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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:57 Fr 09.05.2014 | | Autor: | needmath |
| Aufgabe | Zeigen Sie für beliebige m, n [mm] \in \IN
[/mm]
[mm] \integral_{0}^{2 \pi}{cos(mx)cos(nx) dx} [/mm] = [mm] \begin{cases} \pi, & \mbox{falls } n \not=m \\ 0, & \mbox{falls } n =m \end{cases}
[/mm]
Hinweis: Doppelte partielle Integration |
also wenn m = n, dann ist die fläche = 0
und wenn [mm] m\not=n, [/mm] dann ist die fläche = [mm] \pi
[/mm]
bevor ich die zwei mal die partielle intregration anwende, wollte ich fragen ob man hier eine additionstheorie benutzen muss?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:10 Fr 09.05.2014 | | Autor: | Loddar |
Hallo needmath!
> bevor ich die zwei mal die partielle intregration anwende,
> wollte ich fragen ob man hier eine additionstheorie
> benutzen muss?
Nein, m.E. kommt man ohne Additionstheoreme aus.
Additionstheorie wird sich bei partieller Integration nur schwer umgehen lassen. 
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:10 Fr 09.05.2014 | | Autor: | needmath |
hi,
Partielle Integration:
[mm] [\bruch{sin(mx)}{m}*cos(nx)]_{0}^{2\pi} [/mm] + [mm] \bruch{n}{m}\integral_{0}^{2\pi}{sin(mx)*sin(nx) dx}
[/mm]
Doppelte Partielle Integration:
[mm] [\bruch{sin(mx)}{m}*cos(nx)]_{0}^{2\pi} [/mm] + [mm] [\bruch{-cos(mx)}{m}*sin(nx)]_{0}^{2\pi} [/mm] + [mm] \bruch{n}{m}\integral_{0}^{2\pi}{cos(mx)*cos(nx) dx}
[/mm]
Laut voraussetzung gilt dann:
0 = [mm] [\bruch{sin(mx)}{m}*cos(nx)]_{0}^{2\pi} [/mm] + [mm] [\bruch{-cos(mx)}{m}*sin(nx)]_{0}^{2\pi} [/mm] + [mm] \bruch{n}{m}\integral_{0}^{2\pi}{cos(mx)*cos(nx) dx}
[/mm]
[mm] [\bruch{sin(mx)}{m}*cos(nx)]_{0}^{2\pi} [/mm] = [mm] \bruch{sin(m 2\pi) * cos(n 2\pi)}{m}
[/mm]
[mm] [\bruch{-cos(mx)}{m}*sin(nx)]_{0}^{2\pi} [/mm] = [mm] \bruch{-cos(m 2\pi) * sin(n 2\pi)}{m}
[/mm]
für m =n kürzt sich das weg und es bleibt
0 = [mm] \bruch{n}{m}\integral_{0}^{2\pi}{cos(mx)*cos(nx) dx}
[/mm]
hier gilt dann, eines der faktoren muss 0 sein und damit die gleichung gilt.
ist doch richtig soweit oder?
für m [mm] \not= [/mm] n kürzt sich nichts weg wegen den unterschiedlichen winkel:
[mm] \pi [/mm] = [mm] \bruch{sin(m 2\pi) * cos(n 2\pi)-cos(m 2\pi) * sin(n 2\pi)}{m} +\bruch{n}{m}\integral_{0}^{2\pi}{cos(mx)*cos(nx) dx}
[/mm]
wie zeige ich hier das die gleichung stimmt? muss ich hier jetzt eine Additionstheoreme anwenden?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:08 Fr 09.05.2014 | | Autor: | Sax |
Hi,
> Partielle Integration:
>
> [mm][\bruch{sin(mx)}{m}*cos(nx)]_{0}^{2\pi}[/mm] +
> [mm]\bruch{n}{m}\integral_{0}^{2\pi}{sin(mx)*sin(nx) dx}[/mm]
>
Tipp (falls du möchtest) : Wenn du berücksichtigst, dass das Ausgangsintegral invariant gegenüber einer Vertauschung von n und m ist, kannst du hieraus schon erkennen, dass es für $ [mm] n\not= [/mm] m $ den Wert 0 haben muss.
