v\vektor{2 \\ -2 \\ -1}[/mm] (v [mm]\in \IR)[/mm]
>
> Welche Lage haben die Geraden
> (i) g1 und g2 zueinander?
> (ii) g2 zu g3 zueinander?
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
> Ich bin der Meinung, ich weiß, wie man die Aufgabe zu
> lösen hat. Habe aber dennoch Schwierigkeiten eine
> gescheite Lösung zu finden. Mein Ansatz war bisher
> dieser:
>
> (i) Bilde die Vektoren [mm]\overrightarrow{AB}[/mm] und
> [mm]\overrightarrow{AC}[/mm] nach folgendem Prinzip:
> [mm]\overrightarrow{AB}=[/mm] B-A und [mm]\overrightarrow{AC}=[/mm] C-A.
>
> Gesagt getan:
> [mm]\overrightarrow{AB}= \vektor{-4 \\ 1-a \\ -3}[/mm] und
> [mm]\overrightarrow{AC}= \vektor{-6 \\ 6-a \\ -7}[/mm]
Der Vektor [mm]\overrightarrow{AC}[/mm] lautet doch:
[mm]\overrightarrow{AC}= \vektor{-6 \\ 6-a \\ -\red{8}}[/mm]
>
> Als nächstes bilde ich das Spatprodukt:
>
> [mm](\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC})\overrightarrow{v}[/mm]
>
> Hierfür erhalte ich dann ein sehr seltsames Ergebnis. Habe
> es mehrfach nachgerechnet. Meine Lösung schicke ich dann,
> wenn ich wieder zu Hause bin.
>
> Habe ich es richtig interpretiert, dass ich durch das
> Spatprodukt
> [mm](\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC})\overrightarrow{v}[/mm]
> das Volumen berechnen kann.
Ja, das hast Du richtig interpretiert.
>
> Für Tipps würde ich mich wahnsinnig freuen.
>
> Gruß
>
> Anton
Gruss
MathePower
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:02 So 14.11.2010 | | Autor: | Shizo |
Uups, ein Tippfehler meinerseits! Habs eben korrigiert.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:51 Mo 15.11.2010 | | Autor: | Shizo |
Gut. Als nächstes bilden wir das Kreuzprodukt mit [mm] \overrightarrow{AB} \times\overrightarrow{AC}.
[/mm]
[mm] \overrightarrow{AB}= \vektor{-4 \\ (1-a) \\ -3}\times \vektor{-6 \\ (6-a) \\ -7}=\overrightarrow{AC}
[/mm]
[mm] \vektor{-4 \\ (1-a) \\ -3}\times \vektor{-6 \\ (6-a) \\ -7} [/mm] = [mm] \vektor{(1-a)(-7) - (-3)(6-a)\\ (-3)(-6) - (-4)(-7) \\ (-4)(6-a) - (1-a)(-6)} [/mm] = [mm] \vektor{-7+7a - (-18+3a) \\ 18 - 28 \\ -24 + 4a - (-6+6a)} [/mm] = [mm] \vektor{ 4a+11 \\ -10 \\ -2a -18}
[/mm]
So und nun zu [mm] (\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC})*\overrightarrow{v}
[/mm]
[mm] \vektor{ 4a+11 \\ -10 \\ -2a -18}*\vektor{ -\bruch{2}{3} \\ 1 \\ 3}
[/mm]
[mm] =(4a+11)*(-\bruch{2}{3}) [/mm] + [mm] (-10)*(-\bruch{2}{3}) [/mm] + (-2a [mm] -18)*(-\bruch{2}{3})
[/mm]
[mm] =-\bruch{26}{3}a [/mm] - [mm] \bruch{214}{3}
[/mm]
Ist das jetzt mein finales Ergebnis, also sprich mein Volumen?
Für (ii) muss ich doch nur noch nach a umstellen und würde somit
[mm] a=-\bruch{107}{13} [/mm] bekommen.
Ich habe für (ii) noch folgenden Satz gefunden:
Für V = 0 gilt a,b,c sind linear abhängig. Aber was heißt das denn, wenn wir das geometrisch betrachten.
