Spektrum < Eigenwerte < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:25 Mi 18.07.2007 | | Autor: | TBS |
| Aufgabe | Matrix = ( x1 - 3x2 + 3x3
3x1 - 5x2 + 3x3
6x1 - 6x2 + 4x3)
Berechnen Sie für T alle Eigenwerte, das Spektrum, eine Basis B des Eigenraums und Mat(T). |
Hallo,
ich habe bei der Aufgabe als Eigenwerte 4 und zwei Mal -2 raus.
ist dann das Spektrum sp(T) = {-2,-2,4}?
Als Eigenvektoren habe ich für E4 = (1 1 2) und für E-2 = (1 1 0) und (0 1 1) ist dann die Basis = {(1 1 2),(1 1 0),(0 1 1)}? Oder muss ich da noch was mit Lin. Hülle von z.B. (1 1 2) einbringen?
Und Mat(T) einfach nur
1 -3 3
3 -5 3
6 -6 4
?
Gruß
Julian
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> Matrix = ( x1 - 3x2 + 3x3
> 3x1 - 5x2 + 3x3
> 6x1 - 6x2 + 4x3)
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> Berechnen Sie für T alle Eigenwerte, das Spektrum, eine
> Basis B des Eigenraums und Mat(T).
> Hallo,
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> ich habe bei der Aufgabe als Eigenwerte 4 und zwei Mal -2
> raus.
> ist dann das Spektrum sp(T) = {-2,-2,4}?
> Als Eigenvektoren habe ich für E4 = (1 1 2) und für E-2 =
> (1 1 0) und (0 1 1) ist dann die Basis = {(1 1 2),(1 1
> 0),(0 1 1)}? Oder muss ich da noch was mit Lin. Hülle von
> z.B. (1 1 2) einbringen?
> Und Mat(T) einfach nur
> 1 -3 3
> 3 -5 3
> 6 -6 4
> ?
Hallo,
ich nehme an, das ist so gedacht:
[mm] T:\IR^3\to\IR^3
[/mm]
[mm] \vektor{x_1 \\ x_2\\x_3}\mapsto \vektor{x_1 -3x_2+ 3x_3 \\ 3x_1 - 5x_2 + 3x_3\\6x_1 - 6x_2 + 4x_3}.
[/mm]
Dann ist Deine Matrix richtig, sofern sie bzgl. der Einheitsbasis gefordert ist.
Die von Dir berechneten Eigenwerte stimmen, ebenso die Eigenvektoren.
Das Spektrum ist die Menge der Eigenwerte. Da es zwei Eigenwerte gibt, enthält das Spektrum zwei Elemente. In Mengen gibt man üblicherweise keine Elemente mehrfach an. Direkt falsch ist es nicht - Du könntest die -2 auch siebenunddreißigmal hinschreiben und die 4 tausendmal.
Das, was Du als Basis B angibst, ist eine Basis des [mm] \IR^3, [/mm] bestehend aus Eigenvektoren.
In der Aufgabe ist das zwar undeutlich ausgedrückt, aber Du sollst hier wohl Basen zu den zu den Eigenwerten -2 und 4 gehörigen Eigenräumen [mm] Eig_{-2} [/mm] und [mm] Eig_4 [/mm] angeben.
Auch dafür benötigst Du die von Dir errechneten Eigenvektoren.
Gruß v. Angela
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