Spiegelebene aufstellen < Geraden und Ebenen < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:46 Fr 05.10.2007 | | Autor: | Teufel |
Hi, Leute!
Wurde letztens mit einer Aufgabe konfrontiert, die ich bis jetzt noch nicht lösen konnte.
Man hat 2 Ebenen E und F gegeben, die sich schneiden. Nun soll man wenigstens eine (der 2) Spiegelebenen S angeben, die, wenn man E an ihr spiegelt spiegelt in F überführt wird (bzw. umgedreht).
Klar ist, dass die gesuchte Spiegelebene die Schnittgerade von E unf F enthält. Und die gesuchte Spiegelebene bildet mit E und F einen gleich großen Winkel, der der Hälfte des Schnittwinkels von E und F entspricht, was halt auch wiederum heißt, dass der Winkel zwischen den Normalenvektoren von E und S gleich dem Winkel zwischen den Normalenvektoren von F und S ist.
Ich habe mir mal 2 Ebenen ausgedacht.
E: -y+z=0
F: -3y+2z=0
Beide sollten als Schnittgerade die x-Achse haben.
Der Schnittwinkel sollte [mm] \alpha \approx [/mm] 11,31° betragen.
Wie kann man aus den Angaben dann am einfachsten die Ebene S bestimmen?
[mm] cos(5,655°)=\bruch{\vektor{a \\ b \\ c}*\vektor{0 \\ -1 \\ 1}}{\wurzel{a²+b²+c²}*\wurzel{2}}=\bruch{-b+c}{\wurzel{a²+b²+c²}*\wurzel{2}}
[/mm]
[mm] cos(5,655°)=\bruch{\vektor{a \\ b \\ c}*\vektor{0 \\ -3 \\ 2}}{\wurzel{a²+b²+c²}*\wurzel{13}}=\bruch{-3b+2c}{\wurzel{a²+b²+c²}*\wurzel{13}}
[/mm]
Hm... nagut man kann das gleichsetzen.
[mm] \bruch{-b+c}{\wurzel{a²+b²+c²}*\wurzel{2}}=\bruch{-3b+2c}{\wurzel{a²+b²+c²}*\wurzel{13}}
[/mm]
Dann mit der störenden Wurzel, die ja eh ungleich 0 sein muss, durchmultiplizieren...
[mm] \bruch{-b+c}{\wurzel{2}}=\bruch{-3b+2c}{\wurzel{13}}
[/mm]
Wenn ich c spaßeshalber 1 setze wäre [mm] b=-\bruch{\wurzel{26}+1}{5}, [/mm] also ca. -1,22.
Dann hab ich [mm] \vec{n_S}=\vektor{0 \\ -1,22 \\ 1} [/mm] (a=0, da a unerheblich für den Winkel in dem fall ist).
Als Aufpunkt der Ebene kann jeder Punkt der Schnittgeraden dienen, also auch O.
Wäre dann S: [mm] \vec x*\vektor{0 \\ -1,22 \\ 1}=0 [/mm] eine mögliche Spiegelebene? (die -1,22 natürlich dann exakt aufgeschrieben)
Mir ist zwischendurch das meiste eingefallen, aber es geht doch sicher noch einfacher... schon allein, wenn das a nicht einfach wegfallen würde, müsste man sich dann 2 Variablen beliebig belegen? Aber das muss ja dann auch nicht unbedingt aufgehen...
Naja, bitte um Hilfe :)
Edit: Außerdem MUSS a=0 sein... sonst würde das auch nicht hinhauen. hier kann man es eigentlich einfach sehen, aber im allgemeinen Fall ist es sicher anders.
Vielleicht sollte man auch besser mit der Parameterform rangehen. Ein Spannvektor von S wäre dann der Richtungsvektor der Schnittgeraden, also
[mm] \vektor{1 \\ 0 \\ 0} [/mm] in dem Fall, und beim anderen wirds wieder problematisch. Aufpunkt wäre auch der Aufpunkt der Schnittgeraden. So würde S schon mal die Schnittgerade von E und F enthalten, was ja auch schon mal in die richtige Richtung führt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:53 Fr 05.10.2007 | | Autor: | Blech |
> Hi, Leute!
