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hi,
ich muss einen punkt an einer gerade spiegeln.
da ich das nicht kann hab ich mir den lösungweg von dir angeschaut und probiert. aber ich kam zu keiner zufriedenstellenden lösung.
es wäre sehr nett, wenn du mir auf die sprünge helfen könntest.
Punkt p : [mm] \vektor{6 \\ 0 \\6}
[/mm]
Gerade g : [mm] \vektor{4 \\ 2 \\5}+ [/mm] t* [mm] \vektor{7 \\ 2 \\8}
[/mm]
als punkt, mit dem kürzesten abstand von p zu g habe ich [mm] \vektor{5,4 \\ 2,4 \\6,6} [/mm] raus
davon habe ich dann p abgezogen und kam auf [mm] \vektor{0,4\\ -2,4 \\0,6}
[/mm]
aber das ergibt keinen sinn.
für hilfe bin ich sehr dankbar
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Hi, Andreas,
> Punkt p : [mm]\vektor{6 \\ 0 \\6}[/mm]
Naja: Eigentlich ist das schon ein VEKTOR;
der Punkt P sieht wohl eher so aus: P(6 / 0 / 6)
> Gerade g : [mm]\vektor{4 \\ 2 \\5}+[/mm]
> t* [mm]\vektor{7 \\ 2 \\8}[/mm]
Das solltest Du aber schreiben: [mm] \overrightarrow{x} [/mm] = ...
Aber nun gut!
>
> als punkt, mit dem kürzesten abstand von p zu g habe ich
> [mm]\vektor{5,4 \\ 2,4 \\6,6}[/mm] raus
Wieder Punkt = Vektor! Habt Ihr das so gelernt?
Nun: Den Punkt S(5,4 / 2,4 / 6,6) rechne ich später nach!
Jetzt glaub' ich Dir erst mal, dass er stimmt!
Nun musst Du, um zum Spiegelpunkt P' des Punktes P zu kommen, folgendermaßen rechnen:
[mm] \vec{p'} [/mm] = [mm] \vec{s} [/mm] + [mm] \overrightarrow{PS} [/mm] (***)
> davon habe ich dann p abgezogen und kam auf [mm]\vektor{0,4\\ -2,4 \\0,6}[/mm]
Bis auf einen Rechenfehler (1. Koordinate -0,6; nicht 0,4!)
ist das der Vektor [mm] \overrightarrow{PS} [/mm] aus (***)
Machen wir die obige Rechnung fertig:
[mm] \vec{p'} [/mm] = [mm] \vektor{5,4 \\ 2,4 \\ 6,6} +\vektor{-0,6 \\ 2,4 \\ 0,6} [/mm] = [mm] \vektor{4,8 \\ 4,8 \\ 7,2}
[/mm]
Daher wäre: P'(4,8 / 4,8 / 7,2).
Wie gesagt: Unter der Voraussetzung, dass Dein Punkt S stimmt!
Aber das rechne ich später nach!
Solltest Du nichts mehr von mir hören, ist soweit alles OK!
mfG!
Zwerglein
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:32 Sa 05.11.2005 | | Autor: | Zwerglein |
Hi, Andreas,
ich bins schon wieder:
Ich krieg beim Punkt S (ohne Garantie!):
[mm] S(5\bruch{1}{13} [/mm] / [mm] 2\bruch{4}{13} [/mm] / [mm] 6\bruch{3}{13})
[/mm]
Überprüfe Deine Rechnung also nochmal!
mfG!
