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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:42 Mo 29.04.2019 | | Autor: | sven1 |
Hallo,
ich habe im Lehrbuch zur Algebra folgendes gefunden was ich nicht verstehe.
Sei $H := GL_+(n; [mm] \IR) [/mm] := [mm] \{ A \in GL(n; \IR) : \det A > 0 \}$ [/mm] dann ist nach dem Determinanten-Multiplikations-Satz (der ist mir bekannt):
$ GL(n; [mm] \IR) [/mm] = H [mm] \cup [/mm] AH = H [mm] \cup [/mm] HA$ für $A [mm] \in [/mm] GL(n; [mm] \IR)$ [/mm] mit [mm] $\det [/mm] A < 0$.
Aber wieso ist
$AH = HA = [mm] \{ B \in GL(n; \IR): \det B < 0 \}$, [/mm] falls [mm] $\det [/mm] A < 0$?
Die erste Inklusion folgt durch den Determinanten-Multiplikations-Satz. Aber die Rückrichtung [mm] $\supseteq$?
[/mm]
Ich versuche mir gerade selbst Gruppentheorie beizubringen. Bisher hat es gut geklappt, aber dieses Problem kriege ich nicht gelöst.
Bin für jeden Hinweis dankbar. :)
Beste Grüße
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Hiho,
Sei $X = [mm] \text{diag}(-1,1,\ldots,1), [/mm] B [mm] \in \{ B \in GL(n; \IR): \det B < 0 \} [/mm] $, dann ist $BX [mm] \in [/mm] H$ und X ist selbstinvers.
Reicht dir das als Hinweis?
Gruß,
Gono
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:51 Mo 29.04.2019 | | Autor: | sven1 |
Danke.
Zu zeigen wäre für die Rückrichtung ja dass
$B [mm] \in [/mm] HA$ bzw. $B [mm] \in [/mm] AH$
ist.
Es ist nach deinem Hinweis u.a.
$AX [mm] \in [/mm] H [mm] \Rightarrow [/mm] A [mm] \in [/mm] HX [mm] \Rightarrow [/mm] HA [mm] \subseteq [/mm] HHX = HX $.
Folgt sogar $HX [mm] \subseteq [/mm] HA$ und damit $HX = HA$ (1)?
Dann ist analog
$BX [mm] \in [/mm] H [mm] \Rightarrow [/mm] B [mm] \in [/mm] HX$ und nach (1) $B [mm] \in [/mm] HA$.
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Hiho,
> Dann ist analog
> [mm]BX \in H \Rightarrow B \in HX[/mm] und nach (1) [mm]B \in HA[/mm].
ich bin davon ausgegangen, dass A (wie bei H) die Menge aller Matrizzen mit negativer Determinante beschreibt.
Also dass zZ ist $B = [mm] A_1A_2$ [/mm] mit [mm] $det(A_1) [/mm] > 0, [mm] det(A_2) [/mm] < 0$
Dann folgt das einfach aus obigem.
Wie fred gezeigt hat, ist es für fixes A deutlich einfacher 
Gruß,
Gono
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 07:13 Di 30.04.2019 | | Autor: | fred97 |
Sei [mm] $\det [/mm] A <0.$
Ist $B [mm] \in GL(n;\IR)$ [/mm] und [mm] $\det [/mm] B <0$, so zeigen wir $B [mm] \in [/mm] AH$ :
Wir müssen zeigen: es ex. ein $C [mm] \in [/mm] H$ mit $B=AC.$ Wie finden wir den Kandidaten $C$ ? Da alle beteiligten Matrizen invertierbar sind, springt einem das gesuchte $C$ sofort ins Auge:
[mm] $C=A^{-1}B.$
[/mm]
Dieses $C$ leistet das Gewünschte, denn es ist $C$ invertierbar, $B=AC$ und
$ [mm] \det [/mm] C= [mm] \det A^{-1} \cdot \det [/mm] B = [mm] \frac{1}{\det A} \cdot \det [/mm] B >0,$
also $C [mm] \in [/mm] H.$
Genauso zeigt man $B [mm] \in [/mm] HA.$
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:35 Di 30.04.2019 | | Autor: | sven1 |
Danke euch beiden für die Hilfe. Ehrlich gesagt ist es mir doch was peinlich dass ich selbst zu dumm war und es nicht gesehen habe.
Jetzt kann ich zumindest weiterarbeiten, danke.
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