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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:51 So 13.05.2012 | | Autor: | mikexx |
| Aufgabe | Seien [mm] $\Theta$ [/mm] und [mm] $\Phi$ [/mm] der Längen- bzw. Breitengrad eines zufälligen Punktes auf der Oberfläche der Einheitssphäre im [mm] $\mathbb R^3$.
[/mm]
Zeige, daß [mm] $\Theta$ [/mm] und [mm] $\Phi$ [/mm] unabhängig sind, daß [mm] $\Theta$ [/mm] gleichverteilt ist über [mm] $[0,2\pi)$ [/mm] und daß [mm] $\Phi$ [/mm] über [mm] $[-\pi/2,\pi/2]$ [/mm] verteilt ist mit Dichte [mm] $\frac{1}{2}\cos\Phi$.
[/mm]
Ein Tipp aus dem englischen Originalbuch:
"To get the distribution of [mm] $\Phi$, [/mm] show by integration that for [mm] $0\leq\Phi\leq 2\pi$, [/mm] the intersection with the unit ball of the [mm] $(x_1,x_2,x_3)$ [/mm] - set where [mm] $0\leq x_3\leq (x_1^2+x_2^2)^{\frac{1}{2}}\tan\Phi$ [/mm] has volume [mm] $\frac{2}{3}\sin\Phi$." [/mm] |
Moin, moin.
Ich fühle mich ein bisschen überfordert mit dieser Aufgabe.
Wie zeigt man denn erstmal, daß [mm] $\Theta$ [/mm] und [mm] $\Phi$ [/mm] unabhängig sind?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:14 Mo 14.05.2012 | | Autor: | mikexx |
Ich habe jetzt lange darüber nachgedacht, aber immer noch keinen Ansatz. Anscheinend geht's nicht nur mir so. 
Ich hatte mir eigentlich gedacht, daß man irgendwie erst die gemeinsame Verteilung von [mm] $\Theta$ [/mm] und [mm] $\Phi$ [/mm] aufstellt und dann die Randdichten, aber ich sehe nicht, wie man die gemeinsame Dichte aufstellen kann...
Ich freue mich weiterhin auf Eure Reaktionen.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:10 Mo 14.05.2012 | | Autor: | mikexx |
Vielleicht soll man ja auch irgendwie annehmen, daß der Punkt gleichverteilt auf der Kugeloberfläche ist.. aber ich weiß nicht, wie man das ausdrücken kann.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:53 Mo 14.05.2012 | | Autor: | mikexx |
Kommt man vielleicht ![[]](/images/popup.gif) hiermit weiter?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:39 Mo 14.05.2012 | | Autor: | dennis2 |
hi mikexx !
der punkt [mm] $x=(\Phi,\Theta)$ [/mm] (sphärenkoordinaten) auf der kugeloberfläche soll wahrscheinlich gleichverteilt sein. das bedeutet einfach für eine teilfläche $D$ auf der kugeloberfläche gilt:
[mm] $P((\Phi,\Theta)\in D)=\frac{\vert D\vert}{4\pi}$
[/mm]
damit:
[mm] $F(\theta,\varphi)=P(\Theta\leq\theta,\Phi\leq\varphi)=?$
[/mm]
es ergibt sich hier ein doppelintegral das du dann aufspalten kannst
und dann ist es das eigentlich auch schon
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