Zwerglein
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schonmal ein großes danke für die antwort.
nun hab ich dasselbe ergebnis wie du, aber ich glaube es ist immernoch falsch, also die rechnung ist richtig, aber vllt hab ich die fragestellung falsch verstanden oder falsch angepackt.
es sind drei punkte gegeben :
A : (4 // 2 // 5)
B : (6 // 0 // 6)
C : (7 // 2 // 8)
[mm] \Delta [/mm] ABC bilden ein rechtwinkliges Dreieck, und nun soll durch die Berechnung eines Punktes D das Dreieck zu einem Quadrat ergänzt werden. Da habe ich mir gedacht, dass man den Punkt B einfach an der Strecke [mm] \overline{AC} [/mm] spiegeln könnte, deshalb habe ich als gerade an der gespiegelt werden soll
g : [mm] \vektor{4 \\ 2 \\ 5} [/mm] + t* [mm] \vektor{7 \\ 2 \\ 8} [/mm] genommen.
nach der spiegelung müsste der betrag von [mm] \overline{AB} [/mm] = [mm] \overline{AD} [/mm] sein und [mm] \overline{BC} [/mm] = [mm] \overline{CD} [/mm] oder bin ich da falsch in der annahme ?
gruß Andreas
p.s.: entschuldige meine verwechselungen von punkten, vektoren usw. es ist schon 1-2 jahre her, seid ich das letzte mal damit zu tun hatte
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Hallo Andreas_Sans,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> schonmal ein großes danke für die antwort.
> nun hab ich dasselbe ergebnis wie du, aber ich glaube es
> ist immernoch falsch, also die rechnung ist richtig, aber
> vllt hab ich die fragestellung falsch verstanden oder
> falsch angepackt.
>
> es sind drei punkte gegeben :
>
> A : (4 // 2 // 5)
> B : (6 // 0 // 6)
> C : (7 // 2 // 8)
>
> [mm]\Delta[/mm] ABC bilden ein rechtwinkliges Dreieck, und nun soll
> durch die Berechnung eines Punktes D das Dreieck zu einem
> Quadrat ergänzt werden. Da habe ich mir gedacht, dass man
> den Punkt B einfach an der Strecke [mm]\overline{AC}[/mm] spiegeln
> könnte, deshalb habe ich als gerade an der gespiegelt
> werden soll
> g : [mm]\vektor{4 \\ 2 \\ 5}[/mm] + t* [mm]\vektor{7 \\ 2 \\ 8}[/mm]
> genommen.
>
> nach der spiegelung müsste der betrag von [mm]\overline{AB}[/mm] =
> [mm]\overline{AD}[/mm] sein und [mm]\overline{BC}[/mm] = [mm]\overline{CD}[/mm] oder
> bin ich da falsch in der annahme ?
>
> gruß Andreas
>
> p.s.: entschuldige meine verwechselungen von punkten,
> vektoren usw. es ist schon 1-2 jahre her, seid ich das
> letzte mal damit zu tun hatte
>
>
Das geht viel einfacher:
Betrachte die Länge der Strecken [mm]\overline{AB},\;\overline{AC},\;\overline{BC}[/mm]
Zwei dieser Strecken müssen auf jeden Fall dieselbe Länge haben.
Daraus bekommst Du dann den noch fehlenden Punkt.
Gruß
MathePower
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Hi, Andreas,
wenn Du Dir das Quadrat ABCD hinzeichnest, merkst Du,
dass die Vektoren [mm] \overrightarrow{AD} [/mm] und [mm] \overrightarrow{BC} [/mm] gleich sind.
Das kannst Du direkt nutzen,
um den Ortsvektor von D zu bestimmen:
[mm] \overrightarrow{OD} [/mm] = [mm] \overrightarrow{OA} [/mm] + [mm] \overrightarrow{BC}
[/mm]
[mm] \overrightarrow{OD} [/mm] = [mm] \vektor{4 \\ 2 \\ 5} [/mm] + [mm] \vektor{1 \\ 2 \\ 2} [/mm] = [mm] \vektor{5 \\ 4 \\ 7} [/mm]
Also: D(5 / 4 / 7)
mfG!