> Doppelte Partielle Integration:
>
> [mm][\bruch{sin(mx)}{m}*cos(nx)]_{0}^{2\pi}[/mm] +
> [mm][\bruch{-cos(mx)}{m}*sin(nx)]_{0}^{2\pi}[/mm] +
> [mm]\bruch{n}{m}\integral_{0}^{2\pi}{cos(mx)*cos(nx) dx}[/mm]
>
Hier hat du den Faktor [mm] \bruch{n}{m} [/mm] aus der vorigen Zeile vergessen.
> Laut voraussetzung gilt dann:
>
> 0 = [mm][\bruch{sin(mx)}{m}*cos(nx)]_{0}^{2\pi}[/mm] +
> [mm][\bruch{-cos(mx)}{m}*sin(nx)]_{0}^{2\pi}[/mm] +
> [mm]\bruch{n}{m}\integral_{0}^{2\pi}{cos(mx)*cos(nx) dx}[/mm]
>
Das ist doch Unsinn !
Du kannst nicht das, was das Ergebnis der Rechnung sein soll, voraussetzen.
>
>
> [mm][\bruch{sin(mx)}{m}*cos(nx)]_{0}^{2\pi}[/mm] = [mm]\bruch{sin(m 2\pi) * cos(n 2\pi)}{m}[/mm]
>
>
> [mm][\bruch{-cos(mx)}{m}*sin(nx)]_{0}^{2\pi}[/mm] = [mm]\bruch{-cos(m 2\pi) * sin(n 2\pi)}{m}[/mm]
Die beiden Werte lassen sich berechnen.
>
> für m =n kürzt sich das weg und es bleibt
>
> 0 = [mm]\bruch{n}{m}\integral_{0}^{2\pi}{cos(mx)*cos(nx) dx}[/mm]
>
> hier gilt dann, eines der faktoren muss 0 sein und damit
> die gleichung gilt.
Hast du etwa gerade bewiesen, dass das Integral für n=m den Wert 0 hat ? Das kann doch wohl nicht sein.
>
> ist doch richtig soweit oder?
>
> für m [mm]\not=[/mm] n kürzt sich nichts weg wegen den
> unterschiedlichen winkel:
>
> [mm]\pi[/mm] = [mm]\bruch{sin(m 2\pi) * cos(n 2\pi)-cos(m 2\pi) * sin(n 2\pi)}{m} +\bruch{n}{m}\integral_{0}^{2\pi}{cos(mx)*cos(nx) dx}[/mm]
>
> wie zeige ich hier das die gleichung stimmt? muss ich hier
> jetzt eine Additionstheoreme anwenden?
Du bist bereits darauf hingewiesen worden, dass keine Additionstheoreme erforderlich sind.
Allerdings benötigst du für den Fall n=m die Gleichung [mm] sin^2+cos^2=1.
[/mm]
Gruß Sax.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:20 Sa 10.05.2014 | | Autor: | needmath |
> Das ist doch Unsinn !
> Du kannst nicht das, was das Ergebnis der Rechnung sein soll, voraussetzen.
ich verstehe ehrlich gesagt nicht wieso das falsch sein soll. in der aufgabenstellung steht das ergebnis?
korrektur:
nach doppelter partielle integration habe ich folgendes:
[mm] [\bruch{sin(mx)}{m}*cos(nx)]_{0}^{2\pi} [/mm] + [mm] \bruch{n}{m}[\bruch{-cos(mx)}{m}*sin(nx)]_{0}^{2\pi} [/mm] + [mm] \bruch{n^2}{m^2}\integral_{0}^{2\pi}{cos(mx)*cos(nx) dx}
[/mm]
[mm] \gdw
[/mm]
[mm] [\bruch{sin(mx)*cos(nx)*m}{m^2}]_{0}^{2\pi} [/mm] + [mm] [\bruch{-cos(mx)*sin(nx)*n}{m^2}]_{0}^{2\pi} [/mm] + [mm] \bruch{n^2}{m^2}\integral_{0}^{2\pi}{cos(mx)*cos(nx) dx}
[/mm]
[mm] \gdw
[/mm]
Für m=n :
[mm] \bruch{n^2}{m^2}\integral_{0}^{2\pi}{cos(mx)*cos(nx) dx}
[/mm]
jetzt steht in der aufgabenstellung, dass für m=n die fläche 0 ist.