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> Wurde letztens mit einer Aufgabe konfrontiert, die ich bis
> jetzt noch nicht lösen konnte.
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> Man hat 2 Ebenen E und F gegeben, die sich schneiden. Nun
> soll man wenigstens eine (der 2) Spiegelebenen S angeben,
> die, wenn man E an ihr spiegelt spiegelt in F überführt
> wird (bzw. umgedreht).
Kannst Du dafür nicht einfach die beiden Normalenvektoren addieren?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:03 Fr 05.10.2007 | | Autor: | Teufel |
Wollte ich auch schon machen, aber konnte mir nicht erklären, wieso das klappen sollte... und ich habe es mal für meine Aufgabe hier verwendet, und dann komme ich auf einen falschen Schnittwinkel zwischen S und E, was den Verdacht auch schon fast erwürgt.
Kann natürlich auch gut sein, dass ich mich verrechnet habe, aber ich wüste auch nicht, worauf diese Theorie beruhen sollte. Oder kannst du bitte eine kleine Skizze machen, die das beweist?
Edit: oder meintest du die Normalen Einheitsvektoren?
Edit 2: Mit den normalen Einheitsvektoren würde es klappen. Wahrscheinlich kann man das auch so erweitern, dass man sagen kann, dass man die Normalenvektoren addieren muss, wenn sie den selben Betrag haben... das würde dann auch Sinn machen, wenn ich mir meine Skizze angucke.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:28 Fr 05.10.2007 | | Autor: | Teufel |
Gibt es trotzdem eine sofort einleuchtende Erklärung dafür?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:58 Fr 05.10.2007 | | Autor: | chrisno |
bleiben wir mal bei den Normaleneinheitsvektoren.
Einen Schritt zurück: In Parametreform wird für alle drei Ebenen ein gemeinsamer Stützvektor und ein gemeinsamer Spannvektor gewählt. Die übrigen drei Spannvektoren stehen jeweils senkrecht zum Stützvektor.
Gegeben seien die zwei Stützvektoren der Ausgangsebenen mit gleicher Länge. Wenn Du diese addierst kannst Du das entsprechende Parallelogramm zeichnen. Wegen der Symmetrie ist die Diagonale im Parallelogramm, also der Summenvektor, die Winkelhalbierende. (Gleichschenklige Dreiecke ...)
Also ist der Summenvektor ein Stützvektor der Spiegelebene. Die Normalenvektoren stehen alle snekrecht dazu. Das ist das gleiche Bild um 90° gedreht.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:28 Fr 05.10.2007 | | Autor: | Teufel |
Dann muss ich mir ja erstmal 2 Aufpunkte von E und F suchen, die den selben Abstand von O haben... das macht doch wieder mehr Arbeit, oder?
Da ja die Stützvektoren meistens unterschiedliche Beträge haben.
Der rest leuchtet soweit ein.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:18 Sa 06.10.2007 | | Autor: | koepper |
Hallo Teufel,
wir sollten bei deinen ursprünglichen Ideen bleiben. Die waren nämlich gut.
Was uns dann noch fehlte, war ein Normalenvektor der winkelhalbierenden Ebene.
Die korrekte Lösung dafür hat Blech geliefert: Die Summe der Einheitsnormalenvektoren halbiert den Winkel zwischen den beiden.
Das ist immer so. Nur die Begründung ist vielleicht noch nicht ganz klar.
Aber die ist auch ganz einfach:
Zwei gleich lange Vektoren unterschiedlicher Richtung spannen eine Raute auf.
Die Summe der beiden Vektoren zeigt in Richtung der Diagonalen. (Mal dir das Additionsdiagramm auf)
Und die Diagonalen der Rauten sind Winkelhalbierende, wie man sofort an der Symmetrie erkennt.
Daraus folgt sogar: Du mußt nicht einmal Einheitsnormalenvektoren bilden. Es reicht aus, wenn du die beiden Normalenvektoren vor Addition auf eine beliebige GLEICHE Länge bringst.
So simple... OK?