Zwerglein
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:05 So 06.11.2005 | | Autor: | Zwerglein |
Hi, Andreas,
zu Deinem ersten Lösungsansatz noch ein paar Hinweise:
(1) Der führt natürlich theoretisch auch zur richtigen Lösung, aber:
(2) dieser Weg ist VIEL zu kompliziert für die Aufgabenstellung und außerdem
(3) hast Du die Geradengleichung falsch ermittelt:
> es sind drei punkte gegeben :
>
> A : (4 // 2 // 5)
> B : (6 // 0 // 6)
> C : (7 // 2 // 8)
>
> g : [mm]\vektor{4 \\ 2 \\ 5}[/mm] + t* [mm]\vektor{7 \\ 2 \\ 8}[/mm]
Der allgemeine Ansatz für die Gerade durch die Punkte A und C ist:
g: [mm] \vec{x} [/mm] = [mm] \overrightarrow{OA} [/mm] + [mm] t*\overrightarrow{AC}
[/mm]
Demnach wäre die Geradengleichung:
g: [mm] \vec{x} [/mm] = [mm] \vektor{4 \\ 2 \\ 5} [/mm] + [mm] t*\vektor{3 \\ 0 \\ 3}
[/mm]
(wobei Du den Richtungsvektor noch durch 3 "kürzen" könntest!)
mfG!
Zwerglein
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danke für die anregungen und lösungswege ich hab beides ausprobiert und hat beides funktioniert. das quadrat ABCD ist die grundfläche einer geraden, quadratischen pyramide deren spitze S in der x-z- Ebene liegt. der soll berechnet werden
[mm] \overrightarrow{SM} [/mm] (also der Vektor von der Spitze zur mitte der grundfläche) steht ja senkrecht auf dem vektor [mm] \overrightarrow{AM}
[/mm]
[mm] \overrightarrow{A} [/mm] = [mm] \vektor{4 \\ 2 \\ 5}
[/mm]
[mm] \overrightarrow{M} [/mm] = [mm] \vektor{5,5\\ 2 \\ 6,5}
[/mm]
[mm] \overrightarrow{AM} [/mm] = [mm] \vektor{1,5 \\ 0 \\ 1,5}
[/mm]
[mm] \overrightarrow{SM} [/mm] = [mm] \vektor{x - 5,5 \\ y - 2 \\ z-6,5}
[/mm]
da S in der x-z ebene liegt ist y = 0
und [mm] \overrightarrow{AM} \odot \overrightarrow{SM} [/mm] = 0
1,5*(x-5,5)+ 0*(y-2)+ 1,5*(z-6,5) = 0
nach umformen kam ich auf x = 12 - z
aber wie bekomme ich jetzt einen bestimmten wert für x oder z ?
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Hi, Andreas,
> danke für die anregungen und lösungswege ich hab beides
> ausprobiert und hat beides funktioniert. das quadrat ABCD
> ist die grundfläche einer geraden, quadratischen pyramide
> deren spitze S in der x-z- Ebene liegt. der soll berechnet
> werden
>
> [mm]\overrightarrow{SM}[/mm] (also der Vektor von der Spitze zur
> mitte der grundfläche) steht ja senkrecht auf dem vektor
> [mm]\overrightarrow{AM}[/mm]
> [mm]\overrightarrow{A}[/mm] = [mm]\vektor{4 \\ 2 \\ 5}[/mm]
>
> [mm]\overrightarrow{M}[/mm] = [mm]\vektor{5,5\\ 2 \\ 6,5}[/mm]
>
> [mm]\overrightarrow{AM}[/mm] = [mm]\vektor{1,5 \\ 0 \\ 1,5}[/mm]
>
> [mm]\overrightarrow{SM}[/mm] = [mm]\vektor{x - 5,5 \\ y - 2 \\ z-6,5}[/mm]
>
> da S in der x-z ebene liegt ist y = 0
>
> und [mm]\overrightarrow{AM} \odot \overrightarrow{SM}[/mm] = 0
>
> 1,5*(x-5,5)+ 0*(y-2)+ 1,5*(z-6,5) = 0
>
> nach umformen kam ich auf x = 12 - z
>
> aber wie bekomme ich jetzt einen bestimmten wert für x oder
> z ?
Naja: Dazu braucht's eine weitere Bedingung, denn wie Du Dir leicht klarmachen kannst, gibt's unendlich viele Strecken, die auf [AM] senkrecht stehen und in der x-z-Ebene enden.
Wichtig ist, dass die Höhe [MS] auf der ganzen Grundfläche ABCD senkrecht steht!
