Sphäre als komplexe Zahleneb < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:23 Di 16.05.2006 | | Autor: | susi2006 |
Hallo!
Ich habe ein Problem, wie man sich die komplexe Zahlenebene als die [mm] S^{2} [/mm] Sphäre vorstellen soll. Ich weiß, dass man z.B. den Punkt unendlich mit dem Nordpol verklebt. D.h. der Nordpol stellt den Punkt unendlich dar (aber z=x+iy=unedlich, ist dann x UND y unendlich oder nur x ODER y??)
Und wo ist der Punkt z=0 auf der Sphäre? Im Südpol?
Man Projeziert doch vom Nordpol eine Gerade zur der Ebene der komplexen Zahlen.
Vielleicht kann mir jemand mal die Sache erklären!
Vielen Dank!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:02 Mi 17.05.2006 | | Autor: | piet.t |
Hallo Susi,
am besten ließe sich das natürlich an einem Bild erklären, aber auf die Schnelle habe ich jetzt keines gefunden, also hier der Versuch mit ein paar Worten vielleicht etwas Klarheit zu schaffen. Manchmal fehlt es etwas an der mathematischen Exaktheit, aber ich gebe hier mal der Anschaulichkeit den Vorrang.
Wir fangen also einfach einmal mit der Zahlenebene an und setzen eine Kugel auf den Punkt (0,0). Der "Südpol" der Kugel berührt also die Ebene in genau diesem Punkt.
Um jetzt eine komplexe Zahl z der Zahlenebene auf der Kugel wiederzufinden verbindet man jetzt einfach z mit dem "Nordpol" der Kugel und schaut nach, wo die Verbindungsgerade die Kugel schneidet. Mehr steckt eigentlich erst mal nicht hinter der Äquivalenz zwischen (bis jetzt noch gelochten, den Nordpol müssen wir nochmal extra betrachten) Sphäre und Ebene.
> Und wo ist der Punkt z=0 auf der Sphäre? Im Südpol?
Das oben beschriebene Verfahren gäbe hier ja leider zwei Schnittpunkte (Nord- und Südpol), aber wenn man sich mal die Punkte in der Nähe von 0 anschaut kommt vernünftigerweise eigentlich nur der Südpol in Frage.
> Ich weiß, dass man
> z.B. den Punkt unendlich mit dem Nordpol verklebt. D.h. der
> Nordpol stellt den Punkt unendlich dar (aber
> z=x+iy=unedlich, ist dann x UND y unendlich oder nur x ODER
> y??)
Dazu ist erst mal festzustellen: Unendlich ist keine Zahl, weder eine reelle noch eine komplexe. D.h. in z=x+iy einfach mal formal x oder y gleich unendlich zu setzen macht so eigentlich keinen Sinn. Alles was man tun kann, um das Verhalten "im Unendlichen" zu untersuchen ist, dass man sich das Verhalten für sehr, sehr große Werte von x und/oder y anschaut.
Betrachtet man das nun auf der Kugel, so stellt man fest, dass - egal ob x oder y oder beide sehr groß werden - man sich immer mehr dem Nordpol der Kugel nähert (wenn auch möglicherweise aus unterschiedlichen Richtungen). Je weiter man nach aussen kommt, desto mehr nähert sich ja auch unsere Projektionsgerade einer Parallelen zur Ebene an. Insofern macht es Sinn, den Norpol mit einem fiktiven "unendlich fernen" Punkt auf der Ebene zu identifizieren.
Vielleicht hilfts ja ein bisschen....
Gruß
piet
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