Spektralradius < Lin. Gleich.-systeme < Numerik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 12:21 So 06.02.2005 | | Autor: | Karl_Pech |
Hi Leute,
Tja, wie ihr seht habe ich noch viel mehr Fragen zu Numerik. :-(
Ich wollte nur wissen, ob ich den Spektralradius für [m]A: = \left( {\begin{array}{*{20}c}
4 & 4 & 0 \\
3 & 3 & 5 \\
0 & 4 & 1 \\
\end{array} } \right)[/m] richtig bestimmt habe.
Sei also A wie vorhin, dann:
[m]\begin{gathered}
\det \left( {A - \lambda E} \right) = \left| {\begin{array}{*{20}c}
{4 - \lambda } & 4 & 0 \\
3 & {3 - \lambda } & 5 \\
{\mathop 0\limits^\begin{subarray}{l}
\left\textcolor{green}{\textsc{(+}} \right\textcolor{green}{\textsc{)}} \\
\end{subarray} } & {\mathop 4\limits^\begin{subarray}{l}
\left\textcolor{green}{( -} \right\textcolor{green}{)} \\
\end{subarray} } & {\mathop {1 - \lambda }\limits^\begin{subarray}{l}
\left\textcolor{green}{\textsc{(+}} \right\textcolor{green}{\textsc{)}} \\
\end{subarray} } \\
\end{array} } \right| = - 4\left| {\begin{array}{*{20}c}
{4 - \lambda } & 0 \\
3 & 5 \\
\end{array} } \right| + \left( {1 - \lambda } \right)\left| {\begin{array}{*{20}c}
{4 - \lambda } & 4 \\
3 & {3 - \lambda } \\
\end{array} } \right| \hfill \\
= - 4\left( {20 - 5\lambda } \right) + \left( {1 - \lambda } \right)\left( {\left( {4 - \lambda } \right)\left( {3 - \lambda } \right) - 12} \right) = - 80 + 13\lambda + 8\lambda ^2 - \lambda ^3 \hfill \\
\mathop \Rightarrow \limits^{{\text{Spektrum}}} \sigma \left( A \right) \approx \left\{ {2.9,\, - 3.3,\,8.4} \right\}\mathop \Rightarrow \limits^{{\text{Spektralradius}}} r_\sigma \left( A \right) = \mathop {\max }\limits_{\lambda \in \sigma \left( A \right)} \left| \lambda \right| = 8.4\not < 1\,. \hfill \\
\end{gathered}[/m]
Ich nehme an, daß es dann kein Näherungsverfahren gibt mit dem man ein Gleichungssystem mit A näherungsweise lösen könnte, richtig?
Und wie ist das eigentlich mit der Bedingung [mm] $r_\sigma\left(A\right) [/mm] < 1$. Wenn man das gezeigt hat, braucht man alle anderen Kriterien nicht mehr zu überprüfen, oder?
Grüße
Karl
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:32 So 06.02.2005 | | Autor: | Stefan |
Hallo Karl!
Dein Berechnungen stimmen schon mal. Was mir aber nicht klar ist, ist dein Vorgehen. Warum berechnest du den Spektralradius von $A$?
Ich denke mal du willst ein LGS $Ax=b$ iterativ lösen.
Dann musst du nicht den Spektralradius von $A$ ausrechnen (der ist völlig unbedeutend), sondern den Spektralradius der Iterationsmatrix, die von dem Verfahren abhängt, für das du dich entscheidest.
Ist der Spektralradius der Iterationsmatrix kleiner als $1$, dann konvergiert das Iterationsverfahren.
Liebe Grüße
Stefan
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Hallo Stefan,
> Dein Berechnungen stimmen schon mal. Was mir aber nicht
> klar ist, ist dein Vorgehen. Warum berechnest du den
> Spektralradius von [mm]A[/mm]?
>
> Ich denke mal du willst ein LGS [mm]Ax=b[/mm] iterativ lösen.