PS: Da die zweite mögliche Spiegelebene senkrecht auf der ersten steht und ebenfalls die Schnittgerade enthält, bekommst du einen Normalenvektor von ihr, indem du einfach das Vektorprodukt (Kreuzprodukt) bildest vom Normalenvektor der ersten Spiegelebene und dem Richtungsvektor der Schnittgeraden.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:40 Sa 06.10.2007 | | Autor: | Teufel |
Ah, ja... ja doch so einfach :P Dann hab ich es mir ja mal wieder zu kompliziert gemacht... obwohl ich auch mit der einen Idee nah dran war :/ nagut, jetzt ist alles klar!
Danke an euch alle :P
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:24 Sa 06.10.2007 | | Autor: | koepper |
> bleiben wir mal bei den Normaleneinheitsvektoren.
> Einen Schritt zurück: In Parametreform wird für alle drei
> Ebenen ein gemeinsamer Stützvektor und ein gemeinsamer
> Spannvektor gewählt.
soweit ist das noch OK, nämlich aus der Schnittgeraden!
> Die übrigen drei Spannvektoren stehen
> jeweils senkrecht zum Stützvektor.
wieso sollten sie denn senkrecht zum Stützvektor stehen???
> Gegeben seien die zwei Stützvektoren der Ausgangsebenen mit
> gleicher Länge.
Wieso sollten Stützvektoren gleiche Länge haben? das wäre mehr als Zufall....
> Wenn Du diese addierst kannst Du das
> entsprechende Parallelogramm zeichnen. Wegen der Symmetrie
> ist die Diagonale im Parallelogramm, also der Summenvektor,
> die Winkelhalbierende. (Gleichschenklige Dreiecke ...)
>
> Also ist der Summenvektor ein Stützvektor der Spiegelebene.
???? den haben wir doch längst!!
> Die Normalenvektoren stehen alle snekrecht dazu. Das ist
> das gleiche Bild um 90° gedreht.
... sehr mysteriös...
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> ... sehr mysteriös...
Als mysteriös würde ich das Ganze zwar nicht bezeichnen, aber im dreidimensionalen Raum ist es eine extrem aufwändige (und damit fehleranfällige) Rechnerei.
Versuche doch erst einmal die folgende Aufgabe zweidimensionalen Raum:
[mm] \vec{a}=\vektor{1 \\ 0} [/mm] und [mm] \vec{b}=\vektor{1 \\ 0.6}
[/mm]
Und nun ermittle den Spiegel-Vektor (also den Richtungsvektor der Winkelhalbierenden).
Obwohl das nun im Vergleich zur Ursprungs-Aufgabe ziemlich abgespeckt ist, ist das immer noch eine ziemliche Rechnerei. Und da kommt raus:
[mm] \vec{c}=\vektor{1 \\ 0.277} [/mm] , wobei der Halbierungswinkel 15.482 Grad beträgt
Würde man [mm] \vec{a} [/mm] und [mm] \vec{b} [/mm] einfach nur addieren, so ergäbe sich als [mm] \vec{c}=\vektor{2 \\ 0.6} [/mm]
bzw. (in der Mitte durchgebrohen) [mm] \vec{c}=\vektor{1 \\ 0.3}
[/mm]
Mit dem "bloßen Auge" (d.h. in einer Zeichnung) kann man diese Differenz kaum erkennen.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:19 So 07.10.2007 | | Autor: | koepper |
> Versuche doch erst einmal die folgende Aufgabe
> zweidimensionalen Raum:
>
> [mm]\vec{a}=\vektor{1 \\ 0}[/mm] und [mm]\vec{b}=\vektor{1 \\ 0.6}[/mm]
>
> Und nun ermittle den Spiegel-Vektor (also den
> Richtungsvektor der Winkelhalbierenden).
das ist nicht weiter schwierig: [mm] $|\vec{b}| [/mm] = [mm] \frac{1}{5}\sqrt{34}.$
[/mm]
Wir bringen nun [mm] $\vec{a}$ [/mm] auf die gleiche Länge und addieren dann:
[mm] $\frac{1}{5}\sqrt{34} [/mm] * [mm] \vektor{1 \\ 0} [/mm] + [mm] \vektor{1 \\ 0.6} [/mm] = [mm] \vektor{\frac{1}{5}\sqrt{34} + 1 \\ 0.6}$
[/mm]
> Obwohl das nun im Vergleich zur Ursprungs-Aufgabe ziemlich
> abgespeckt ist, ist das immer noch eine ziemliche
> Rechnerei. Und da kommt raus:
>
> [mm]\vec{c}=\vektor{1 \\ 0.277}[/mm] , wobei der Halbierungswinkel
> 15.482 Grad beträgt
Ich sehe ja nicht, wie du das gerechnet hast, aber erstens ist das einfach und schnell (siehe meine Rechnung) und zweitens hast du da bloß eine Näherung stehen, also streng genommen ein falsches Ergebnis.
