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Forum "Differentiation" - Spezieller Grenzwert
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Spezieller Grenzwert: Aufgabe
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:12 Do 24.01.2013
Autor: kaykay_22

Aufgabe
Zeigen Sie:
Ist f: (a,b) -> [mm] \IR [/mm] , a < b, in einem Punkt [mm] x_{0} \in [/mm] (a,b) differenzierbar, so existiert der Grenzwert
[mm] \limes_{h\rightarrow\0} \bruch{f(x_{0}+h)-f(x_{0}-h)}{2h} [/mm]
und ist gleich [mm] f'(f(x_{0}). [/mm]

Hallo zusammen,

erstmal eine kurze Anmerkung zur Aufgabenstellung. Der Limes beudet natürlich h->0.
Weiss nicht wirklich wie ich an die Aufgabe rangehen soll. Die richtige Definition mittels Limes (h-Methode) für die Differenzierbarkeit sieht ja nur unwesentlich anders aus, als der Ausdruck, der hier in dieser Aufgabe vorgelegt wird.

Hat jemand einen Vorschlag?

Viele Grüße
kaykay_22

        
Bezug
Spezieller Grenzwert: Fehler
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 20:14 Do 24.01.2013
Autor: kaykay_22

Noch eine kurze Anmerkung, oben hat sich noch ein Fehler eingeschlichen, ganz am Ende:
".... und ist gleich [mm] f'(x_{0})". [/mm]

Bezug
        
Bezug
Spezieller Grenzwert: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:23 Do 24.01.2013
Autor: Gonozal_IX

Hiho,

füge im Zähler [mm] $-f(x_0) [/mm] + [mm] f(x_0)$ [/mm] ein.

MFG,
Gono.

Bezug
                
Bezug
Spezieller Grenzwert: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:09 Fr 25.01.2013
Autor: kaykay_22

dann erhalte ich:

[mm] \limes_{h\rightarrow\0} \bruch{f(x_{0}+h)-f(x_{0}-h)+f(x_{0})-f(x_{0})}{h} [/mm]

= [mm] \limes_{h\rightarrow\0} \bruch{f(x_{0}+h)-f(x_{0})-f(x_{0}-h)-f(x_{0})}{h} [/mm]

= [mm] \limes_{h\rightarrow\0} \bruch{f(x_{0}+h)-f(x_{0})}{h} [/mm] - [mm] \limes_{h\rightarrow\0} \bruch{f(x_{0}-h)+f(x_{0})}{h} [/mm]

Hierbei ist ja der erste Teil der "richtige" Differenzenquotient. Aber was mache ich mit dem zweiten Teil?

Komme irgendwie immer noch nicht weiter...
Danke und Gruss

Bezug
                        
Bezug
Spezieller Grenzwert: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:20 Fr 25.01.2013
Autor: fred97


> dann erhalte ich:
>  
> [mm]\limes_{h\rightarrow\0} \bruch{f(x_{0}+h)-f(x_{0}-h)+f(x_{0})-f(x_{0})}{h}[/mm]
>  
> = [mm]\limes_{h\rightarrow\0} \bruch{f(x_{0}+h)-f(x_{0})-f(x_{0}-h)-f(x_{0})}{h}[/mm]



Da stimmt ein Vorzeichen nicht. Richtig:

= [mm]\limes_{h\rightarrow 0} \bruch{f(x_{0}+h)-f(x_{0})-f(x_{0}-h)+f(x_{0})}{h}[/mm]


>  
> = [mm]\limes_{h\rightarrow\0} \bruch{f(x_{0}+h)-f(x_{0})}{h}[/mm] -
> [mm]\limes_{h\rightarrow\0} \bruch{f(x_{0}-h)+f(x_{0})}{h}[/mm]
>  
> Hierbei ist ja der erste Teil der "richtige"
> Differenzenquotient. Aber was mache ich mit dem zweiten
> Teil?
>  
> Komme irgendwie immer noch nicht weiter...