>
> Dann musst du nicht den Spektralradius von [mm]A[/mm] ausrechnen
> (der ist völlig unbedeutend), sondern den Spektralradius
> der Iterationsmatrix, die von dem Verfahren abhängt, für
> das du dich entscheidest.
>
> Ist der Spektralradius der Iterationsmatrix kleiner als [mm]1[/mm],
> dann konvergiert das Iterationsverfahren.
>
> Liebe Grüße
> Stefan
Das habe ich nicht gewußt. Dann versuche ich es nochmal:
Wir wollen wissen, ob das Einzelschrittverfahren für [m]A: = \left( {\begin{array}{*{20}c}
4 & 4 & 0 \\
3 & 3 & 5 \\
0 & 4 & 1 \\
\end{array} } \right)[/m] hier zum Erfolg führt:
Die Iterationsmatrix ist: [m] - \left( {L + D} \right)^{ - 1} R = \left( {\begin{array}{*{20}c}
0 & { - 1} & 0 \\
0 & 1 & { - \frac{5}
{3}} \\
0 & { - 4} & {\frac{{20}}
{3}} \\
\end{array} } \right)[/m]. Und somit gibt es hier keine Eigenwerte und ... ja was dann? Der Spektrum ist hier eine leere Menge und daher gibt es kein max. Element also auch keinen Spektralradius und daher ... ?
War das jetzt so ok?
Danke!
Grüße
Karl
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:00 So 06.02.2005 | | Autor: | Stefan |
Hallo Karl!
Ohne deine Rechnung nachvollzogen zu haben:
Deine Aussage kann gar nicht richtig sein! Denn da ein reelles Polynom ungeraden Grades immer eine reelle Nullstelle hat, kann das Spektrum einer solchen gar nicht leer sein. Und hier sieht man ja auch sofort, dass $0$ ein Eigenwert ist.
Also: Neuer Versuch, bitte! 
Kennst du denn für das Einzeschrittverfahren keine handlicheren Kriterien als die über den Spektralradius?
Liebe Grüße
Stefan
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Hallo Stefan,
> Deine Aussage kann gar nicht richtig sein! Denn da ein
> reelles Polynom ungeraden Grades immer eine reelle
> Nullstelle hat, kann das Spektrum einer solchen gar nicht
> leer sein. Und hier sieht man ja auch sofort, dass [mm]0[/mm] ein
> Eigenwert ist.
> Also: Neuer Versuch, bitte!
Auf los geht's los:
E.Z.: [m]x^{\left( {i + 1} \right)} : = \underbrace { - \left( {L + D} \right)^{ - 1} R}_{{\text{Iterationsmatrix}}}x^{\left( i \right)} + \left( {L + D} \right)^{ - 1} b[/m]. Also:
[m]\begin{gathered}
- \left( {L + D} \right)^{ - 1} R = - \left( {\left( {\begin{array}{*{20}c}
0 & 0 & 0 \\
3 & 0 & 0 \\
0 & 4 & 0 \\
\end{array} } \right) + \left( {\begin{array}{*{20}c}
4 & 0 & 0 \\
0 & 3 & 0 \\
0 & 0 & 1 \\
\end{array} } \right)} \right)^{ - 1} \left( {\begin{array}{*{20}c}
0 & 4 & 0 \\
0 & 0 & 5 \\
0 & 0 & 0 \\
\end{array} } \right) \hfill \\
= - \left( {\begin{array}{*{20}c}
4 & 0 & 0 \\
3 & 3 & 0 \\
0 & 4 & 1 \\
\end{array} } \right)^{ - 1} \left( {\begin{array}{*{20}c}
0 & 4 & 0 \\
0 & 0 & 5 \\
0 & 0 & 0 \\
\end{array} } \right)\mathop = \limits^{{\text{Nebenrechnung}}} \left( {\begin{array}{*{20}c}
{\frac{1}
{4}} & 0 & 0 \\
{ - \frac{1}
{4}} & {\frac{1}
{3}} & 0 \\
1 & { - \frac{4}
{3}} & 1 \\
\end{array} } \right)\left( {\begin{array}{*{20}c}
0 & 4 & 0 \\
0 & 0 & 5 \\
0 & 0 & 0 \\
\end{array} } \right) \hfill \\
= \left( {\begin{array}{*{20}c}
0 & 1 & 0 \\
0 & { - 1} & {\frac{5}
{3}} \\
0 & 4 & { - \frac{{20}}
{3}} \\
\end{array} } \right) \hfill \\
\end{gathered}[/m]
Nebenrechnung:
Im Folgenden rechne ich immer mit der linken Matrix und schreibe die Koeffizienten in die rechte Matrix.