[mm] \Rightarrow
[/mm]
0 = [mm] \bruch{n^2}{m^2}\integral_{0}^{2\pi}{cos(mx)*cos(nx) dx}
[/mm]
eines der faktoren muss 0 sein. [mm] m=n\not=0, [/mm] da ich sonst durch 0 teilen würde. also muss das integral 0 sein. damit hätte ich doch den ersten teil der aufgabe gelöst?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:56 Sa 10.05.2014 | | Autor: | Sax |
Hi,
was häst du von Folgendem ?
Aufgabe : Zeigen Sie, dass 3+5=0 ist.
Lösung : $ 3+5=1*(3+5) $. Jetzt steht in der Aufgabenstellung, dass 3+5=0 ist [mm] \Rightarrow [/mm] $ 0=1*(3+5) $ Einer der Faktoren muss 0 sein. $ [mm] 1\not= [/mm] 0 $ Also muss 3+5=0 sein. Damit hätte ich doch die Aufgabe gelöst ?
Übrigens :
1. Äquivalenzpfeile stehen zwischen Aussagen, nicht zwischen Termen.
2. Du sollst keine Aussage über Flächen, sondern über Integrale nachweisen.
Gruß Sax.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:10 Sa 10.05.2014 | | Autor: | needmath |
hi,
ok jetzt verstehe ich es :D
0 = [mm] \bruch{n^2}{m^2}\integral_{0}^{2\pi}{cos(mx)*cos(nx) dx}
[/mm]
für m=n
[mm] \bruch{n^2}{m^2} [/mm] = 1
[mm] \Rightarrow
[/mm]
0 [mm] =\integral_{0}^{2\pi}{cos(mx)*cos(nx) dx}
[/mm]
manchmal sieht man den wald vor lauter bäumen nicht
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:32 Sa 10.05.2014 | | Autor: | Loddar |
Hallo needmath!
> ok jetzt verstehe ich es :D
Offensichtlich nicht ...
> 0 = [mm]\bruch{n^2}{m^2}\integral_{0}^{2\pi}{cos(mx)*cos(nx) dx}[/mm]
Wie kommst Du denn auf diese Gleichheit?
Die kannst Du nicht voraussetzen, das sollst Du zeigen/beweisen.
Darum geht es gerade in dieser Aufgabe.
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:39 Sa 10.05.2014 | | Autor: | needmath |
wie zeige ich das denn? nach doppelter partieller integration, bekomme ich wieder das selbe integral wie am anfang
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:48 Sa 10.05.2014 | | Autor: | Loddar |
Hallo needmath!
Dann stelle doch mal nach [mm] $\integral{\cos(m*x)*\cos(n*x) \ \mathrm{dx}} [/mm] \ = \ ...$ um.
Gruß
Loddar
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:48 Sa 10.05.2014 | | Autor: | Sax |
Hi,
leider hast du gar nichts verstanden, und leider siehst du einen Wald wo gar kein Baum ist.
Wenn die Aufgabe lautet :
"An einer Weggabelung steht ein Hinweisschild :
[Dateianhang nicht öffentlich]
Weisen Sie die Korrektheit des Wegweisers nach." ,
dann geht man doch fogendermaßen vor :
Man geht zuerst nach links und schaut, ob dort viele Bäume anzutreffen sind. Anschließend geht man nach rechts und schaut, ob dort ein Kirchturm (und nicht etwa der Ententeich) anzutreffen ist.
Erst wenn man beides bestätigen konnte, ist die Richtigkeit des Schildes nachgewiesen.
Deine Vorgehensweise ist aber folgende :
Du gehst nach links und triffst dort einen Einheimischen, der dir sagt, dass der Kirchturm 5 Meter weiter gleich hinter der nächsten Häuserecke zu finden ist. Du hälst den Einheimischen für einen Baum, weil auf dem Schild steht, dass du in den Wald gegangen bist. Du glaubst, einen Baum gefunden zu haben und bahauptest, im Wald zu sein und damit die Richtigkeit des Schildes nachgewiesen zu haben.
Dringender Tipp :
Lies dir die Beiträge in dieser Diskussion noch mal in Ruhe durch, versuche sie zu verstehen und zu befolgen.
Gruß Sax.
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:37 So 11.05.2014 | | Autor: | needmath |
hi,
nach doppelter partieller integration habe ich für m=n wieder das selbe integral wie am anfang. somit habe ich eine gleichung
[mm] \integral_{0}^{2 \pi}{cos(mx)cos(nx) dx} [/mm] = [mm] \integral_{0}^{2 \pi}{cos(mx)cos(nx) dx}
[/mm]
EDIT: war unsinn die frage
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