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Hallo Shizo,
das ist mir zuviel nachzurechnen. Der Weg ist aber richtig.
> Ich habe für (ii) noch folgenden Satz gefunden:
>
> Für V = 0 gilt a,b,c sind linear abhängig. Aber was
> heißt das denn, wenn wir das geometrisch betrachten.
Na, welches Gebilde spannen denn zwei linear unabhängige Vektoren auf? Darin befindet sich dann auch der dritte, der aus einer Linearkombination der ersten beiden dargestellt werden kann.
Die Antwort musst Du aber so formulieren, dass auch der Fall abgedeckt ist, dass $ [mm] \vec{a},\ \vec{b},\ \vec{c} [/mm] $ alle kollinear sind, was ja auch möglich ist.
Grüße
reverend
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:16 Mo 15.11.2010 | | Autor: | weduwe |
ich erhalte (fast) dasselbe ergebnis für V, aber wesentlich einfacher 
[mm] V=\frac{1}{2}\overrightarrow{BC}\times\vec{v}\cdot \overrightarrow{BA}=\vektor{19\\\frac{2}{3}\\\frac{4}{3}}\cdot\vektor{4\\a-1\\3}=\frac{1}{3}(107+13a)
[/mm]
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Hallo Shizo,
> Gut. Als nächstes bilden wir das Kreuzprodukt mit
> [mm]\overrightarrow{AB} \times\overrightarrow{AC}.[/mm]
>
> [mm]\overrightarrow{AB}= \vektor{-4 \\ (1-a) \\ -3}\times \vektor{-6 \\ (6-a) \\ -7}=\overrightarrow{AC}[/mm]
>
> [mm]\vektor{-4 \\ (1-a) \\ -3}\times \vektor{-6 \\ (6-a) \\ -7}[/mm]
> = [mm]\vektor{(1-a)(-7) - (-3)(6-a)\\ (-3)(-6) - (-4)(-7) \\ (-4)(6-a) - (1-a)(-6)}[/mm]
> = [mm]\vektor{-7+7a - (-18+3a) \\ 18 - 28 \\ -24 + 4a - (-6+6a)}[/mm]
> = [mm]\vektor{ 4a+11 \\ -10 \\ -2a -18}[/mm]
>
> So und nun zu
> [mm](\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC})*\overrightarrow{v}[/mm]
>
> [mm]\vektor{ 4a+11 \\ -10 \\ -2a -18}*\vektor{ -\bruch{2}{3} \\ 1 \\ 3}[/mm]
>
> [mm]=(4a+11)*(-\bruch{2}{3})[/mm] + [mm](-10)*(-\bruch{2}{3})[/mm] + (-2a
> [mm]-18)*(-\bruch{2}{3})[/mm]
>
> [mm]=-\bruch{26}{3}a[/mm] - [mm]\bruch{214}{3}[/mm]
>
> Ist das jetzt mein finales Ergebnis, also sprich mein
> Volumen?
Nein, da die Grundfläche ein Dreieck ist, ist das erhaltene Volumen
noch durch 2 zu dividieren. Und da es keine negativen Volumen gibt,
ergibt sich:
[mm]V=\bruch{1}{2}*\vmat{-\bruch{26}{3}a - \bruch{214}{3}}[/mm]
>
> Für (ii) muss ich doch nur noch nach a umstellen und
> würde somit
> [mm]a=-\bruch{107}{13}[/mm] bekommen.
Das ist richtig. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> Ich habe für (ii) noch folgenden Satz gefunden:
>
> Für V = 0 gilt a,b,c sind linear abhängig. Aber was
> heißt das denn, wenn wir das geometrisch betrachten.
Nun, das heißt, daß a,b und c in einer Ebene liegen.
Gruss
MathePower
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:21 Di 16.11.2010 | | Autor: | Shizo |
Ich wollte mich für eure Mühe bedanken.
Ihr habt mir sehr weitergeholfen. Thumbs Up!!!
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