[mm]\begin{pmatrix}4&0&0\\3&3&0\\0&4&1\end{pmatrix};\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}[/mm]
"Zeile 2" := "Zeile 2" - "Zeile 1"*(3/4)
[mm]\begin{pmatrix}4&0&0\\0&3&0\\0&4&1\end{pmatrix};\begin{pmatrix}1&0&0\\-\frac{3}{4}&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}[/mm]
"Zeile 1" := "Zeile 1"/4; "Zeile 2" := "Zeile 2"/3
[mm]\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&4&1\end{pmatrix};\begin{pmatrix}\frac{1}{4}&0&0\\-\frac{1}{4}&\frac{1}{3}&0\\0&0&1\end{pmatrix}[/mm]
"Zeile 3" := "Zeile 3" - "Zeile 2"*4
[mm]\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix};\begin{pmatrix}\frac{1}{4}&0&0\\-\frac{1}{4}&\frac{1}{3}&0\\1&-\frac{4}{3}&1\end{pmatrix}[/mm]
Jetzt die Eigenwerte:
[m]\begin{gathered}
\left( {\begin{array}{*{20}c}
{0 - \lambda } & 1 & 0 \\
0 & { - 1 - \lambda } & {\frac{5}
{3}} \\
0 & 4 & { - \frac{{20}}
{3} - \lambda } \\
\end{array} } \right) = \left( {0 - \lambda } \right)\left| {\begin{array}{*{20}c}
{ - \left( {1 + \lambda } \right)} & {\frac{5}
{3}} \\
4 & { - \frac{{20}}
{3} - \lambda } \\
\end{array} } \right| \hfill \\
= - \lambda \left( { - \left( {1 + \lambda } \right)\left( { - \frac{{20}}
{3} - \lambda } \right) - \frac{{20}}
{3}} \right) = - \lambda \left( {\left( {1 + \lambda } \right)\left( {\frac{{20}}
{3} + \lambda } \right) - \frac{{20}}
{3}} \right) \hfill \\
= \lambda \left( {\frac{{20}}
{3} - \left( {1 + \lambda } \right)\left( {\frac{{20}}
{3} + \lambda } \right)} \right) = \lambda \left( {\frac{{20}}
{3} - \frac{{20}}
{3} - \lambda - \frac{{20}}
{3}\lambda - \lambda ^2 } \right) \hfill \\
= \lambda \left( { - \frac{{23}}
{3}\lambda - \lambda ^2 } \right) = - \frac{{23}}
{3}\lambda ^2 - \lambda ^3 = - \lambda ^2 \left( {\lambda + \frac{{23}}
{3}} \right) \hfill \\
\end{gathered}[/m]
Und damit konvergiert das Einzelschrittverfahren, weil der größte Eigenwert hier 0 ist. Richtig?
> Kennst du denn für das Einzeschrittverfahren keine
> handlicheren Kriterien als die über den Spektralradius?
Ich kenne z.B. das Sassenfeld-Kriterium oder das starke Zeilensummenkriterium. Aber in diesem Fall scheinen sie alle fehlgeschlagen zu sein. Nach diesen Kriterien funktioniert es einfach nicht mit der obigen Matrix.
Viele Grüße
Karl
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![[a]](/images/paperclip.gif "Dateianhänge"){kind=small}
[Bild Nr. 1 (fehlt/gelöscht)]
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]"){kind=small}
Es geht um den betragsmäßig größten Eigenwert. Und der ist betragsmäßig größer als $1$, d.h. das Kriterium ist nicht anwendbar.
