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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:44 Fr 04.04.2014 | | Autor: | mimo1 |
| Aufgabe | | Ist Resolvenemenge p(T) offen, dann ist das Spektrum σ(T) abgeschlossen |
Hallo miteinander,
ich hoffe ihr könnt mir bei diesem "Problem" helfen.
Ich weiß zwar wenn eine Menge offen bzw. abgeschlossen ist, dann ist das Komplement abgeschlossen bzw. offen.
Gilt diese obige "Aussage" immer oder kann die Resolventenmenge auch abgeschlossen sein und somit das Spektrum offen.
Hängt es evtl. auch mit der zu betrachteten lin. Operator bzw. der zu betrachten VR, d.h unend.dim. VR oder endl.dim. VR ab?
Ich bin für jede Erklärung dankbar in diesen Zusammenhang.
Gruß,
mimo1
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Hallo,
> Ist Resolvenemenge p(T) offen, dann ist das Spektrum σ(T)
> abgeschlossen
> Hallo miteinander,
>
> ich hoffe ihr könnt mir bei diesem "Problem" helfen.
Ich hoffe doch!
>
> Ich weiß zwar wenn eine Menge offen bzw. abgeschlossen
> ist, dann ist das Komplement abgeschlossen bzw. offen.
>
> Gilt diese obige "Aussage" immer oder kann die
> Resolventenmenge auch abgeschlossen sein und somit das
> Spektrum offen.
Also ich habe es bis jetzt noch nicht erlebt, dass es eine abgeschlossene Resolventenmenge gibt. Das liegt daran: Ich kenne größtenteils nur die lineare Funktionalanalysis, sodass man sich zumeist mit linearen, beschränkten - oder möglicherweise sogar kompakten - Operatoren beschäftigt. Der Beweis obigen Satzes zeigt dann, dass die Resolv.menge immer offen ist.
Ich kann dir nun also nicht 100%ig sagen, wie sich die Aussage bei einem nichtlinearen Ooperator verhält. Soweit bin ich noch nicht in meinen Studien.
> Hängt es evtl. auch mit der zu betrachteten lin. Operator
> bzw. der zu betrachten VR, d.h unend.dim. VR oder endl.dim.
> VR ab?
Vielleicht sollte man sich den Beweis einfach mal anschauen.
Sei also [mm] A\in{L(X)}, [/mm] X ein Banachraum. Lass uns als Grundkörper [mm] \IC [/mm] nehmen. Sei daher [mm] \lambda\in\IC, [/mm] und [mm] \mu\in\rho(A). [/mm] Dann gilt zunächst die Gleichungskette:
[mm] \lambda*I-A=\mu*I-A+(\lambda-\mu)I=(I-(\m-\lambda)(\mu I-A)^{-1})(\mu{}I-A)
[/mm]
Wir bezeichnen [mm] (\mu*I-A)^{-1}=:R(\mu,A) [/mm] als Resolvente. Nun kommt eine weitere Voraussetzung: Ist nämlich [mm] |\lambda-\mu|\le\Vert{R(\mu,A)}\Vert [/mm] dann ist [mm] (I-(\mu-\lambda)R(\mu,A) [/mm] stetig invertierbar. Stichwort Neumannsche Reihe:
[mm] \sum_{n=0}^{\infty}(\mu-\lambda)^nR(\mu,A)^n
[/mm]
Diese Reihe konvergiert. Insbesondere wissen wir nun auch, dass [mm] \lambda\in\rho(A)
[/mm]
Nun wissen wir also:
[mm] |\lambda-\mu|<\Vert{R(\mu,A)}\Vert^{-1}\gdw\lambda\in{}B(\mu,\Vert{R(\mu,A)}\Vert^{-1})\Rightarrow\lambda\in\rho(A).
[/mm]
Damit ist
[mm] B(\mu,\Vert{R(\mu,A)}\Vert^{-1})\subset\rho(A)
[/mm]
Also [mm] \rho(A) [/mm] offen.
>
> Ich bin für jede Erklärung dankbar in diesen
> Zusammenhang.
Ich hoffe es ist ein bisschen klarer geworden. Den Beweis muss man sich einfach auf der Zunge zergehen lassen. Eigentlich steckt nicht viel dahinter, aber man braucht ein bisschen Wissen zu der Invertierbarkeit von Operatoren.
beste Grüeß
>
> Gruß,
> mimo1
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:21 Sa 05.04.2014 | | Autor: | mimo1 |
Danke für deine Antwort auf meine vorigen Frage, hat mir etwas weitergeholfen, aber man muss es sich ( wie du es so schön ausgedrückt hast:)) erstmal auf der zunge zergehen lassen.
Leider sind noch weitere Frage aufgetaucht, die evtl. "banal" ist, aber für mich noch nicht vertändlich.
Betrachten wir einfach mal einen linearen Operator. Es gibt einen Spektrum, das nur aus den Eigenwerten besteht. Aber das gilt nur im endl.dim. Raum.
Meine Frage jetzt: hängt es vllt auch von der "Art" der lin. Operator ab wie z.B. ob ein lin. Operator beschränkt ( beschränkt in dem Fall vllt nicht, weil jeder endl. dim. Raum beschränkt ist) , aber adjungiert, kompakt ( wobei da, wenn ich es richtig verstanden habe auch die Beschränktheit gilt ( korrigiert mich wenn ich falsch liege)) ist, ob ein Spektrum nur aus den Eigenwert besteht.
kurz: gilt neben das der VR endl. dim sein muss auch noch andere Bedingungen, sodass das Spektrum nur aus den Eigenwerten besteht.
Ich hoffe ich konnte meine Frage verständlich rüberbringen
Bin für jede Hilfe dankbar
Grüße,
mimo1
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Hallo mimo,
wir reden hier doch immer über lineare Operatoren. Also über [mm] T\in{L(X)}, [/mm] wobei X ein Banachraum ist. So sind ja stets die Voraussetzungen für gewisse Sätze (z.B. über Spektren).
Aber es gibt doch auch unendlich-dimensionale Räume, die Banachräume sind. Von daher ist ein endlich-dimensionaler VR nicht zwingend nötig.
Weiter ist ja auch das Spektrum über das Komplement der Resolvente definiert. Die Elemente des Punktspektrum nennt man nur EIgenwerte.
Beste Grüße
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