$ [mm] \limes_{h\rightarrow 0} \bruch{f(x_{0}+h)-f(x_{0})-f(x_{0}-h)+f(x_{0})}{h} [/mm] $=$ [mm] \limes_{h\rightarrow 0} \bruch{f(x_{0}+h)-f(x_{0})}{h} [/mm] + [mm] \limes_{h\rightarrow 0} \bruch{-f(x_0-h)+f(x_0)}{h}$ =$\limes_{h\rightarrow 0} \bruch{f(x_{0}+h)-f(x_{0})}{h} +\limes_{h\rightarrow 0} \bruch{f(x_0-h)-f(x_0)}{-h}$ [/mm]

Kommst Du jetzt weiter ?

FRED

>  Danke und Gruss


Bezug
                                
Bezug
Spezieller Grenzwert: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:49 Fr 25.01.2013
Autor: kaykay_22

Sorry erstmal für meine VZ-Rechenfehler.

Aber naja... also der erste GW, ist ja sozusagen die Definition für die Differenzierbarkeit (also wenn er existiert). Aber was mache ich mit dem zweiten Limes? Sollte mir daran irgendetwas auffallen? Weiss nicht, wie ich mit diesem [mm] "f(x_{0}-h)" [/mm] umgehen soll.

Bezug
                                        
Bezug
Spezieller Grenzwert: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:35 Fr 25.01.2013
Autor: schachuzipus

Hallo kaykay_22,


> Sorry erstmal für meine VZ-Rechenfehler.

Da ist obendrein noch die 2 aus dem Nenner verlorengegangen ...

>  
> Aber naja... also der erste GW, ist ja sozusagen die
> Definition für die Differenzierbarkeit (also wenn er
> existiert). Aber was mache ich mit dem zweiten Limes?
> Sollte mir daran irgendetwas auffallen? Weiss nicht, wie
> ich mit diesem <img class="latex" _cke_realelement="true" alt="$" [mm] f(x_{0}-h)"$"="" [/mm] src="http://teximg.matheraum.de/render?d=108&s=$" [mm] f(x_{0}-h)""=""> [/mm] umgehen soll.

Wenn $h$ gegen 0 geht, dann doch auch $-h$

Von mir aus setze $t:=-h$ und betrachte [mm] $t\to [/mm] 0$

Beachte, dass beide Male noch der Faktor $1/2$ dazukommt ...

Gruß

schachuzipus


Bezug
                                                
Bezug
Spezieller Grenzwert: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 16:19 Fr 25.01.2013
Autor: kaykay_22

Also hab ich sozusagen beides mal lim 0,5 von dem gleichen?
also insgesamt genau 1x?
Kann man das irgendwie formal aufschreiben?

Bezug
                                                        
Bezug
Spezieller Grenzwert: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 17:38 Fr 25.01.2013
Autor: kaykay_22

Hat sich glaube ich geklärt. Man kann die 1/2 ja mittels der GW-Sätze jeweils rausziehen. Nur habe ich dann trotzdem noch zwei limes, die verschieden aussehen, auch wenn sie aufs gleiche herauslaufen...
Wie kann man das schreiben?

Vielen Dank schonmal für die Hilfe!

Bezug
                                                                
Bezug
Spezieller Grenzwert: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 08:22 Sa 26.01.2013
Autor: fred97


> Hat sich glaube ich geklärt. Man kann die 1/2 ja mittels
> der GW-Sätze jeweils rausziehen. Nur habe ich dann
> trotzdem noch zwei limes, die verschieden aussehen, auch
> wenn sie aufs gleiche herauslaufen...
>  Wie kann man das schreiben?


$ [mm] \limes_{h\rightarrow 0} \bruch{f(x_{0}+h)-f(x_{0})}{h} +\limes_{h\rightarrow 0} \bruch{f(x_0-h)-f(x_0)}{-h} =f'(x_0)+f'(x_0)=2f'(x_0)$ [/mm]

FRED

>  
> Vielen Dank schonmal für die Hilfe!


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