Spektralradius < Funktionalanalysis < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:31 So 20.05.2012 | | Autor: | drossel |
| Aufgabe | X sei ein Banachraum, [mm] A\in [/mm] L(X). Der Spektralradius von A sei definiert durch [mm] r(A)=\limes_{n\rightarrow\infty} [/mm] sup [mm] \wurzel[n]{\parallel A^n \parallel}. [/mm] Zeige:
[mm] r(A)=\limes_{n\rightarrow\infty}\wurzel[n]{\parallel A^n \parallel}=inf_{n\in \IN}\wurzel[n]{\parallel A^n \parallel} [/mm] |
Hi,
ich habe keine Idee wie ich hier zeigen soll, dass der Limes existiert und das Infimum ist. Erst dachte ich mittels der [mm] \epsilon- [/mm] Charakterisierung des Infimums, irgendwie das für alle [mm] \epsilon>0 [/mm] existiert ein [mm] n_0 \in \IN [/mm] sodass [mm] \wurzel[n_0]{\parallel A^{n_0} \parallel}-\epsilon
Grüße
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:28 Mo 21.05.2012 | | Autor: | fred97 |
Versuche folgendes zu zeigen:
Ist [mm] (a_n) [/mm] eine Folge in [mm] \IR [/mm] mit: $0 [mm] \le a_{n+m} \le a_n*a_m$, [/mm] so ist
( [mm] \wurzel[n]{a_n}) [/mm] konvergent und der GW ist inf { [mm] \wurzel[k]{a_k}: [/mm] k [mm] \in \IN [/mm] }.
Wenn Du das hast, betrachte [mm] a_n:=||A^n||.
[/mm]
FRED
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 21:55 Mo 21.05.2012 | | Autor: | drossel |
Also die Voraussetzung 0 [mm] \le a_{n+m} \le a_n\cdot{}a_m [/mm] ist erfüllt, weil für zwei Lineare Operatoren A,B [mm] \el [/mm] L(X,Y) gilt [mm] \parallel [/mm] A [mm] \cdot [/mm] B [mm] \parallel \le \parallel [/mm] A [mm] \parallel \cdot \parallel [/mm] B [mm] \parallel [/mm] , also in dem Fall 0 [mm] \le \parallel A^{n+m} \parallel \le \parallel A^n \parallel *\parallel A^m \parallel [/mm] ?
Ich versuche das jetzt mit den Folgen zu zeigen kriege das nicht ganz so hin..hab so bruchstückhaft vielleicht was dazu...
Sei [mm] (a_n) [/mm] eine Folge in [mm] \IR, [/mm] setze a:=inf{ [mm] \wurzel[k]{a_k}: k\in \IN [/mm] }
sei [mm] \epsilon [/mm] >0 will kriegen, dass [mm] |\wurzel[n]{a_n}-a|\le \epsilon [/mm] für genügend große n. Irgentwie brauche ich ja die Voraussetzung(weiss nur nicht wie genau, würde dann deshalb irgendwie schreiben [mm] n\in \IN [/mm] in der Art [mm] n=n_0+m:
[/mm]
Wegen dem Infimum und sei [mm] n_0 [/mm] so, dass [mm] \wurzel[n_0]{a_n_{0} }
[mm] \wurzel[n]{a_n}=(a_n)^{1/n}=(a_n)^{1/n}=(a_{n_{0}+m})^{1/n}\le (a_n_{0}a_m<((a+\epsilon)a_m)^{1/n} [/mm] hmmm... irgendwie gelingt mir das nicht so und weiss nicht so ganz.. Bisher ist irgentwie alles sehr chaotisch, aber wenn ich das gezeigt habe, folgt dann schon die Aussage, die ich ahben wollte übertragen auf der Aufgabe mit dem Spektralradius oder?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:20 Do 24.05.2012 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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