> Würde man [mm]\vec{a}[/mm] und [mm]\vec{b}[/mm] einfach nur addieren, so
> ergäbe sich als [mm]\vec{c}=\vektor{2 \\ 0.6}[/mm]
> bzw. (in der Mitte durchgebrohen) [mm]\vec{c}=\vektor{1 \\ 0.3}[/mm]
>
> Mit dem "bloßen Auge" (d.h. in einer Zeichnung) kann man
> diese Differenz kaum erkennen.
Das liegt aber nur daran, daß die Länge der beiden Vektoren a und b sich nicht allzu stark unterscheidet.
Außerdem betreiben wir hier doch Mathematik, denke ich. Und eine falsche Vorgehensweise mit einem annähernd richtigen Ergebnis zu begründen ist aus dieser Sicht schlicht haarsträubend.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:37 So 07.10.2007 | | Autor: | rabilein1 |
> ... zweitens hast du da bloß eine Näherung stehen, also streng
> genommen ein falsches Ergebnis.
Was heißt "Näherung"? Ich kann das Ergebnis auch auf sechs Stellen angeben (0.276987 statt 0.277) - mehr gibt mein Taschenrechner nicht her -, aber um eine "Näherung" wirst du kaum herum kommen. Somit wäre dann jedes Ergebnis "falsch".
> Das liegt aber nur daran, daß die Länge der beiden Vektoren
> a und b sich nicht allzu stark unterscheidet.
> Außerdem betreiben wir hier doch Mathematik, denke ich. Und
> eine falsche Vorgehensweise mit einem annähernd richtigen
> Ergebnis zu begründen ist aus dieser Sicht schlicht
> haarsträubend.
Die "Idee" mit der Addition der beiden Vektoren kam nicht von mir, sondern davon stand meines Erachtens etwas weiter oben im Thread. Wenn man ein Parallelogramm zeichnet, dann sieht es allerdings auf den ersten Blick so aus, als wäre die Diagonale gleich der Winkelhalbierenden.
Warum ich das Ganze hier auf "Zweidimensional" vereinfacht hatte: Weil die Problematik ja im Grunde dieselbe ist - nur eben im Kleinen.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:26 Fr 05.10.2007 | | Autor: | Blech |
> Edit: oder meintest du die Normalen Einheitsvektoren?
Ja, die meinte ich. Sry, die Antwort war etwas spartanisch =)
> Edit 2: Mit den normalen Einheitsvektoren würde es klappen.
> Wahrscheinlich kann man das auch so erweitern, dass man
> sagen kann, dass man die Normalenvektoren addieren muss,
> wenn sie den selben Betrag haben... das würde dann auch
> Sinn machen, wenn ich mir meine Skizze angucke.
Ja.
Sagen wir, wir haben 2 Ebenen mit NVen a und b.
[mm] $a'=\frac{a}{\| a\|},\ b'=\frac{b}{\| b\|}$
[/mm]
Aus dem Skalarprodukt
$a'*(b'+a') = a'*b' + [mm] \underbrace{\| a' \|^2}_{=1=\| b' \|^2} [/mm] = b'*(b'+a')$
folgt, daß die Winkel gleich sind.
Für
$a''=k*a',\ b''=k*b',\ [mm] k\in \IR\backslash\{0\}$ [/mm] (d.h. die Normalenvektoren auf irgendwas außer 1 normiert)
gilt analog:
[mm] $\frac{a''*(b''+a'')}{\| a'' \|\| b''+a''\|}=\frac{a'*(b'+a')}{\|a'\|\| a'+b'\|}=\dots$
[/mm]
Hmm, ich hoffe die Formeln stimmen, im Moment kommt bei der Vorschau hier überhaupt nix, aber mir wird das Warten zu doof =)
Edit: War viel Quatsch dabei =/
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