Wenn Du also diesen Weg weiter beschreiten möchtest, musst Du nun noch dafür sorgen, dass [mm] \overrightarrow{MS} [/mm] auch z.B. auf [mm] \overrightarrow{BD} [/mm] senkrecht steht.
(Ah, übrigens: Ich hab' Deine obigen Ergebnisse nicht nachgerechnet!)
Alternativ-Vorschlag:
Du bildest eine Gerade mit Aufpunkt M, die senkrecht auf der Grundfläche steht, und schneidest diese Gerade mit der x-z-Ebene (Gleichung: y=0). Dann kriegst Du den Punkt S wohl schneller!
(Dazu eine Frage: Kennst Du das Kreuzprodukt vulgo Vektorprodukt?)
mfG!
Zwerglein
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ich habs mit der ersten methode probiert und es hat geklapt S = (1,5 // 0 // 10,5), dafür schonmal danke.
mich interessiert jetzt aber auch die 2 methode. mit dem kreuzprodukt zweier vektoren bekomme ich einen dritten vektor der senkrecht zur ebene steht., die von den ersten beiden vektoren aufgezogen wird.
also hier zb [mm] \overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AD} [/mm] dann würde ich einen vektor bekommen der senkrecht auf der aufgespannten ebene steht.
A : [mm] \vektor{4 \\ 2 \\ 5}
[/mm]
B : [mm] \vektor{6 \\ 0 \\ 6}
[/mm]
D : [mm] \vektor{5 \\ 4 \\ 7}
[/mm]
[mm] \overrightarrow{AB} [/mm] = [mm] \vektor{2 \\ -2 \\ 1}
[/mm]
[mm] \overrightarrow{AD} [/mm] = [mm] \vektor{1 \\ 2 \\ 2}
[/mm]
[mm] \overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AD} [/mm] = [mm] \vektor{-6 \\ -3 \\ 6}
[/mm]
das sollte der richtungsvektor der geraden werden mit M als aufpunkt
g : [mm] \overrightarrow{x} [/mm] = [mm] \vektor{ 5,5 \\ 2 \\ 6,5} [/mm] + t* [mm] \vektor{-6 \\ -3 \\ 6}
[/mm]
und die gerade schneidet sich dann mit der x-z-ebene, wie berechnet man den schnittpunkt einer geraden mit einer ebene ?
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Hi, Andreas,
> ich habs mit der ersten methode probiert und es hat geklapt
> S = (1,5 // 0 // 10,5), dafür schonmal danke.
> g : [mm]\overrightarrow{x}[/mm] = [mm]\vektor{ 5,5 \\ 2 \\ 6,5}[/mm] + t*
> [mm]\vektor{-6 \\ -3 \\ 6}[/mm]
> und die gerade schneidet sich dann
> mit der x-z-ebene, wie berechnet man den schnittpunkt einer
> geraden mit einer ebene ?
Wie gesagt: Die Koordinatengleichung der x-z-Ebene ist y=0
Hier setzt man nun die Gerade ein,
was ergibt: 2 - 3t = 0 bzw. t = [mm] \bruch{2}{3} [/mm]
Und nun kannst Du den Punkt ausrechnen, indem Du dieses t in die Gerade einsetzt!
(Wenn mich nicht alles täuscht, kommt tatsächlich wieder derselbe Punkt raus!)
mfG!
Zwerglein
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jetzt weis ich auch was du mit "einfacher" gemeint hast (meine ausführung war ja doch etwas komplizierter als deiner) und ja es kommt tatsächlich der gleiche punkt raus.
des wars dann erstmal an fragen. und ich möchte mich nochmals für die raschen antworten bedanken und sagen, dass ich es cool finde, dass es leute gibt die ihre freizeit opfern um so leuten wie mir zu helfen.
danke
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:03 Mo 07.11.2005 | | Autor: | Zwerglein |
Hi, Andreas,
alles klar!
Und merke:
Fragen zu beantworten hilft nicht nur dem, der die Fragen stellt,
sondern auch dem der sie beantwortet!
mfG!
Zwerglein
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